ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist

Transkript

1 Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist

2 Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och den lila linjen går igenom (a, f(a)) och en annan punkt på kurvan y = f(x). Då den andra punkten närmar sig a tycks lutningen för linjen bättre överens med lutningen för den blå linjen. Den lila linjen har en riktningskoef- y f(a+h) f(a) a a + h x ficient f(a + h) f(a) (a + h) a = f(a + h) f(a) h

3 Deriverbarhet och derivata Definition 10.1 Antag att f är definierad i en omgivning av a. Om gränsvärdet f(a + h) f(a) lim h 0 h existerar (ändligt!) säger vi att f är deriverbar i a. Själva gränsvärdet kallar vi för derivatan av f i punkten a, och betecknas f (a). Om f är deriverbar i hela sin definitionsmängd så säger vi att f är deriverbar. Funktionen f (det vill säga x f (x)) kallas för derivatan av f. OBS Det förekommer flera beteckningar för derivatan, Df, df dx, d dx f.

4 Exempel Exempel 10.1 Bestäm derivatan av f(x) = x n, där n = 1, 2,. Exempel 10.2 Funktionen f(x) = x är inte deriverbar i x = 0. y x

5 Ett monster En kontinuerlig, men ingenstans deriverbar funktion: Magisteruppsats om sådana funktioner. Endast kuriosa?

6 Vad är detta? Börskursen för ett känt företag.

7 Höger- och vänsterderivata Högerderivata f + (a) = lim h 0 + f(a + h) f(a) h Högerderivata f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h OBS Absolutbeloppsfunktionen har alltså både en högerderivata och vänsterderivata i x = 0. Men eftersom de ej är lika så existerar inte derivatan i x = 0.

8 Exempel Exempel Funktionen f(x) = x 1/3 (definierad även för negativa x!) är ej deriverbar i x = 0. y x

9 Tangent och normal Tangentens ekvation y y f(a) = f (a)(x a) Normalens ekvation f(a) y f(a) = 1 (x a) f (a) a x Exempel Bestäm ekvationer för tangent och normal till f(x) = x 2 i punkten (2, f(2)).

10 Deriverbarhet medför kontinuitet Repetition f är kontinuerlig om f(x) f(a) då x a för alla a D f. Detta kan vi skriva som att f(a + h) f(a) då h 0 för alla a D f. Sats 10.1 Om f är deriverbar i en punkt a så är f kontinuerlig i a. OBS Omvändningen gäller inte! Till exempel är f(x) = x kontinuerlig i x = 0 men inte deriverbar i x = 0.

11 Hjälp av standardgränsvärden Exempel 10.3 Låt oss använda standardgränsvärdet e lim h 1 h 0 h = 1 för att visa att f(x) = e x har derivata f (x) = e x.

12 Räkneregler med derivata Sats 10.2 Antag att f och g är deriverbara i punkten x. Då är även f + g, f g och f/g (om g(x) 0) deriverbara i x med (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( f f (x)g(x) f(x)g (x) ) (x) =. g g(x) 2 Exempel 10.9 Beräkna D(e x + x 2 ), D(e x x 2 ) och D(e x /x 2 ).

13 Derivering är linjär! Låter vi g(x) = c, så får vi i regeln för multiplikation att det vill säga D(f c) = D(f)c + fd(c) = cd(f), D(cf) = cd(f). Dett tillsammans med den första regeln ger: D(f + g) = D(f) + D(g) D(cf) = cd(f) Dessa två villkor säger att derivering är en linjär operation, något vi kommer att studera närmare i kursen Linjär algebra.

14 Kedjeregeln Sats 10.3 (Kedjeregeln) Antag att funktionen g är deriverbara i punkten x och att f är deriverbar i punkten y = g(x). Då är den sammansatta funktionen f g deriverbar i punkten x, och (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Anmärkningar Med z = f(y) = f(g(x)) skrivs kedjeregeln ofta dz dx = dz dy dy dx. g (x) i satsen kallas för inre derivata. Exempel Beräkna derivatan av e x2 och (4x 1) 2.

15 Derivata av invers Sats 10.4 Antag att funktionen f är injektiv med invers f 1. Om f är deriverbar i punkten x med f (x) 0, så är f 1 deriverbar i punkten y = f(x) med derivatan (f 1 ) (y) = 1 f (x). Exempel (med bonus) Beräkna derivatan av ln x genom att använda inversen. Beräkna derivatan av ln x genom att använda standardgränsvärdet ln(1 + t) lim t 0 t = 1.

16 Ett avslutande exempel Exempel Beräkna derivatan av funktionen f(x) = x x, x > 0. y 1 x

17