Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
|
|
- Christian Axel Lindström
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 10 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
2 Dagens program Plurisubharmoniska funktioner Konvexa och pseudokonvexa områden Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
3 Plurisubharmoniska funktioner Definition En funktion u : Ω R { } kallas plurisubharmonisk om den är uppåt halvkontinuerlig och C ζ u(z + ζw) är subharmonisk (där den är definierad) för alla z Ω, w C n. Låt PSH(Ω) beteckna mängden av plurisubharmoniska funktioner på Ω. Dvs, en funktion är plurisubharmonisk om den är subharmonisk på varje 1-dimensionellt komplext affint underrum till C n. (Observera att det finns gott om 2-dimensionella reella underrum till C n som inte är 1-dimensionella komplexa affina underrum.) Exempel Om f O(Ω), så är log f PSH(Ω) och f p PSH(Ω) för p > 0. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
4 Pluriharmoniska funktioner Definition En (C 2 -)funktion kallas pluriharmonisk om den är harmonisk på varje 1-dimensionellt komplext affint underrum till C n. Observera att realdelen till en holomorf funktion är pluriharmonisk. (Inte bara harmonisk.) Omvänt är varje pluriharmonisk funktion lokalt realdelen av en holomorf funktion. Exempel Om u C 2, så är ζ (u(z + ζw)) ζ=0 = 2 u z j z k (z)w j w k. Med andra ord, om u är pluriharmonisk så 2 u z j z j = 0 för alla j (sätt w = e j). Omvändningen är också sann och lämnas som övning. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
5 Pluriharmoniska funktioner, forts Pluriharmoniska funktioner spelar inte riktigt samma framträdande roll i C n som harmoniska funktioner gör i C. En anledning är ett det finns förhållandevis få pluriharmoniska funktioner. Exempel Låt B vara enhetsbollen i C 2. Välj en funktion φ C( B), sådan att φ = 0 på en omgivning av (1, 0) och φ = 1 på en omgivning av ( 1, 0). Då finns ingen pluriharmonisk funktion på B vars randvärden ges av φ. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
6 Differentialvillkor för plurisubharmonicitet Sats Om u C 2 (Ω), så är u PSH(Ω) om och endast om matrisen «2 u är positivt semi-definit. z j z k Även om det inte finns någon enkel differentialekvation som karakteriserar plurisubharmoniska funktioner, så finns det en intressant differentialoperator i bakgrunden, nämligen den komplexa Monge-Ampèreoperatorn, som för C 2 -funktioner definieras som «MA(u) = 4 n 2 u n! det. z j z k Observera att MA(u) 0 om u C 2 PSH, men detta karakteriserar inte plurisubharmoniska funktioner. Det är omöjligt att utvidga MA till hela PSH, men det går till exempel bra att definiera MA(u) för u PSH L loc. En ordentlig genomgång av MA får vänta till en senare kurs... Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
7 Några egenskaper för psh funktioner Proposition Låt u PSH(Ω) och anta att φ är en växande, konvex, funktion. Då är φ u PSH(Ω). Proposition Låt u PSH(Ω) och sätt Ω ε = {z Ω : dist(z, Ω) > ε}. Då finns det en familj f ε PSH(Ω ε) C (Ω ε), sådan att f j f. Bevis. Välj φ C 0 (C n ), sådan att R φ = 1 och φ(z 1,..., z n) = φ( z 1,..., z n ). Sätt Z f ε = f(z εζ)φ(ζ) dv (ζ). Man kontrollerar förhållandevis lätt att f ε har rätt egenskaper (jfr situationen med subharmoniska funktioner). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
8 Maximala plurisubharmoniska funktioner Definition En funktion u PSH(Ω) kallas maximal om den uppfyller följande villkor: Till varje Ω Ω och varje v PSH(Ω) som uppfyller att u v på Ω \ Ω följer att u v på Ω. Obs! Motsvarande definition med plurisubharmonisk utbytt mot subharmonisk ger att maximala subharmoniska funktioner är samma sak som harmoniska funktioner. I en ordentlig behandling av pluripotentialteori, ser man att maximala psh funktioner i många avseenden är rätt generalisering av harmoniska funktioner till C n. Tex är det sant för C 2 -funktioner att u PSH(Ω) är maximal omm MA(u) = 0. I allmänhet behöver dock inte maximala psh funktioner vara C 2 (eller ens kontinuerliga). Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
9 Konvexitet Definition En mängd S R n kallas (geometriskt) konvex om P, Q S medför att linjestycket (1 λ)p + λq S för alla 0 λ 1. Problem med definitionen: Inte lokal, inte (särskilt) kvantitatvi, inte formulerat i termer av funktioner. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
10 Definierande funktioner Låt Ω R n vara ett område med C 1 -rand. En definierande funktion för Ω är en funktion ρ : R n R som är C 1 och uppfyller 1. Ω = {x : ρ(x) < 0}. 2. Ω = {x : ρ(x) > 0}. 3. ρ(x) 0 för alla x Ω. Varje område med C 1 -rand har en definierande funktion. För områden med C k -rand, kan den definierande funktionen tas C k. (Om k 2 är avståndet till randen med tecken en definierande funktion.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
11 Tangentrummet till Ω Definition Låt Ω R n ha C 1 -rand, och låt ρ C 1 vara en definierande funktion för Ω. Om P Ω och w = (w 1,..., w n) är en vektor, som uppfyller att j=1 ρ x j (P ) w j = 0, så kallas w en tangentvektor till Ω i P. Vi skriver detta som w T P ( Ω). Man kan kontrollera att definitionen är oberoende av valet av definierande funktion. (Se Krantz för detaljer. För C 1 -rand är argumentet ganska tekniskt, men det är enklare för C k, k 2.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
12 Analytisk konvexitet Definition Låt Ω vara ett område i R n med C 2 -rand och ρ en definierande funktion förω. Låt P Ω. Vi säger att Ω är (svagt) konvex i P om 2 ρ x j x k (P ) w jw k 0, för alla w T P ( Ω). Om olikheten är strikt för alla w 0, säger vi att Ω är strängt konvex i P. (Ibland skiljer man på begreppen strängt och strikt konvex. Man kan visa att varje strängt konvex randpunkt är en konvex extrempunkt, men omvändningen gäller inte. Jfr området { x 4 + y 4 < 1}.) Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
13 Analytisk konvexitet, forts Lemma Om Ω R n är strängt konvex, så finns en definierande funktion ρ och en konstant C > 0 så att 2 ρ (P ) w jw k C w 2, x j x k för alla P Ω och alla w R n. (Inte bara tangentvektorer, alltså.) Beviset är tekniskt och jag hänvisar till Krantz för detaljer. Resultatet är förstås inte sant för svagt konvexa ränder. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
14 Geometrisk kontra analytisk konvexitet Proposition Om Ω är strängt konvex, så är Ω geometriskt konvex. Bevis. Observera att Ω Ω är sammanhängande. Definiera S = {(P, Q) Ω Ω : (1 λ)p + λq Ω, för alla 0 < λ < 1. Det är klart att S är öppen och icke-tom. För att se att S är sluten, ta en definierande funktion som i föregående proposition. Om S inte är sluten, finns det P, Q i Ω så att funktionen t ρ((1 t)p + tq) antar ett maximum 0 i en inre punkt av [0, 1], men detta motsäger att Hessianen av ρ är positivt definit. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
15 Geometrisk kontra analytisk konvexitet, forts Proposition Om Ω är (svagt) konvex, så är Ω geometriskt konvex. Bevis. För enkelhets skull, anta att Ω är C 3. Sätt ρ ε = ρ + ε x 2M /M. Om ε > 0 är litet och M stort, så är Ω ε = {ρ ε < 0} strängt konvex och därmed geometriskt konvex. Skriv Ω som en växande följd av lämpligt valda Ω ε. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
16 För t = 0 och ε litet är alltså ρ(q) > 0. Å andra sidan, för samma ε och t tillräckligt stort blir ρ(q) < 0, vilket motsäger att Ω är geometriskt konvex. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20 Geometrisk kontra analytisk konvexitet, forts Proposition Om Ω har C 2 -rand och är geometriskt konvex, så är Ω svagt konvex. Bevis. Anta att det finns en P Ω och ett w T P ( Ω) så att 2 ρ x j x k (P ) w jw k = 2K < 0. Vi kan anta att vi har valt koordinater så att P = 0 och e n = (0,..., 0, 1) är den yttre ρ enhetsnormalen till Ω i P. Normalisera den definierande funktionen, så att x n (0) = 1. Sätt Q = tw + εe n, där ε > 0 och t R. Taylorutveckla ρ: ρ(q) = ρ(0) + j=1 = ε ρ x n (0) + t2 2 ρ x j (0) Q j ρ x j x k (0) Q jq k + o( Q 2 ) 2 ρ x j x k (0) w jw k + O(ε 2 ) + o(t 2 ).
17 Konvexitet i C n Låt Ω vara ett (begränsat) område i C n med C 2 -rand och anta att Ω är konvext i P Ω. Uttryckt i komplexa koordinater, blir villkoret att w T P ( Ω) (se Krantz för detaljer):! ρ 2 Re (P ) w j = 0. z j j=1 Observera att rummet av vektorer T P ( Ω) inte är slutet under multiplikation med i. Om vi i stället fokuserar på mängden av vektorer, T P ( Ω) som uppfyller att j=1 ρ z j (P ) w j = 0, får vi ett komplext underrum till T P ( Ω). (I själva verket det största komplexa underrummet.) Vi kallar T P ( Ω) för det komplexa tangentrummet till Ω i P. Övning Vad blir det komplexa tangentrummet till randen av ett område i C? Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
18 Leviformen Om vi skriver om konvexitetsvillkoret för komplex tangentvektorer i komplexa koordinater, blir detta (se Krantz för detaljer) 0 = «2 ρ 2 Re (P ) w jw k + z j z k 2 2 ρ z j z k (P ) w j w k. Ytterligare en lång beräkning visar att den första termen i HL inte transformerar på ett naturligt sätt under komplexa koordinatbyten, medan den andra gör det. Uttrycket L Ω (P ; w) = kallas Leviformen (till Ω eller Ω). 2 ρ z j z k (P ) w j w k Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
19 Pseudokonvexitet Definition Låt Ω C n vara ett område med C 2 -rand och låt P Ω. Låt ρ vara en definierande funktion för Ω. Vi säger att Ω är (Levi-)pseudokonvex i P om 2 ρ z j z k (P ) w j w k 0 för alla w T P ( Ω). Om vi har strikt olikhet för w 0, säger vi att Ω är strikt pseudokonvex i P. Observera att definitionen säger att ρ ska vara plurisubharmonisk i komplexa tangentriktningar. Proposition Om Ω är konvex, så är Ω pseudokonvex. Bevis. Använd konvexitetsvillkoret på w T P ( Ω) och på iw. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
20 Bra att veta om pseudokonvexa områden Proposition Om Ω är begränsat med C 2 -rand och strikt pseudokonvext, så finns en definierande funktion ρ och ett C > 0 sådan att 2 ρ z j z k (P ) w j w k C w 2 för alla w 0. (Inte bara komplexa tangentvektorer, dvs ρ är strikt plurisubharmonisk.) Proposition (Narasimhans lemma) Om Ω är begränsat med C 2 -rand och Ω är strikt pseudokonvext i P, finns det en omgivning U till P och en biholomorf avbildning Φ, så att Φ(U Ω) är strängt konvex. Motsvarande resultat är inte sant för svagt pseudokonvexa områden, även om man länge trodde det. Den lokala biholomorfin kan inte nödvändigtvis väljas global; det finns exempel på strikt pseudokonvexa områden som inte är biholmorfa med något konvext område. Däremot kan strikt pseudokonvxa områden bäddas in i strängt konvexa områden (i högre dimension). Se Fornæss inbäddningssats för detaljer. Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt februari / 20
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 17 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 1 / 26 Dagens program Konvexa och
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merOptimering med bivillkor
Optimering med bivillkor Vi ska nu titta på problemet att hitta max och min av en funktionen f(x, y), men inte över alla möjliga (x, y) utan bara för de par som uppfyller ett visst bivillkor g(x, y) =
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merSätt t = (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1). Då är f(x, y) = log(t + 1) = t 1 2 t t3 + O(t 4 ) 1 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 2 (x 1) 2 + y 2 + 2(x 1) ) 3
Lektion 7, Flervariabelanalys den februari 000 9 Bestäm Taylorserien till funktionen log( + x + y + xy) i punkten (0, 0) Vi kan faktorisera argumentet till logaritmen och förenkla funktionen log( + x +
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merHarmoniska funktioner
Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt
Läs merLinjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4
Linjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4 Lay: 2.8-2.9, 4.1-4.6 Underrum i R n, dimension och rang. Vektorrum. Innehållet i avsnitten 2.8 och 2.9 täcks av kapitel 4, men presenterar begreppen på ett
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 20 januari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 1 / 22 Upplägg Sju föreläsningar, en
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merGeometriska vektorer
Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive
Läs merNumeriska metoder för ODE: Teori
Numeriska metoder för ODE: Teori Vilka metoder har vi tagit upp? Euler framåt Euler bakåt Trapetsmetoden y k+ = y k + hf(t k, y k ), explicit y k+ = y k + hf(t k+, y k+ ), implicit y k+ = y k + h (f(t
Läs merAndragradspolynom Några vektorrum P 2
Låt beteckna mängden av polynom av grad högst 2. Det betyder att p tillhör om p(x) = ax 2 + bx + c där a, b och c är reella tal. Några exempel: x 2 + 3x 7, 2x 2 3, 5x + π, 0 Man kan addera två polynom
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merLinjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.
Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,
Läs merDefinition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller
April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merSkrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs mer.I Minkowskis gitterpunktssats
1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,
Läs merLAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merImz. Rez. Bo E. Sernelius
KKKA 2005 Imz Rez Bo E. Sernelius Kort kurs i komplex analys Förord Den här kursen är avsedd som en kort introduktion till komplex analys för studenter som går på Fysikprogrammet. Avsikten är delvis att
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs mertal. Mängden av alla trippel av reella tal betecknas med R 3 och x 1 x 2 En sekvens av n reella tal betecknas med (x 1, x 2,, x n ) eller
Augusti, 5 Föreläsning Tillämpad linjär algebra Innehållet: linjen R, planet R, rummet R, oh vektor rummet R n Matriser punkter oh vektorer i planet, rummet, oh R n Linjen, planet, rummet, oh vektor rummet
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs mer10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM
98 LINJÄRA RUM.4. Linjära höljet Definition.37. Mängden av alla linjärkombinationer av M = {v, v,...,v n } iett linjärt rum V kallas för linjära höljet av M betecknas [M], dvs [M] ={u V : u = λ v + λ v
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merDefinitionsmängd, urbild, domän
5B1493, lekt 5, HT06 Funktioner Definition av begreppet Definition: Låt X och Y vara två mängder. En funktion f av typ X Y är detsamma som en delmängd av X Y, sådan att 1. Om (x, y) och (x, z) f, så är
Läs merVektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.
Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merHt Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra
Ht-2010 Umeå universitet Institutionen för matematik och matematisk statistik PAB Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer Del 1 Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra 10.1-10.
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merLinjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs mer5 Lokala och globala extremvärden
Nr 5, mars -5, Amelia 5 Lokala och globala extremvärden Ienvariabelinträffar lokala extremvärden i punkter där f (x) =, om f är deriverbar och det inte är en randpunkt. Vilken typ av extremvärde det är
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merOrdinära differentialekvationer
Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk
Läs merIsometrier och ortogonala matriser
Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merUppgifter till kurs: Geometriska analys och designmetoder för olinjära system
Uppgifter till kurs: Geometriska analys och designmetoder för olinjära system Erik Frisk 2 juni 200 Uppgift. Antag ett linjärt system som beskrivs av exkvationerna: ẋ = Ax+Bu y = Cx med n = 4 tillstånd,
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs merStokastiska vektorer och multivariat normalfördelning
Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs mer