Poincarés modell för den hyperboliska geometrin
|
|
- David Eliasson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi
2 Innehåll 1 Presentation av modellen Henri Poincaré Axiom Sträckor i Poincarés modell Längdelementet Den geodetiska linjen Den hyperboliska triangeln Gränstriangel Vinklar Satser
3 Kapitel 1 Presentation av modellen Det finns två olika versioner av Poincarés modell. I den ena utgör enhetscirkeln hela vår värld, medan övre halvplanet utgör världen i den andra modellen. I båda fallen talar man om hyperbolisk geometri. Vi kommer här att enbart ytligt gå in på övre halvplansmodellen, emedan den i denna text enbart behövs i beviset till Sats 2 i kapitel 3.3. I modellen med enhetscirkeln som vår värld, ser vi enhetsranden som något, som är oändligt långt borta medan origo utgör nollpunkten. Motsvarigheterna i övre halvplansmodellen fås om man tänker sig reella axeln som origo och den linje, som är parallell (i euklidisk mening) med reella axeln och oändligt långt borta, som enhetsranden. Det hela torde bli klarare om man förklarar modellen i sagoform (på så vis slipper man ägna sig åt tekniska detaljer, som skulle ta länge att bevisa) enligt följande: Låt X vara enhetscirkeln, som utgör hela världen. Antag att det i denna värld finns en två-dimensionell befolkning, som lever och bor däri. Vi, som åskådare, befinner oss som gudlika jättar utanför denna värld och betraktar vad som sker inne i världen. Antag vidare att världen är fylld med en konstig gas, som gör att tex en måttstock krymper då den förflyttar sig bort från centrum. Detta händer alltså för alla ting som befinner sig i världen. En invånare i världen märker alltså ingenting konstigt om han förflyttar sig ut mot kanten med en måttstock i handen, eftersom han själv genomgår samma förkrympning som måttstocken. I hans ögon är måttstocken hela tiden av en konstant längd! Om måttstocken då den befinner sig i centrum, visar att mannen är två meter lång, så visar den det oberoende var mannen står. Slutligen antar vi att en ljusstråle, som rör sig mellan två punkter i denna värld, alltid väljer den kortaste sträckan mellan punkterna, 2
4 KAPITEL 1. PRESENTATION AV MODELLEN 3 mätt enligt invånarna! Dvs för oss, som åskådare, är sträckan en rät linje endast om den sammanfaller med diametern i cirkeln. Annars utgör den en cirkelbåge, som böjer sig mot centrum och skär enhetscirkeln rätvinkligt! Detta är, som vi senare kommer att se, definitionen på en rät linje i den hyperboliska geometrin, dvs i Poincarés modell. 1.1 Henri Poincaré Henri Poincaré ( ) var en Fransk matematiker och fysiker som bidragit stort med sina funderingar till det mesta inom matematik och fysik. Han var så att säga ett universalsnille, som ägnade sig åt bland annat teorin bakom komplexa funktioner, analys, topologi, vetenskapsfilosofi, sannolikhetslära, kosmologi, relativitetsteori med mera. Eftersom alla mätningar innehåller fysiska och geometriska antaganden ansåg han det vara meningslöst att fråga om ett rum är euklidiskt eller icke-euklidiskt. Frågan man istället borde ställa sig är, vilken geometri som lämpligast avspeglar den fysiska världen! För de flesta solsystemen är den euklidiska geometrin lättast att använda pga dess enkelhet, men på en större skala har den icke-euklidiska 4-dimensionella rymden visat sig vara mycket behändigare. 1.2 Axiom Alla axiom som gäller i den euklidiska geometrin, gäller även i den hyperboliska. De tre viktigaste axiomen är följande: Axiom 1. Genom två punkter går endast en rät linje. Axiom 2. Genom en punkt utanför en rät linje går endast en rät linje som är parallell med den förra. (Parallellaxiomet) Axiom 3. Om punkterna på en rät linje kan indelas i två klasser, så att varje punkt i den ena klassen ligger på samma sida om varje punkt i den andra klassen, så finns det en punkt, som skiljer de båda klasserna åt. (Kontinuitetsaxiomet) Det enda axiomet, som måste omdefinieras är parallellaxiomet. Parallellaxiomet (i euklidiska geometrin) säger, som sagt, att om man tar en punkt utanför
5 KAPITEL 1. PRESENTATION AV MODELLEN 4 en rät linje, så finns det en och endast en linje som går genom denna punkt utan att skära den första linjen. Denna linje är parallell med den första linjen. Varför fungerar inte detta i den hyperboliska geometrin? För att besvara denna fråga måste vi först analysera vad en rät linje är. I Poincarés modell definieras en rät linje som en euklidisk cirkelbåge som skär enhetscirkeln (reella axeln i övre halvplansmodellen) vinkelrätt. Ok, om vi nu tar en punkt utanför en rät linje, inser vi lätt att det går oändligt många räta linjer genom denna punkt utan att skära förstnämnda linje! Alltså, parallellaxiomet behöver endast omdefinieras till den grad att vi stället för att begränsa oss till existensen av en parallell linje, har oändligt många parallella linjer. Parallellaxiomet i Poincarés modell lyder således: Alla hyperboliskt räta linjer som ej skär varandra är parallella. Om två hyperboliskt räta linjer tangerar varandra på randen av enhetscirkeln, så är de också parallella.
6 Kapitel 2 Sträckor i Poincarés modell I detta kapitel kommer vi att behandla sträckor. Vi kommer att härleda längdelementet d(z 1, z 2 ) i Poincarés modell i enhetscirkeln och studera den geodetiska linjen. Först skall vi dock konstatera några grundläggande saker om en sträcka. En sträcka är alltid icke-negativ och symmetrisk. En sträcka är oföränderlig under strikta rörelser, s.k. Möbiustransformationer. En sträcka är approximativt Euklidisk för små sträckor, dvs 2.1 Längdelementet d(0, z) lim z 0 z Vi vill alltså få fram ett uttryck för d(z 1, z 2 ), där z 1, z 2 < 1. Vi börjar dock med ett specialfall, som vi kommer att ha nytta av i nästa avsnitt, nämligen = 1 d(0, r) = d(r), ( r < 1). Vi börjar med följande uttryck: Om vi nu gör en Möbiustransformation d(0, r + h) = d(0, r) + d(r, r + h) w = z r 1 rz som överför z = r till w = 0 och z = r + h till w = så får vi följande ekvation: d(0, r + h) d(r) = d(0, d(0, r + h) d(0, r) h h 1 hr r 2 h 1 hr r 2 ) = d(0, h 1 hr r 2 ) h på d(r, r + h) ovan, 5
7 KAPITEL 2. STRÄCKOR I POINCARÉS MODELL 6 Om vi vidare låter h gå mot 0 så får vi: d(0, r + h) d(0, r) lim h 0 }{{ h } =d (r) d(r) = 1 1 r dr = 2 d(0, = lim h 0 h ) 1 hr r 2 h } {{ } = 1 1 r 2 1 (1 r)(1 r) dr Med hjälp av partialbråksuppdelning kan vi skriva detta som ( ) 1/2 d(r) = (1 r) + 1/2 dr (1 r) Då vi utför integrationen och sätter konstanten som uppkommer vid integration till 0 får vi det slutgiltiga uttrycket för d(r): d(r) = 1 2 ln(1 r) ln(1 + r) = 1 ( ) 1 + r 2 ln 1 r En Möbiustransformation som överför z 1 och z 2 på w = 0 och w = z 2 z 1 1 z 1 z 2 bibehåller som sagt längden på sträckan, dvs ( ) d(z 1, z 2 ) = d 0, z 2 z 1 1 z 1 z 2 Vi får alltså den allmänna formeln d(z 1, z 2 ) genom att i vårt uttryck för d(0, r) ersätta r med z 2 z 1 1 z 1 z 2, dvs 1 z 1 z 2 d(z 1, z 2 ) = 1 2 ln ( 1 + z 2 z 1 1 z 2 z 1 1 z 1 z 2 d(z 1, z 2 ) = 1 2 ln 1 z 1z 2 + z 2 z 1 1 z 1 z 2 z 1 z Den geodetiska linjen En geodetisk linje är den kortaste linjen mellan två punkter. I euklidiska geometrin är den geodetiska linjen en euklidiskt rät sträcka mellan två punkter. Motsvarigheten i den hyperboliska geometrin är förstås en hyperboliskt rät linje, dvs en euklidisk cirkelbåge! Vi har visat att avståndet mellan två godtyckliga punkter z 1 och z 2 i enhetscirkeln ges av: ) d(z 1, z 2 ) = 1 2 ln 1 z 1z 2 + z 2 z 1 1 z 1 z 2 z 1 z 2
8 KAPITEL 2. STRÄCKOR I POINCARÉS MODELL 7 och att avståndet mellan origo och en godtycklig punkt r ( r < 1) ges av: d(0, r) = 1 ( ) 1 + r 2 ln 1 r Före vi ger oss in på att motivera att detta faktiskt är den kortaste sträckan från origo till punkten r, så kan vi se på vad som händer om vi låter r gå mot 1. 1 lim d(0, r) = lim r 1 r 1 2 ln {}}{) 1 + r = 1 }{{ r } 0 ( 1 Vi kan alltså konstatera att då vi närmar oss enhetsranden, så blir sträckan oändligt lång, vilket stämmer väl överens med vårt antagande att enhetsranden är oändligt långt borta! För att bevisa att den geodetiska linjen faktiskt är den kortaste sträckan mellan två godtyckliga punkter i enhetscirkeln, så räcker det med att bevisa det för det specialfall där z 1 ligger i origo och z 2 längs den positiva reella axeln. Orsaken till detta är att vi kan alltid göra en Möbiustransformation som transformerar en punkt till origo. Vid Möbiustransformationer bibehålls längden på sträckan. Efter detta kan man rotera enhetscirkeln så, att den andra punkten hamnar på den positiva reella axeln (jämför figur 3.4 i kapitel 3). Även nu kommer längden på sträckan inte att förändras. Vi har alltså z 1 = 0 och z 2 = r, där 0 < r < 1. Vi har nu överfört problemet på att bestämma längden på sträckan mellan 0 och r och påstår att den kortaste sträckan mellan dessa punkter är den euklidiskt räta linjen (radien i enhetscirkeln)! Ty om vi sätter z = t i figur 2.1 nedan, så är dz dt. Figur 2.1 Den geodetiska linjen.
9 KAPITEL 2. STRÄCKOR I POINCARÉS MODELL 8 Längden på bågen mellan punkterna 0 och r i figur 2.1 ges av r dz 1 z = 1 ( ) 1 + r 2 2 ln 1 r 0 (jämför kapitel 2.1). Minsta värdet på detta fås då bågen (0, r) förenas med radien (0, r) (och endast då, som man lätt kan se ur figur 2.1). Vi har alltså härlett längdelementet och konstaterat att den geodetiska linjen ges av en hyperboliskt rät linje. Med andra ord: Den kortaste sträckan mellan två punkter i den hyperboliska geometrin är en euklidisk cirkelbåge! För att kunna relatera detta till verkligheten kan man konstatera att då man på jordklotet går en kortaste sträcka mellan två punkter, så går man längs en cirkelbåge, eftersom jorklotet är runt!
10 Kapitel 3 Den hyperboliska triangeln Hur ser en triangel ut i Poincarés modell? Svaret på denna fråga kommer man underfund med genom att betrakta en euklidisk triangel. En euklidisk triangel får man genom att dra tre räta linjer, så att ingen av dem har samma riktningskoefficient. På detta vis kommer linjerna att skära varandra och således avgränsa en triangel. Exakt samma sak gäller för den hyperboliska triangeln. Dra tre olika räta linjer och vi får en triangel. Det som gör triangeln speciell är att den består av tre euklidiska cirkelbågar I Figur 3.1 nedan kan vi betrakta två olika hyperboliska trianglar; ABC och DEF, där DEF utgör ett specialfall där ena räta linjen sammanfaller med diametern. Obs! Figurerna i denna text har för tydlighetens skull material utanför enhetscirkeln, även om där på riktigt inte finns något! Figur 3.1 Två hyperboliska trianglar. 9
11 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN Gränstriangel En gränstriangel i Poincarés modell är en triangel, vars samtliga hörn ligger på randen av enhetscirkeln. Det intressanta med gränstrianglar är, som vi senare kommer att se, att de alla har samma yta. Vid första anblicken av de tre nedanstående gränstrianglarna (se figur 3.2), skulle man kanske vilja påstå att ytorna definitivt inte är lika stora. Detta är dock fallet, eftersom själva enhetsranden är oändligt långt borta i Poincarés modell. Ytelement nära enhetsranden, som i våra ögon kan se minimala ut, är i själva verket enorma! Figur 3.2 Gränstrianglar har alla samma yta även om de ser olika ut!
12 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN Vinklar Hur definieras då en vinkel i Poincarés modell? Igen kan vi konstatera att defintionen är helt logisk. Eftersom våra hyperboliska räta linjer är euklidiska cirkelbågar (undantag diametern), så defineras vinkeln i skärningspunkten mellan linjerna enligt följande: Vinkeln α i figur 3.3 a) nedan fås som vinkeln mellan tangenterna till de euklidiska cirkelbågarna i punkten A. Nu inser man lätt att vinklarna i en hyperbolisk gränstriangel är lika med 0, ty cirkelbågarna tangerar varandra på randen och har därmed samma tangent i tangeringspunkten. Se figur 3.3 b) nedan. Figur 3.3 a) Definitionen på en vinkel. b) En gränstriangel har alla vinklar lika med Satser Sats 1 I en hyperbolisk triangel är vinkelsumman mindre än 180 Bevis: Med hjälp av en Möbiustransformation, som avspeglar enhetscirkeln på sig själv, kan man alltid förflytta ett hörn av triangeln till origo. En dylik Möbiustransformation ω (se figur 3.4) ges av följande formel: ω = η z z 0 1 z 0 z
13 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN 12 Figur 3.4 Möbiustransformation. Eftersom dylika transformationer bibehåller längder och vinklar kan man alltså bevisa satsen, genom att bevisa den för ett specialexempel med ett hörn i origo. Alla andra fall bevisas genom att först transformera ett hörn till origo. Ur figur 3.4 framgår också att två av sidorna i triangeln är såväl hyperboliskt som euklidiskt räta! Alltså vinkeln α är lika stor i denna hyperboliska triangel som i motsvarande euklidiska triangel. Genom att lägga märke till att den icke euklidiskt räta linjen i triangeln är konkav (sett från origo) kan man genast konstatera att β och γ är mindre i den hyperboliska triangeln än i motsvarande euklidiska triangel (se bild nedan). Figur 3.5 Hyperbolisk triangel med ett hörn i origo. Alltså: α + β + γ < 180 och satsen är härmed bevisad. Sats 2 Ytan i en hyperbolisk triangel med vinklarna α, β, γ ges av (π (α + β + γ))/4
14 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN 13 Bevis: För att förenkla beviset till denna sats bevisar vi satsen i övre halvplansmodellen (se kapitel 1). Vi börjar med att bevisa ett specialfall. Antag att vi har en hyperbolisk triangel ABC, där sidan BC är parallell med den imaginära axeln och där origo utgör medelpunkt för den euklidiska cirkelbågen AC. Se figur 3.6 nedan. Figur 3.6 Specialfall i övre halvplansmodellen. Ekvationen för den hyperboliska linjen AC är i euklidiska planet ekvationen för en cirkel med medelpunkt i origo. Dvs x 2 +y 2 = r 2 1. På samma sätt fås ekvationen till hyperboliska linjen AB i euklidiska planet av (x x 1 ) 2 + y 2 = r 2 2. För att beräkna ytan av triangeln använder vi oss av ett lemma, som här ges utan bevis: Lemma 1 Ytelementet i den övre halvplansmodellen ges av dw = 1 4y 2 dxdy där dxdy är det vanliga eulkidiska ytelementet i punkten x + iy. dw är invariant under linjära transformationer.
15 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN 14 Ytan Y av den hyperboliska triangeln fås således som följande dubbelintegral: Y = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 1 4 x02 x 01 x02 x 01 x02 ( x 01 / x02 r2 2 (x x 1) 2 dx r 2 1 x2 1 ( / r 2 2 (x x 1) 2 y 2 dy r 2 1 x2 ( 1 y ) ) dx 1 r 2 1 x 1 2 r 2 2 (x x 1 ) )dx 2 x 01 (arcsin x r 1 arcsin x x 1 r 2 ) = 1 4 (arcsin x 02 r 1 arcsin x 02 x 1 r 2 arcsin x 01 r 1 + arcsin x 01 x 1 r 2 ) = 1 4 (arcsin x 02 r 1 + arcsin x 01 r 1 + arcsin x 02 x 1 r 2 arcsin x 01 x 1 r 2 ) Notera teckenändringen i samband med införandet av absolutbeloppen! Om vi nu inför vinklarna θ 1, θ 2, θ 3 och θ 4 enligt figur 3.6 får vi följande uttryck (som lätt kan verifieras med trigonometriska formler) för den hyperboliska triangelns yta: Y = 1 4 (θ 1 + θ 2 + θ 3 θ 4 ) = 1 4 (θ 1 + θ 3 (θ 4 θ 2 )) Man inser nu lätt med hjälp av figur 3.6 och lite geometri att α = θ 4 θ 2 β + θ 3 = π 2 γ + θ 1 = π 2 Vi får alltså följande uttryck: Y = 1 4 (π 2 γ + π 2 β α) = 1 (π (α + β + γ)) 4 och är således klara med beviset för detta specialfall med x 01, x 02 och x 1 placerade enligt figur 3.6. Beviset är analogt för andra placeringar av x 01, x 02 och x 1. Eftersom man med en linjär transformation kan överföra alla hyperboliska trianglar på detta specialfall är allmängiltigheten garanterad och satsen härmed bevisad.
16 KAPITEL 3. DEN HYPERBOLISKA TRIANGELN 15 Sats 3 Ytan av en hyperbolisk gränstriangel med alla vinklar noll är π 4. π 4 Bevis: Sätt helt enkelt in värdet 0 för α, β och γ i Sats 2 ovan, så får vi ytan och är därmed klara med beviset.
Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri
94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist
Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS.0.08 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,
Läs merLite sfärisk geometri och trigonometri
Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merKongruens och likformighet
Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna
Läs meri=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n
Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså
Läs mer2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a
2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda
Läs merIntroduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merUndersökande arbetssätt i matematik 1 och 2
Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs merMVE365, Geometriproblem
Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..
Läs merTrigonometri. Sidor i boken 26-34
Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor
Läs merGESTALTANDE UNDERSÖKNING
GESTALTANDE UNDERSÖKNING Min gestaltande undersökning behandlar vad som händer när konst och matematik möts och interagerar. Jag har arbetat utifrån frågeställningen: Vilka möjligheter och fördelar finns
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merKappa 1. Robin Kastberg. 10 oktober 2014
Kappa 1 Robin Kastberg 10 oktober 2014 Sammanfattning Vi visar att uppgiften är lösbar för en generell triangel genom att visa att det är en trivial egenskap för en särskild, och att alla dessa egenskaper
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merArkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK
Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merDERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2
DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merLösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson
, MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8
Läs merLathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)
Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8
Läs merBanach-Tarskis paradox
Banach-Tarskis paradox Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 Banach-Tarskis paradox, bevisad 1924 och döpt efter Stefan Banach och Alfred Tarski, är en sats inom
Läs merExplorativ övning euklidisk geometri
Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Första häftet 3220. Bestäm alla reella tal x för vilka 3 x x + 2. 322. Pelles och Palles sammanlagda ålder är 66 år. Pelle är dubbelt så gammal som Palle var när Pelle var hälften så gammal som
Läs merMatematiska uppgifter
Årgång 54, 1971 Första häftet 8. Bestäm alla reella tal x sådana att x 1 3 x 1 + < 0 (Svar: {x R: 1 < x < 0} {x R: < x < 3}) 83. Visa att om x > y > 1 så är x y 1 > x y > ln(x/y). 84. Undersök om punkterna
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 27, 1944 Första häftet 1316. I vilka serier äro t1 3 +t3 2 +t3 3 + +t3 n = (t 1 +t 2 +t 3 + +t n ) 2 för alla positiva heltalsvärden på n? 1317. Huru stora äro toppvinklarna i en regelbunden n-sidig
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merKapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm
Kapitel 4 4107 4103 a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 4cm 35 b) cos(40 )= x x = 61 cos(40 )= 47cm 61 c) tan(56 )= 43 x x = 43 tan(56 ) = 9cm d) sin(53 )= x x = 75 sin(53 )= 60cm 75 4104 a) tan(v )= 7 4 v
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 41, 1958 Årgång 41, 1958 Första häftet 143. I en given cirkel är inskriven en triangel ABC, i vilken b + c = ma, där m är ett givet tal > 1. Sök enveloppen för linjen BC, då hörnet A är
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs mergeometri ma B 2009-08-26
OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan
Läs merDel A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret.
NAN: KLASS: Del A: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt på provpappret. 1) a) estäm ekvationen för den räta linjen i figuren. b) ita i koordinatsystemet en rät linje
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
Läs mer= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)
Matematikcentrum Matematik NF Räta linjen. Ange riktningskoefficient och skärningspunkter me alarna för följane linjer. a) y = 5 b) = y + 5 c) y = 5 + ) + y + = 0 e) y 4 = 0 f) + y = g) y 5 = h) y = 4
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merA1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi
A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merLektionsblad 9, tis 16/2 2010
Lektionsblad 9, tis 16/2 2010 Först en gång till optimering med bivillkor. Lös uppgifterna 4.25 (om du har problem med denna väldigt typiska uppgift, så studera även lösningen till 4.24), 4.26 (nästan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs merAnalys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Årgång 47, 1964 Första häftet 2457. ABC är en fix liksidig triangel. Linjerna AD och BE är parallella och skär linjerna BC och AC i D resp. E. Vidare är A 1, D 1, B 1 och E 1 mittpunkterna på sträckorna
Läs merProvet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.
Del I Del II Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-10. Endast svar krävs. Uppgift 11-15. Fullständiga lösningar krävs. 10 minuter för del I och del II tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merMätning och geometri
Mätning och geometri LMN100 Matematik, del 2 I den här delen av kursen skall vi gå igenom begrepp som längd, area och volym. Vi skall också studera Euklidisk geometri och bevisa satser om och lära oss
Läs merNBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del 1
Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Göteborgs universitet 07-0-7, 8:30 :30 NBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del Uppgift (mha vektorer Man bildar vektorer AB (3, 3, AC (7, och
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merExplorativ övning Geometri
Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merEnklare matematiska uppgifter
Elementa Årgång 36, 1953 Årgång 36, 1953 Första häftet 1848. Triangeln ABC är inskriven i cirkeln O, vars tangenter i B och C råkas i D. Sök sambandet mellan triangelns sidor, då punkterna A och D ligga
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merUppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner
Uppsalas Matematiska Cirkel Geometriska konstruktioner Matematiska institutionen Uppsala universitet Våren 2019 Några ord om Uppsalas Matematiska Cirkel Uppsalas Matematiska Cirkel bildades hösten 2018
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 6. 6.7 6. Residuesatsen Hela kapitel 6 handlar om att beräkna olika typer av integraler på så gott som samma vis. Om ni kommmer ihåg från förra avsnittet om Laurentserieutvecklingar,
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merUtforska cirkelns ekvation
Utforska cirkelns ekvation Målet med denna aktivitet är att eleverna förstår definitionen av en cirkel som en uppsättning av punkter som är lika långt från en given punkt. eleverna förstår att koordinaterna
Läs mer