Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
|
|
- Britt Danielsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 20 januari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
2 Upplägg Sju föreläsningar, en per vecka Tonvikt på likheter och skillnader mellan en och flera variabler Repetition av utvalda delar av envariabelteorin Examination: Inlämningsuppgifter + munta Kurslitteratur: Stephen G. Krantz, Function theory of several complex variables, AMS-Chelsea. Referenslitteratur: Valfri favoritbok i en komplex variabel. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
3 Vad är komplex analys i flera variabler? Pluripotentialteori Differentialgeometri Funktionalanalys PDE Komplex analys i flera variabler Komplex analys i en variabel Potentialteori Algebraisk geometri Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
4 Holomorfa funktioner Definition Vi säger att en funktion f : C C är holomorf om gränsvärdet f(z + h) f(z) lim C h 0 h existerar för alla z. (Analogt för funktioner som är definierade på en delmängd Ω C.) Observera att en funktion f : C C kan betraktas som en funktion R 2 R 2, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Om vi för enkelhets skull antar att u och v är C 1, så följer att gränsvärdena f(z + h) f(z) lim = = u R h 0 h + i v och är lika. f(z + ih) f(z) lim = i u R h 0 ih + v Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
5 Cauchy-Riemanns ekvationer Det är inte svårt att visa omvändningen till ovanstående, dvs vi har följande karakterisering av holomorfa funktioner: Sats Antag att f(z) = u(x, y) + iv(x, y), där u och v är C 1 (på sitt definitionsområde). Då är f holomorf om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda. ( u u = v = v Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
6 Komplexa strukturer Vi ska även titta på ett alternativt, mer modernt sätt att betrakta Cauchy-Riemanns ekvationer. Först lite komplex linjär algebra. Definition Antag att V är ett reellt vektorrum. En linjär avbildning J : V V kallas en komplex struktur på V om J 2 = I, (där I : V V betecknar identitetsavbildningen). Exempel Låt R 2 = {(x, y) : x, y R} och definiera J std (x, y) = ( y, x). Då är J std en komplex struktur på R 2. Övning Antag att J är en komplex struktur på vektorrummet V. Visa att J är inverterbar och att V måste vara av jämn dimension. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
7 Komplexa vektorrum Givet ett reellt vektorrum V med en komplex struktur J, kan vi på ett naturligt sätt definiera ett komplext vektorrum V C genom att låta (α + iβ)v = αv + βjv. (På omvänt sätt kan ett komplext vektorrum betraktas som ett reellt vektorrum med en komplex struktur given av Jv = iv.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
8 Linjära avbildningar Antag nu att T är en linjär avbildning på V. Denna avbildning kan förstås även betraktas som en funktion på V C. Vad krävs för att T ska vara en (komplex-)linjär avbildning på V C? T ((α + iβ)v) = (α + iβ)t (v) T (αv + βjv) = αt (v) + βj(t (v)) αt (v) + βt (J(v)) = αt (v) + βj(t (v)) T (J(v)) = J(T (v)) dvs T är komplex-linjär om och endast om T J = JT. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
9 Linjära avbildningar, II Sats Varje (reell-)linjär avbildning T : V V kan skrivas som en summa T = A + B, där A är komplex-linjär och B är komplex-anti-linjär, dvs B(zv) = zb(v). Bevis. Låt A = 1 (T JT J) och B(v) = 1 (T + JT J). Då blir A + B = T och 2 2 respektive JA = 1 2 (JT JJT J) = 1 2 (JT + T J) = 1 (T J JT JJ) = AJ 2 JB = 1 2 (JT + JJT J) = 1 2 (JT T J) = 1 (T J + JT JJ) = BJ 2 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
10 Holomorfa funktioner, en gång till Sats En C 1 funktion f : C C är holomorf om och endast om df är komplex-linjär. Här dx betecknar df den totala derivatan av f, sedd som en funktion dx R2 R 2, dvs df dx = u v u v! Bevis. J std df dx = df dx J std = u v «u v u v u v!! = v «= u u v v u u v med likhet om och endast om Cauchy-Riemanns ekvationer är uppfyllda.!! Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
11 Wirtingers operatorer Den totala derivatan df kan skrivas som en summa där f z Sats f är komplex-linjär och z Om f är C 1, så blir och Motsvarande operatorer z och z df dx = f z + f z är komplex-antilinjär. f z = 1 f 2 i f «f z = 1 f 2 + i f «kallas ibland Wirtingers operatorer. Observera att f är holomorf om och endast om f z = 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
12 Kedjeregeln Övning Visa följande versioner av kedjeregeln: (f g) z = f z g z + f z ḡ z respektive (f g) = f z z g z + f z ḡ z Hur förenklar dessa formler om f eller g är holmorfa? Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
13 Några ord om C 1 -antagandet För enkelhets skull har vi antagit att våra holomorfa funktioner är C 1. I själva verket är detta inte nödvändigt, utan följer faktiskt som en konsekvens av definitionen, dvs om gränsvärdet f(z + h) f(z) lim C h 0 h existerar, så är f automatiskt C 1 (och i själva verket till och med C ). Vi hoppar över detaljerna, åtminstone tills vidare. (Läs om Moreras sats i en envariabelbok, om du är intresserad.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
14 Holomorfa funktioner av flera variabler Vad ska vi mena med att en funktion f : C n C är holomorf? Det finns flera alternativa, naturliga, sätt att definiera detta, men i slutänden visar sig dessa vara ekvivalenta. Vi väljer följande definition: Definition Låt f : C n C vara en funktion. Vi säger att f är holomorf om f är holomorf i varje variabel separat, dvs om funktionen f(z 1, z 2,..., z n) är holomorf om vi betraktar den som en funktion av z j för varje j (med resten av koordinaterna konstanta). Mängden av holomorfa funktioner på Ω C n brukar betecknas O(Ω). Även om denna definition är naturlig, är den delvis problematisk. Jämför till exempel med hur kontinuerliga funktioner av flera (reella) variabler definieras. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
15 Holomorfa och analytiska funktioner Ibland använder man termen analytisk i stället för holomorf. Om man ska vara petig, så brukar egentligen ordet analytisk betyda följande: Definition En funktion f : C C kallas analytisk om den lokalt går att skriva som en konvergent potensserie, X f(z) = a j(z z 0) j för alla z 0. j=0 Analogt i flera variabler. Det följer ur Cauchys integralformel att varje holomorf funktion är analytisk (även i flera variabler) vi spar detaljerna till nästa vecka. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
16 Hartogs lemma Det är faktiskt rätt märkvärdig att separat-analyticitet (eller separat-holomoficitet) medför analyticitet. Resultatet brukar kallas Hartogs lemma: Sats (Hartogs lemma) Om en funktion f(z 1, z 2,..., z n) är analytisk i varje variabel separat, så är den analytisk. Observera att man inte ställer några krav på f (inte ens mätbarhet!). För ett bevis, se till exempel Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
17 Existensområden för analytiska funktioner I en variabel är varje område (dvs öppen, sammanhängande mängd) ett existensområde för analytiska funktioner, dvs till varje område Ω C kan man hitta en analytisk funktion f O(Ω) som inte går att utvidga till något större område. Situationen i flera variabler är fullständigt annorlunda. En stor del av teorin för funktioner av flera komplexa variabler handlar om att karakterisera olika typer av existensområden, och att studera hur områdets egenskaper (geometri, topologi, randregularitet etc) påverkar funktionsteorin. Som ett första steg i denna riktning ska vi titta på Hartogs utvidningssats. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
18 Hartogs utvidgningssats Sats Låt Ω C n vara ett område och K Ω en kompakt delmängd, sådan att Ω \ K är sammanhängande. Om f O(Ω \ K) finns en (entydigt bestämd) f O(Ω), sådan att f Ω\K = f. Ett fullständigt bevis kräver lite teori om lösningar till -problem, men vi kan visa ett specialfall. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
19 Hartogs utvidgningssats, bevis Bevis. Vi antar att Ω = D 3 D 3 och K = D 1 D 1. Laurentserieutveckla f(z, w) för ett fixt z med avseende på w: f(z, w) = X j= a j(z)w j, w 3 2 w = 2 Ω där koefficienterna ges av a j(z) = 1 I 2πi w =2 f(z, ζ) ζ j+1 dζ. 1 K Observera att koefficienterna a j(z) beror holomorft av z, eftersom I a j(z) dz = 1 I I! f(z, ζ) dζ γ 2πi γ w =2 ζ j+1 z dz = 1 I I «f(z, ζ) dz dζ = 0. 2πi w =2 γ ζ j+1 Eftersom a j(z) = 0 för j < 0 och 1 < z < 3, så måste a j(z) 0 för j < 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
20 Varianter av Hartogs utvidgningssats Övning Ge ett exempel som visar att villkoret Ω \ K är sammanhängande verkligen behövs. Övning Det är inte alltid nödvändigt att K är kompakt. Betrakta följande områden i C 2 : w w w 1 Ω z 1 Ω z Visa att varje analytisk funktion f O(Ω 1) respektive f O(Ω 2) fortsätter till bidisken D 2. Hur är det med f O(Ω 3)? 1 Ω 3 z Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
21 Lite mer om existensområden Man kan visa att ett område Ω C n är ett existensområde för O om det till varje randpunkt p Ω går att hitta en funktion f p O(Ω) som inte går att fortsätta över p. (Detta faktum medför alltså existensen av en funktion som inte går att fortsätta över någon randpunkt.) Exempel Bidisken D 2 är ett existensområde. Låt p = (p 1, p 2) (D 2 ). Då är antingen p 1 = 1 eller p 2 = 1. I det första fallet, ta och analogt i det andra fallet. f p(z, w) = 1 z p 1 Övning Visa att enhetsbollen B = {(z, w) : z 2 + w 2 < 1} är ett existensområde. Visa att alla konvexa områden är existensområden. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
22 Läs på egen hand till nästa gång Repetera lite envariabelteori, i synnerhet Cauchys integralformel. Läs kapitel 0 i Krantz. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt januari / 22
Träning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merRepetition av cosinus och sinus
Repetition av cosinus och sinus Av Eric Borgqvist, 00-08-6, Lund Syftet med detta dokument är att få en kort och snabb repetition av vissa egenskaper hos de trigonometriska funktionerna sin och cos. Det
Läs mer5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor
5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem Föreläsning 3 Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 3 5B1816 2005/2006 Optimalitetsvillkor för ickelinjära
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 10 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 1 / 20 Dagens program Plurisubharmoniska
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs mer4-3 Vinklar Namn: Inledning. Vad är en vinkel?
4-3 Vinklar Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig allt om vinklar: spetsiga, trubbiga och räta vinklar. Och inte minst hur man mäter vinklar. Att mäta vinklar och sträckor är grundläggande
Läs merTvå konstiga klockor
strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende
Läs merAllmän teori, linjära system
KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014 Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t)
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs merIdag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?
Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merVÄRDERINGSÖVNINGAR. Vad är Svenskt?
VÄRDERINGSÖVNINGAR Vad är Svenskt? Typ av övning: Avstamp till diskussion. Övningen belyser hur svårt det är att säga vad som är svenskt och att normen vad som anses vara svenskt ändras med tiden och utifrån
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 17 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 1 / 26 Dagens program Konvexa och
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) 2013 08 24, 14 19.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merBoll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll
1 Boll-lek om normer Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö Innehåll Materialet bygger på en övning där eleverna, genom en lek med bollar, får utmana sin förmåga att kommunicera
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merLokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8
Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 8 Arbetsområde 2. Algebra Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera över matematikens
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merFöreläsning 14: Försöksplanering
Föreläsning 14: Försöksplanering Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 14, 2015 Modellbeskrivning Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på förklarande
Läs merStrukturen i en naturvetenskaplig rapport
Strukturen i en naturvetenskaplig rapport I detta dokument beskrivs delarna i en rapport av naturvetenskaplig karaktär. På skolor, universitet och högskolor kan den naturvetenskapliga rapportens rubriker
Läs merAvsikt På ett lekfullt sätt färdighetsträna, utveckla elevers känsla för hur vårt talsystem är uppbyggt samt hitta mönster som uppkommer.
Strävorna 4A 100-rutan... förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.... grundläggande
Läs merNågot om permutationer
105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar
Läs merL(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1
L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merDet är bra om även distriktsstyrelsen gör en presentation av sig själva på samma sätt som de andra.
Modul: Föreningspresentation Ett stort blädderblocksblad delas upp i fyra rutor. Deltagarna, som under detta pass är indelade föreningsvis, får i uppgift att rita följande saker i de fyra rutorna: Föreningsstyrelsen
Läs mer1. Frekvensfunktionen nedan är given. (3p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF14 TEN 11 kl 1.15-.15 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räknedosa Fullständiga lösningar erfordras till samtliga uppgifter. Lösningarna skall
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs merDistribuerade Informationssystem VT-04
Distribuerade Informationssystem VT-04 2 Projekt Kassasystem DS är ett stort varuhus som består av ett flertal fristående butiker. Varje butik i DS säljer sina egna varor samt varor som är specifika för
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merFör dig som är valutaväxlare. Så här följer du reglerna om penningtvätt i din dagliga verksamhet INFORMATION FRÅN FINANSINSPEKTIONEN
För dig som är valutaväxlare Så här följer du reglerna om penningtvätt i din dagliga verksamhet INFORMATION FRÅN FINANSINSPEKTIONEN MARS 2016 DU MÅSTE FÖLJA LAGAR OCH REGLER Som valutaväxlare ska du följa
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merTillståndsmaskiner. 1 Konvertering mellan Mealy och Moore. Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08
Tillståndsmaskiner Ola Dahl och Mattias Krysander Linköpings tekniska högskola, ISY, Datorteknik 2014-05-08 Figur 2: En tillståndsgraf av Moore-typ för att markera var tredje etta i en insignalsekvens.
Läs merOändligtdimensionella vektorrum
Oändligtdimensionella vektorrum Vi har i den här kursen huvudsakligen studerat ändligtdimensionella vektorrum. Dessa är mycket användbara objekt och matriskalkyl ger en bra metod att undersöka dom med.
Läs mer912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik?
912 Läsförståelse och matematik behöver man lära sig läsa matematik? Med utgångspunkt från min egen forskning kring läsförståelse av matematiska texter kommer jag att diskutera olika aspekter av läsning
Läs merEnkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012. Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9
Enkätresultat för elever i åk 9 i Borås Kristna Skola i Borås hösten 2012 Antal elever: 20 Antal svarande: 19 Svarsfrekvens: 95% Klasser: Klass 9 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin till
Läs merArbeta bäst där du är Dialect Unified Mi
Arbeta bäst där du är Dialect Unified Mi [Skriv sammanfattningen av dokumentet här. Det är vanligtvis en kort sammanfattning av innehållet i dokumentet. Skriv sammanfattningen av dokumentet här. Det är
Läs mer729G04 - Hemuppgift, Diskret matematik
79G04 - Hemuppgift, Diskret matematik 5 oktober 015 Dessa uppgifter är en del av examinationen i kursen 79G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt.
Läs merPermutationer med paritet
238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merLösningar s. 8 Perspek9v s. 7
Källkri9k s. 11 Diskussion s. 2 Åsikter s. 3 Samarbete s. 10 Fördelar och nackdelar s. 4 ELEVHJÄLP Slutsatser s. 9 Konsekvenser s. 5 Lösningar s. 8 Perspek9v s. 7 Likheter och skillnader s. 6 1 Vad är
Läs merNär jag har arbetat klart med det här området ska jag:
Kraft och rörelse När jag har arbetat klart med det här området ska jag: kunna ge exempel på olika krafter och kunna använda mina kunskaper om dessa när jag förklarar olika fysikaliska fenomen, veta vad
Läs merUtveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan
DEL 1: Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan Modulen inleds med det övergripande målet för modul 6 och en innehållsförteckning över utbildningens olika delar. Börja med att sätta ramarna
Läs merIntyg om erfarenhet och lämplighet att undervisa som lärare i gymnasieskolan
Intyg om erfarenhet och lämplighet att undervisa som lärare i gymnasieskolan Läs detta innan du fyller i intyget: Det här formuläret ska fyllas i av rektorn eller huvudmannen och bifogas till ansökan om
Läs mer1. Angående motion om julgran
Styrelsens kommentarer med anledning av skrivelse från Marianne Gylling, 38 B, avseende kritik mot vissa av styrelsens beslut (Marianne Gyllings skrivelse bifogas) Marianne Gylling har i sin skrivelse
Läs merSANNOLIKHET. Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar.
SANNOLIKHET Sannolikhet är: Hur stor chans (eller risk) att något inträffar. tomas.persson@edu.uu.se SANNOLIKHET Grundpremisser: Ju fler möjliga händelser, desto mindre sannolikhet att en viss händelse
Läs merDet flippade klassrummet hur uppfattas det av eleverna?
Det flippade klassrummet hur uppfattas det av eleverna? Vi och vår skola Undervisningslyftet Samarbete Karlskrona kommun och Högskolan i Jönköping Föreläsningar, seminarier, handledning Möjlighet att ta
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU LABORATION MVE0-0/03 Matematiska vetenskaper Linjära system av differentialekvationer Inledning Vi har i envariabelanalysen sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor
Läs merWebb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01
Sök bidrag på webben www.solvesborg.se Gäller från 2015-01-01 Innehåll Kontaktperson Fritids- och turismkontoret Sölvesborg kommun Inledning Följande bidrag går att söka på webben Logga in Dokumenthantering
Läs merVäga paket och jämföra priser
strävorna 2AC 3AC Väga paket och jämföra priser begrepp rutinuppgifter tal geometri Avsikt och matematikinnehåll Den huvudsakliga avsikten med denna aktivitet är att ge elever möjlighet att utveckla grundläggande
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Nösnäsgymnasiet 2 i Stenungsund våren 2014
Enkätresultat för elever i år 2 i Nösnäsgymnasiet 2 i Stenungsund våren 2014 Antal elever: 47 Antal svarande: 40 Svarsfrekvens: 85% Klasser: 12BAa, 12BAb, 12LL Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per
Läs merMål Blå kurs Röd kurs
Bråk Mål När eleverna har arbetat med det här kapitlet ska de kunna läsa och skriva bråk veta vad som menas med täljare och nämnare känna till och kunna använda begreppen bråkform och blandad form kunna
Läs merIdag: Dataabstraktion
Idag: Dataabstraktion Hur använder vi det vi hittills kan om Scheme för att realisera (implementera) sammansatta data? Hur separerar man datastrukturen från resten av ett program så att ändringar i datastrukturen
Läs mera k . Serien, som formellt är följden av delsummor
Kapitel S Mer om serier I dettapitel sall vi fortsätta att studera serier, ett begrepp som introducerades i Kapitel 9.5 i boen, framförallt sa vi bevisa ett antal onvergensriterier. Mycet ommer att vara
Läs merAtt köpa HUND. Goda råd inför ditt hundköp SVENSKA KENNELKLUBBEN
Att köpa HUND Goda råd inför ditt hundköp SVENSKA KENNELKLUBBEN Funderar du på att köpa valp? En hund är en ny vän och familjemedlem som kommer att finnas vid din sida i många år. Tänk på att det är stor
Läs merVetenskapliga begrepp. Studieobjekt, metod, resultat, bidrag
Vetenskapliga begrepp Studieobjekt, metod, resultat, bidrag Studieobjekt Det man väljer att studera i sin forskning Nära sammankopplat med syftet Kan vara (fysiska) ting och objekt: Datorspel, Affärssystem,
Läs merBoken om Teknik. Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6.
Boken om Teknik Boken om Teknik är en grundbok i Teknik för åk 4 6. PROVLEKTION: Teknikens arbetssätt att göra på riktigt Följande provlektion är ett utdrag ur Boken om Teknik. Uppslaget som är hämtat
Läs merSTYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Mega Musik gymnasium hösten 2014. Antal elever: 47 Antal svarande: 46 Svarsfrekvens: 98% Klasser: MM13
Enkätresultat för elever i år 2 i Mega Musik gymnasium hösten 2014 Antal elever: 47 Antal svarande: 46 Svarsfrekvens: 98% Klasser: MM13 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin till de skolor
Läs merTränarguide del 1. Mattelek. www.mv-nordic.se
Tränarguide del 1 Mattelek www.mv-nordic.se 1 ATT TRÄNA MED MATTELEK Mattelek är ett adaptivt träningsprogram för att träna centrala matematiska färdigheter såsom antalsuppfattning, den inre mentala tallinjen
Läs merEnkätresultat för elever i år 2 i Praktiska Skövde i Praktiska Sverige AB hösten 2014
Enkätresultat för elever i år 2 i Praktiska Skövde i Praktiska Sverige AB hösten 2014 Antal elever: 18 Antal svarande: 13 Svarsfrekvens: 72% Klasser: År 2 Skolenkäten Skolenkäten går ut en gång per termin
Läs merStockholms Tekniska Gymnasium 2014-11-19. Prov Fysik 2 Mekanik
Prov Fysik 2 Mekanik För samtliga uppgifter krävs om inte annat står antingen en tydlig och klar motivering eller fullständig lösning och att det går att följa lösningsgången. Fråga 1: Keplers tredje lag
Läs merSystematiskt kvalitetsarbete
Systematiskt kvalitetsarbete Rapport År: 2016 Organisationsenhet: NYEFSK/FSK Nye Förskola Fokusområde: Demokrati och värdegrund Övergripande mål: Normer och värden Deluppgift: Klassens kvalitetsrapport
Läs mer1 Navier-Stokes ekvationer
Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan
Läs merDu ska nu skapa ett litet program som skriver ut Hello World.
Tidigare har vi gjort all programmering av ActionScript 3.0 i tidslinjen i Flash. Från och med nu kommer vi dock att ha minst två olika filer för kommande övningar, minst en AS-fil och en FLA-fil. AS Denna
Läs merLinjära system av differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 6 MVE6 - /6 Matematiska vetenskaper Inledning Linjära system av differentialekvationer Vi har i studioövning sett på allmäna system av differentialekvationer med begynnelsevillkor u (t) =
Läs merSkriva B gammalt nationellt prov
Skriva B gammalt nationellt prov Skriva B.wma Då fortsätter vi skrivträningen. Detta avsnitt handlar om att anpassa sin text till en särskild situation, en speciell texttyp och särskilda läsare. Nu ska
Läs merRiktlinjer - Rekryteringsprocesser inom Föreningen Ekonomerna skall vara genomtänkta och välplanerade i syfte att säkerhetsställa professionalism.
REKRYTERINGSPOLICY Upprättad 2016-06-27 Bakgrund och Syfte Föreningen Ekonomernas verksamhet bygger på ideellt engagemang och innehar flertalet projekt där såväl projektledare som projektgrupp tillsätts
Läs merKontrollskrivning i Linjär algebra 2014 10 30, 14 18.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs merUtvärdering APL frågor till praktikant
Utvärdering APL frågor till praktikant Jag studerar på A. Vård och Omsorgsprogrammet för 0 0 ungdomar åk 1 B. Vård och Omsorgsprogrammet för 1 1,9 ungdomar åk 2 C. Vård och Omsorgsprogrammet för 8 15,4
Läs merÄndra föreningsuppgifter i föreningsregistret i Interbook
Ändra föreningsuppgifter i föreningsregistret i Interbook Välkommen till föreningsregistret i Interbook! När föreningen fått användarnamn och lösenord kan du gå in och ändra uppgifterna. Kom ihåg att gå
Läs merFacit åk 6 Prima Formula
Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 3 Algebra och samband Sidan 95 1 a 12 cm (3 4 cm) b Han vet inte att uttrycket 3s betyder 3 s eller s + s + s 2 a 5x b 6y c 12z 3 a 30 cm (5 6 cm) b 30 cm (6 5 cm) Sidan
Läs merMedborgarförslag om möjlighet att kunna välja Falkenbergs kommun som utförare av personlig assistans. KS 2015-48
Utdrag ur protokoll fört vid sammanträde med kommunstyrelsens arbetsutskott i Falkenberg 2016-03-29 111 Medborgarförslag om möjlighet att kunna välja Falkenbergs kommun som utförare av personlig assistans.
Läs merFunderar på att byta jobb, är inte med i facket med företaget går under installationsavtalet. Har varit anställd i 2år och 8månader.
uppsägningstid & semester Postad av Mikael Hedlund - 28 apr 2015 17:06 Funderar på att byta jobb, är inte med i facket med företaget går under installationsavtalet. Har varit anställd i 2år och 8månader.
Läs merPRÖVNINGSANVISNINGAR
Prövning i Matematik 5 PRÖVNINGSANVISNINGAR Kurskod MATMAT05 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik 5 Skriftligt prov, 4h Teoretiskt prov Bifogas Provet består av två delar.
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merJämförelse länder - Seminarium
Jämförelse länder - Seminarium På seminariet ska du presentera dina länder. Du ska börja med att presentera grundläggande fakta om länderna, t.ex. vilken sorts produkter de exporterar & importerar (är
Läs mer