Harmoniska funktioner
|
|
- Dan Erik Hellström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Harmoniska funktioner Lars Hörmander vt 98 Definitioner och grundläggande egenskaper Enligt definitionen är en analytisk funktion f i Ω C en C lösning till Cauchy-Riemanns differentialekvation f z =. Enligt sats 5..4 är f då automatiskt oändligt deriverbar. Vi kan därför erhålla en differentialekvation med reella koefficienter genom att använda operatorn / z, vilket ger Här är där kallas för Laplaceoperatorn. Vi har alltså f z z =. z z = 4 ( x + y ) = 4 = x + y f = och eftersom har reella koefficienter följer härav att?? och Im f = om vi separerar real- och imaginärdelarna. Definition En funktion u C (Ω) kallas harmonisk om u =. Sats Real- och imaginärdelarna av en analytisk funktion är harmoniska funktioner. Omvänt är varje reellvärd harmonisk funktion i en cirkelskiva realdelen av en analytisk funktion där. Bevis. Det första påståendet är redan bevisat. Låt u vara en reellvärd harmonisk funktion i Ω = {z C; z < R}. Då är f = u z = u x i u y en analytisk funktion, för f z = u z z = u =. Nu visar potensserieutvecklingen av f att vi kan finna en analytisk funktion F i Ω med F = f. Vi väljer den med F () = u(). Eftersom (Re F ) z = (F (z) + F (z) z = F (z) = f(z) = u z så är differentialen av Re F u lika med, alltså Re F u lika med en konstant som måste vara eftersom vi valt F () = u(). Detta bevisar satsen.
2 En viktig konsekvens av denna sats är Sats (Gauss medelvärdessats) Om u är harmonisk i en omgivning av cirkelskivan så är u(x, y ) lika med medelvärdet över randen, {(x, y) R ; (x x ) + (y y ) r } u(x, y ) = u(x + r cos θ, y + r sin θ)dθ. Bevis. Vi kan anta att u är reell. Då är u = Re f med f analytisk, och med beteckningen z = x + iy får vi av Cauchys integralformel f(z ) = f(z)dz = f(z + re iθ )dθ. i z z z z =r Om vi tar realdelen så får vi Gauss medelvärdessats. Av denna sats följer genast maximumprincipen för harmoniska funktioner: Sats 3 Om u är reell och kontinuerlig i en kompakt mängd K C och harmonisk i det inre av K så är u(x, y) max u, (x, y) K. K Om likhet gäller i en inre punkt så är u konstant i en omgivning av denna. Bevis. Låt M vara maximum av u i K. Antag att M antas i en inre punkt (x, y ). Enligt medelvärdessatsen har vi då (u(x + r cos θ, y + r sin θ) M)dθ = då r är mindre än avståndet till randen. Integranden är så den måste vara identiskt noll. Alltså är u = M i en cirkelskiva med medelpunkt i (x, y ) som innehåller en randpunkt, så M = max K u och satsen är bevisad. Anmärkning Om f är en analytisk funktion så är log f = Re log f en harmonisk funktion där f. (I ett öppet område där arg f har en entydig kontinuerlig definition är också arg f = Im log f harmonisk.) Det är därför lätt att av sats 3 erhålla maximumprincipen för analytiska funktioner. Beviset för de två satserna är f.ö. ganska lika. Tillsammans med sats visar sats 7.. att också harmoniska funktioner är oändligt deriverbara. Eftersom sammansättningen av analytiska funktioner är analytisk får vi slutligen av sats Sats 4 Om u är harmonisk i Ω C och om f är en analytisk funktion i Ω C med värden i Ω, så är sammansättningen u f en harmonisk funktion i Ω. På grund av denna sats kan man reducera studiet av harmoniska funktioner i ganska allmänna områden till studiet av harmoniska funktioner i enhetscirkelskivan. Detta är ämnet för nästa avsnitt. Harmoniska funktioner i enhetscirkelskivan Låt u var en kontinuerlig funktion i slutna höljet av enhetscirkelskivan Ω = {(x, y); x + y < }
3 som är harmonisk i Ω. Vi vill bestämma u i det inre med hjälp av värdena på randen. Enligt Gauss medelvärdessats gäller för r < Då r får vi u(, ) = u(, ) = eller, om vi inför komplexa beteckningar u() = u(r cos θ, r sin θ)dθ. ζ = u(cos θ, sin θ)dθ, u(ζ)dζ iζ. För att bestämma u i en annan punkt z Ω kan vi använda en Möbiustransformation som avbildar Ω på sig och i z, w = ζ + z + ζz, ζ = w z wz. Enligt sats 4 är U(ζ) = u((ζ + z)/( + ζz)) en harmonisk funktion i Ω, så vi får U(ζ)dζ u(z) = U() = = ( ) u(w) iζ i w z + z dw. wz ζ = Då w = har vi att /w = w, alltså Om vi sätter w = e iθ får vi nu w = w z + z wz = z (w z)( wz) = z w z w. () u(z) = Högerledet kallas för Poissonintegralen och u(e iθ ) z e iθ dθ, z <. () P (z, θ) = kallas för Poissonkärnan. Om vi tar u = i () så får vi Vi kan nu bevisa z e iθ z P (z, θ)dθ =, z <. (3) Sats 5 För varje kontinuerlig funktion u på Ω finns en och endast en harmonisk funktion u i Ω som är kontinuerlig i Ω och har randvärdena u. Bevis. Vi har redan visat att en sådan funktion måste ges av u(z) = u (e iθ )P (z, θ)dθ, z Ω. (4) Av () föjler genast att P (z, θ) är en harmonisk funktion av z, så derivation under integraltecknet visar att u är harmonisk i Ω. Det gäller därför bara att visa att u(z) u (e iψ ) då z e iψ. Enligt (3) har vi u(x) u (e iψ ) = (u (e iθ ) u (e iψ ))P (z, θ)dθ. 3
4 För givet ɛ > finns en omgivning I till e iψ där u (e iθ ) u (e iψ ) < ɛ. Integralen över I kan uppskattas med ɛ, så u(z) u (e iψ ) < ɛ + max u P (z, θ)dθ. I c Men P (z, θ) likformigt i I c då z e iψ, ty z och z e iθ är nedåt begränsad. Detta bevisar satsen. Sats 5 löser för enhetscirkelskivan Dirichlets problem att finna en harmonisk funktion i ett område med givna värden på randen. Av sats 4 följer att vi genast kan erhålla en lösning av Dirichlets problem för varje område för vilket vi känner en konform avbildning på enhetscirkelskivan. Som exempel tar vi övre halvplanet Im z > som vi betraktar som en del av Riemannsfären, alltså med en randpunkt i. Vi vill föreskriva randvärden på reella axeln som har samma gränsvärde A i ±, och vi söker en harmonisk funktion med de givna randvärdena som dessutom A i. Om Im z > så är w = w w = w z w z en konform avbildning av övre halvplanet på enhetscirkelskivan Ω. Om u är harmonisk i övre halvplanet och vi sätter u(w) = U(w ), så blir U därför harmonisk i Ω, U(w )dw u(z) = U() = iw = ( u (w) w z ) dw = Im z u (w)dw w z w z. Av sats 5 följer alltså att R u(z) = Im z u (w)dw w z. (5) är den enda harmoniska funktionen i det övre halvplanet med de givna randvärdena. (Observera villkoret i oändligheten. Im z är en harmonisk funktion i övre halvplanet som är på reella axeln men den går inte mot i oändligheten.) Vi skall nu komplettera sats 5 med att beräkna den analytiska funktion f i enhetscirkelskivan som har realdelen u och imaginärdelen i lika med. Enligt () har vi Eftersom u = Re u så har u(z) = ( ) e iθ e iθ z + z e iθ u (e iθ )dθ. z f(z) = e iθ + z e iθ z u (e iθ )dθ, z <, (6) realdelen u. Vidare är f() = u() och f är analytisk då z < eftersom integranden är det. Alltså är f den sökta funktionen. Man kallar Im f för den konjugerade harmoniska funktionen till u. Vi skall undersöka dess randvärden på enhetscirkeln. Om r < och ψ [, ) så ger en translation av θ att eftersom Im f(re iψ ) = Här kan vi inte utan vidare låta r, för r sin θ e iθ r u (e i(θ+ψ) )dθ Im eiθ + r e iθ r = Im (eiθ + r)(e iθ r) r sin θ e iθ r = e iθ r. lim r r sin θ e iθ r = sin θ e iθ = sin θ cos θ 4 sin θ 4
5 är inte en integrerbar funktion. Vi utbyter därför θ mot θ i integralen från till och får Im f(re iψ ) = r sin θ e iθ r (u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ))dθ. Antag nu att u är kontinuerligt deriverbar, u M. Då kan integranden uppskattas med Mθ/ sin θ M/ om < θ < / och med M då / < θ <. Utanför en godtycklig omgivning till (i själva verket också där) konvergerar integranden likformigt mot Vi har alltså cot θ ( ) u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ). Sats 6 Om funktionen u i sats 5 är reellvärd och tillhör C så är den analytiska funktionen f med realdelen u som ges av (6) kontinuerlig i Ω och randvärdet av imaginärdelen då z e iψ är cot θ Man kallar detta för den konjugerade funktionen till u. ( ) u (e i(ψ+θ) ) u (e i(ψ θ) ) dθ. (7) För fallet av ett halvplan ser man ännu enklare av (5) att den analytiska funktionen med realdelen u vars imaginärdel är i oändligheten ges av f(z) = i Imaginärdelen har på reella axeln randvärdena v(x) = u (w)dw w z. (8) (u (x + w) u (x w))dw, (9) w som alltså är den konjugerade funktionen. Vi kan också skriva (9) i formen u (x w)dw u (w)dw v(x) = lim = lim ɛ w >ɛ w ɛ x w >ɛ (x w). Observera att man tar bort ett symmetriskt intervall kring singulariteten. Man kallar detta för principalvärdet av den egentligen divergenta integralen och skriver v(x) = pv u (w)dw x w. Detta är emellertid bara ett kortare skrivsätt och innebörden är fortfarande att man tar gränsvärdet av integralen med ett litet symmetriskt intervall kring singulariteten borttaget. Om u är en jämn funktion, alltså u (w) = u ( w), så kan vi dela upp integrationen i en integral från till och en från till. Eftersom så får vi då x w + x + w = x x w, v(x) = pv xu (w)dw x w vilket är en udda funktion av x. Om u är udda så får vi på samma sätt v(x) = pv wu (w)dw x w, x. 5
6 I den fysikaliska litteraturen går dessa samband ofta under benämningen dispersionsrelationer. Om vi i () observerar att /z = z är spegelbilden av z i enhetscirkeln så kan vi uppfatta sats på ännu ett sätt. Betrakta nämligen de analytiska funktionerna f +(z) = u (w)dw, z <, i w = w z f (z) = () u (w)dw, z >. i w z Då är för z < w = u(z) = f +(z) f (z ) u (w) då z w, w =. Om u C så kan f + och f enligt sats 6 utvidgas kontinuerlig till alla z med z respektive z, för w w z = ( ) w + z w z + så med beteckningen i (6) har vi Vi får därför f +(z) = f(z) + u(). Sats 7 Om u C ( Ω) så kan de analytiska funktionerna f + och f som definieras av (6) utvidgas kontinuerligt till alla z med z respektive z. Vi har då f +(w) f (w) = u (w) då w =, och f (z) då z. Dessa egenskaper karakteriserar f + och f. Bevis. Om u är reell så har vi redan visat att f + och f har dessa egenskaper. I annat fall får vi dem genom att dela upp u i real- och imaginärdelen. Antag nu att g + och g har samma egenskaper. Då är och om vi sätter f + f = g + g på Ω, G(z) = { g +(z) f +(z), z, g (z) f (z), z, får vi därför en kontinuerlig funktion i C som i oändligheten och är analytisk utom eventuellt då z =. Nu har vi G(z) = G(w)dw, z < r. i w z w =r Det räcker av kontinuitetsskäl att visa detta då z. Om z > så ger Cauchys integralformel, eftersom G är analytisk utanför enehtscirkeln, att differensen mellan de två leden är lika med samma integral då w = r och < r < z. Av kontinuitetsskäl är denna lika med integralen då w =, och som G är analytisk i det inre av enhetscirkeln är den lika med. På samma sätt inses formeln då z <. Låter vi r nu så får vi G(z) = eftersom G i. Föregående resultat gäller inte bara för enhetscirkeln. Om Γ är en godtycklig sluten C kurva och u en C funktion på Γ så kan vi genom att integrera över Γ i stället för enhetscirkeln i () få en analytisk funktion innanför Γ och en utanför Γ vars randvärden skiljer sig med u. Vi lämnar detta som en övning åt den eventuellt intresserade läsaren och nöjer oss med att peka på motsvarande resultat för reella axeln: Om u är en begränsad C funktion med begränsad derivata på R och u (w) = O(/w) då w, så är f ±(z) = i u (w)dw w z, Im w > <, analytiska funtioner med kontinuerliga randvärden på reella axeln, f +(w) f (w) = u(w), w R. 6
7 Sats 7 kan uppfattas som en sats om Fourierserier. Vi har nämligen att f +(z) = a nz n, z < ; f (z) = a nz n där a n = u (e iθ )e inθ dθ () kallas Fourierkoefficienterna för u. För beviset observerar vi att för n och r < gäller a n = f +(z)z n dz = f +(re iθ )e inθ r n dθ i medan för n < och r > z =r a n = f (re iθ )e inθ r n dθ. Dessa integraler blir för n < respektive n. Då r får vi för n a n = f +(e iθ )e inθ dθ = vilket bevisa () för n. Beviset är analogt då n <. Om u C så är a n = n (f +(e iθ ) f (e iθ ))e inθ dθ ( ) d u (e iθ ) e inθ dθ = O. dθ n På grund av likformig konvergens av potensserier för f + och f följer nu att f +(e iθ ) = a ne inθ, n= f (e iθ ) = a ne inθ. n= Alltås är u summan av sin Fourierserie u (e iθ ) = a ne inθ. () 3 En sats om minimummodulen För att visa hur man kan kombinera resultatet i detta och föregående kapitel för att studera värdena hos analytiska funktioner skall vi här visa en intressant och användbar sats av Carleman Milloux Schmidt Nevanlinna Beurling: Sats 8 Låt f vara analytisk och f(z) M då z < R, samt antag att min f(z) m, r < R, (3) z =r där m M. Då gäller f(z) m δ(z) M δ(z), δ(z) = arcsin R z R + z. (4) Eftersom δ(z) /3 då z R/3 har vi speciellt alltså f(z) m /3 M /3 då z R/3, m sup f(z) 3 /M. z <R/3 Vi kan alltså finna r så att f är ganska stor då z = r såvida inte f då z < R/3 alltid är mycket mindre än maximum då z < R. 7
8 Bevis. I beviset för satsen kan vi anta att f är analytisk i en omgivning av {z; z R} och att f på randen, för annars kunde vi betrakta en följd av cirklar med radie som växer mot R och som inte har något nollställe för f på randen. Vidare kan vi anta att R = och M =. Vi väljer µ > så att m < e µ och måste bevisa att f(z) < e µδ(z). f kan bara ha ändligt många nollställen z,..., z m i enhetscirkeln. Vi kan därför med upprepad användning av sats skriva m z z j f(z) = g(z) z jz där g är analytisk, g(z) då z och g(z) då z. Den harmoniska funktioenn u(z) = log g(z) kan representeras med sin Poissonintegral Eftersom och så får vi genast, eftersom u, u(z) = u(e iθ ) z z e iθ dθ. u(e iθ )dθ = u() z + z z z e iθ + z z u() + z z u(z) u() z + z. (5) (Detta kallas Harnacks olikhet.) Nu bildar vi en ny analytisk funtion som bara har nollställen på positiva reella axeln m F (z) = g() +z z z z j z. j z Eftersom så har vi F (z) då z < och vi påstår att Re + z ( + z)( z) = Re = z, z <, z z z F (r) m då r, f(z) F ( z ) då z <. (6) Den första olikheten medför att F uppfyller förutsättningarna i satsen och den andra medför att satsen är bevisad om vi kan bevisa att F ( r) e µδ(r), r. (7) Olikheterna (6) följer av (5) och z ζ z ζ z + ζ, z <, ζ <. (8) z ζ ζz + z ζ För beviset av (8) fixerar vi ζ och betraktar mängden av alla z med z ζ ζz = k där k < också fixeras. Detta är ekvationen för en cirkel med medelpunkten ζ = ζ( k ) k ζ i riktningen ζ. Beviset lämnas åt läsaren. Om radien betecknas med r så har vi r = ζ r, alltså z ζ r, z + ζ r. Detta betyder att ζ z / ζ ligger inuti cirkeln medan ζ z / ζ ligger utanför den, och det är innebörden av (8). 8
9 Sätt U(z) = log F (tz) där t är ett litet men positivt tal. U är harmonisk i enhetscirkeln uppskuren längs [, ], vi har U överallt och U < µ nära [, ]. För att kunna uppskatta U på negativa reella axeln får vi som i avsnitt 6. en konform avbildning på ett mera välkänt område. Först sätter vi z = ζ, alltså U (ζ) = U(ζ ), ζ, Im ζ. Vi har då U < µ nära [, ] och U överallt; vi intresserar oss för U på imaginära axeln. Sätt nu w = (ζ + ) = ζ + ζ, alltså ζ = w + w. Då övergår övre halvplanet i det undre och det inre av enhetscirkeln i högra halvplanet, så U (w) = U (ζ) = U ( w + w ) är harmonisk i fjärde kvadranten, < µ i en omgivning av och positiva reella axeln samt överallt. Vi skall jämföra U (w) med den harmoniska funktionen w µ( + arg w) som är lika med µ på positiva reella axeln, på negativa imaginära axeln och har värden mellan och µ för övrigt. Den harmoniska funktionen h(w) = U (w) + µ( + arg w) är på negativa imaginära axeln, nära och nära positiva reella axeln. Om vi tillämpar maximumprincipen på ett område begränsat av en stor cirkel, negativa imaginära axeln och en radie nära reella axeln som i figuren så får vi därför av maximumprincipen att h överallt, U (w) µ( + arg w). Då z = r blir ζ = i r och w = ( i r)/(+i r) = ( i r) /(+r), alltså w = och Re w = ( r)/(+r). Detta ger arg w = arccos r r och + arg w = arcsin + r + r, vilket betyder att log F ( t) = U( r) µ vilket ger olikheten (7) då t. Detta fullbordar beviset. arcsin r + r, Det är inte svårt att vända på beviset och verifiera att δ(z) inte kan ersättas med något större tal i (4). 9
Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs mer1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),
Tentamensproblem 003-0-3 Lös ekvationen ( i) sin z + cos z = i Svara med komplexa tal på formen a + bi Bestäm alla analytiska funktioner f = u + iv med realdel u(x, y) = φ(x)( y), där φ är en två gånger
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merOrdinära differentialekvationer
Ordinära differentialekvationer Lars Hörmander vt 198 1 Existens av analytiska lösningar Redan i kapitel VI observerade vi att för varje analytisk funktion f i en cirkelskiva kan man finna en analytisk
Läs merTillämpningar av komplex analys på spektralteori
Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet härleds
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merKursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.
Kursinformation för Komplex analys, 3p, ht 2006. Civ.ing. (Teknisk Fysik) Ingår som ett moment i kursen Fysikens matematiska metoder, 10p. Ulf Backlund Kursstart Kursen startar tisdagen den 10 oktober
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merKRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER
Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merMöbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs mer3. Analytiska funktioner.
33 Fysikens matematiska metoder : Studievecka 3. 3. Analytiska funktioner. Varför komplexa tal? Syfte : Att ur vissa funktioners uppträdande utanför reella axeln ( Nollställen poler m.m) kunna sluta sig
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 2.3 2.5 2.3 Analytiska funktioner Analytiska funktioner, eller holomorfa funktioner som vi kommer kalla dem, är de funktioner som vi komer studera så gott som resten av kursen.
Läs merPatologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)
Patologiska funktioner (Funktioner som på något vis inte beter sig väl) Dirichletfunktionen Inte kontinuerlig någonstans Inte Riemannintegrerbar Weierstrass funktion Överallt kontinuerlig Inte deriverbar
Läs merCauchys integralformel och några av dess konsekvenser
En Webbaserad Analyskurs Analytiska Funktioner Cauchys integralformel och några av dess konsekvenser Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Cauchys integralformel och några av dess
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs merBo E. Sernelius Residuer och Poler 27
Komple Analys Bo E Sernelius Residuer och Poler 7 RESIDUER OCH POLER I detta kapitel studerar vi de punkter där en funktion inte är analytisk Vi inför begreppet pol och lär oss räkna ut residuen i en pol
Läs mer1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 7.1 7.4 7.1 Invarians av Laplaceekvationen Om f O(Ω), Ω C ett område, är bijektiv med holomorf invers så säger vi att f är biholomorf. Detta avsnitt handlar om att harmoniska
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 2017-04-21 kl 14.00 19.00 Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Lösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/12 2016 Skrivtid 08.00-13.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merMatematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA45 Provkod: TEN1 Tentamen i Komplex analys (TATA45) 219-1-15 kl 14. 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Fullständiga lösningar krävs. Varje uppgift
Läs merFunktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =
Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien
Läs merOm ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum
Analys 360 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om ortonormerade baser i oändligtdimensionella
Läs merLäsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur
Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merLösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori
Lösningsmetodik för FMAF0: Funktionsteori Johannes Larsson, I2 0 mars 204 Allmänt Detta är lösningsmetoder för de vanligaste tentauppgifterna, grupperade efter hur ofta de kommer på tentan och därmed också
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merKOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.
KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 6 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER.. Beräkna real- och imaginärdel av a) i b) ( i ) 3 c) + i ( 3 ) 3 i d) ( i 5 + ) i 9 +. Bestäm absolutbelopp och argument av a) i 3 b)
Läs merLäsanvisningar till kapitel 3
Kapitel 3 Läsanvisningar till kapitel 3 Den moderna vägen till holomorficitet dess konsekvenser Vi ska i detta kapitel definiera ett begrepp som kallas holomoficitet, det kommer visa sig att vara precis
Läs merRepetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009
Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009 Serier 1. Visa att för en positiv serie är summan oberoende av summationsordningen. 2. Visa att för en absolutkonvergent serie är summan oberoende av summationsordningen.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merRiemanns avbildningssats
Riemanns avbildningssats En studie av bijektiva avbildningar mellan öppna och enkelt sammanhängande områden i det komplexa planet Kandidatarbete inom civilingenjörsutbildningen vid Chalmers Johan Karlsson
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 10 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 10 februari 2010 1 / 20 Dagens program Plurisubharmoniska
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merLAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
Läs merOm konvergens av serier
Om konvergens av serier Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuteras några av de grundläggande satserna som hjälper oss att avgöra om en serie
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs mer1 Tal, mängder och funktioner
1 Tal, mängder och funktioner 1.1 Komplexa tal Här skall vi snabbt repetera de grundläggande egenskaperna hos komplexa tal. För en mera utförlig framställning hänvisar vi till litteraturen i Matematisk
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-I
Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I G. Gripenberg Aalto-universitetet 24 oktober 2010 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I 24 oktober 2010 1 / 90 G. Gripenberg (Aalto-universitetet)
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 17 februari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 17 februari 2010 1 / 26 Dagens program Konvexa och
Läs merk=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Funktionsteori 5 9 kl 4 9 Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar. Skriv fullständiga meningar och
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merFör ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0
Övning 5 Introduktion Varmt välkomna till femte övningen i glerteknik AK! Håkan Terelius hakante@kth.se petition lativ dämpning För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen
Läs merMer om integraler. Kapitel I. I.1 Integraler
Kapitel I Mer om integraler I detta kapitel bevisar vi de resultat om integraler som i boken lämnats utan bevis. En del av bevisen utnyttjar begreppet likformig kontinuitet från Kapitel K i detta nätmaterial.
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mergränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 mars 208 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merTillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor
Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett
Läs merMer om reella tal och kontinuitet
Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merInstitutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall
Läs merMER TOPOLOGI OCH KONVERGENS
MER TOPOLOGI OCH KONVERGENS SVANTE JANSON 1. Kompakta mängder Definition. En delmängd av R n kallas kompakt om den är sluten och begränsad. Sats 1. Om K är en kompakt mängd i R n och {x i } är en följd
Läs merMVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.
MVE035 Sammanfattning LV 1 Blom, Max Engström, Anne Cvetkovic Destouni, Sofia Kåreklint, Jakob Hee, Lilian Hansson, Johannes 11 mars 2017 1 Partiella derivator Nedan presenteras en definition av partiell
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs mer11 Dubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution
Nr, april -5, Amelia ubbelintegraler: itererad integration och variabelsubstitution. Itererad integration tterligare eempel Eempel (97k) Beräkna ( ) och ( ). ( 8) dd om begränsas av, 5 3.75.5.5.5.5 3.75
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merEXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER
Institutionen för Matematik, KTH, Olle Stormark. EXEMPELSAMLING I KOMPLEXA FUNKTIONER INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. Komplexa tal.......................................... 3. Cauchy-Riemannekvationerna..........................
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs mer