Analys på en torus. MatematikCentrum LTH

Transkript

1 Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och som en delmängd av det fyrdimensionella rummet. Målet är att illustrera den allmänna teorin.

2 Analys på en torus 1 (6) 1 Introduktion En (reell) torus uppkommer genom att man utgår ifrån en rektangel i planet och identifierar deras motstående sidor. Härigenom definieras en topologisk (abstrakt) yta (alltså 2-dimensionell mångfald). Vi kan göra den till en Riemannmångfald genom att förse den med den metrik som svarar mot den vanliga skalärprodukten i planet. Men detta är en abstrakt mångfald, och vårt mål är att göra differentialgeometri på två realiseringar av denna, nämligen dels som badring i rummet, dels som en isometrisk inbäddning i det fyrdimensionella rummet. 2 Badringen i rummet Låt T 2 vara den abstrakta torus som uppkommer genom att vi identifierar sidorna i rektangeln R = [0, 2π] 2. Avbildningen ψ : T R 3 som definieras av ψ(u, v) = ((1 + r cos u) cos v, (1 + r cos u) sin v, r sin u), där 0 < r < 1, har då en värdemängd som i figuren nedan. Koordinatlinjen u = 0 svarar mot den blå kurva i figuren, vilken vi kallar den yttre ekvatorn på torusen. En motsvarande inre ekvator, grön i figuren, fås då u = π. Liknande cirklar definieras av andra ekvationer u = u 0, medan ekvationer v = v 0 definierar cirklar som den röda i figuren. Dessa kallar vi meridianer på torusen. Vi kan också kalla cirklarna som ge av ekvationerna u = π/2 och u = 3π/2 för topp- respektive bottenekvatorn på torusen. De delar in torusen i en utsida och en insida (den senare runt hålet). ψ:s differential ges av dψ = rdu( sin u cos v, sin u sin v, cos u) + (1 + r cos u)dv( sin v, cos v, 0) vilken är icke-singulär överallt, och eftersom ψ självklart är injektiv 1, är ψ en inbäddning av T 2 i rummet. Dock är den ingen isometri, vilket vi ser därför att den första fundamentalformen får formen ds 2 = r 2 du 2 + (1 + r cos u) 2 dv 2. Från den ser vi att en ortonormerad bas av 1-former ges av θ 1 = rdu, θ 2 = (1 + r cos u)dv,

3 Analys på en torus 2 (6) vilket bl.a. ger att areaformen på torusen är ds = θ 1 θ 2 = r(1 + r cos u)du dv. Anmärkning Vi ska inte behöva det, men vi får lätt det ortonormerade ramverket e 1 = ( sin u cos v, sin u sin v, cos u), e 2 = ( sin v, cos v, 0), n = e 1 e 2 = (cos u cos v, cos u sin v, sin u). Vi börjar nu med att ta reda på vilken information vi kan få om torusen genom att endast använda den första fundamentalformen. För att bestämma ω 12 kan vi börja med att notera att dθ 1 = 0, dθ 2 = r sin udu dv = sin u 1 + r cos u θ 1 θ 2. Men dθ 2 = ω 12 θ 1, så vi ser att ω 12 = sin u 1 + r cos u θ 2 = sin udv, från vilket följer att dω 12 = cos udu dv = cos u r(1 + r cos u) θ 1 θ 2. Torusens totalkrökningen ges följaktligen av K = cos u r(1 + r cos u). Vi ser att K = 0 på topp- och bottenekvatorn och att på utsidan gäller att K > 0, medan K < 0 på insidan. De geodetiska kurvorna c = ψ u bestämmer vi genom att först notera att ξ 1 = θ 1 (ċ) = r u, ξ 2 = θ 2 (ċ) = (1 + r sin u) v, ω 12 (ċ) = sin u v. Det ger oss den komplexa ekvationen ξ i sin u vξ = 0, ξ = r u + i(1 + r sin u) v, vilket leder till det reella ekvationssystemet rü + (1 + r cos u) sin u v 2 = 0, v 2r sin u u v = r cos u En lösning till detta får vi genom att sätta v(t) = k 3, så att u(t) = k 1 +k 2 t för godtyckliga reella tal k i. På torusen svarar detta mot en vertikal tvärsnittscirkel. Detta ger en lösning till motsvarande första ordningens ODE som uppfyller v = 0, vilket gör att för alla andra lösningar är teckent på v antingen positivt eller negativt överallt. Av symmetriskäl återstår det därför att titta på lösningar sådana att v > 0 överallt.

4 Analys på en torus 3 (6) Den andra geodetiska ekvationen integreras till att ln v +2 ln(1+r cos u) = h är konstant, och alltså att v = h(1+r cos u) 2. För en båglängdsparametriserad geodetisk kurva gäller att r 2 u 2 + (1 + r cos u) 2 v 2 = 1, och om vi använder att u = du v så får vi att dv Vidare har vi att r 2 (1 + r cos u) (du 1 4 dv )2 + (1 + r cos u) = 1 2 h. 2 h = v(1 + r cos u) 2 = (1 + r cos u) cos α där α är vinkeln mellan den geodetiska kurvans tangent och ramvektorn e 2, alltså storcirklarnas tangent. Eftersom h är konstant ser vi att varje geodet skär en storcirkel under en vinkel som beror endast av vilken meridian skärningen sker på. Vi ska nu se att vi kan klassificera de geodetiska värdena efter värdena på h. Som en första observation, om h = 0 ser vi att den ska skära alla storcirklarna under rät vinkel, vilket betyder att detta värde på h definierar meridianerna. Om vi nu sätter f(u, d) = r 2 1 (1 + r cos u) 4 d2 + (1 + r cos u) 2 så gäller att (u, du ) är en nivåkurva till funktionen f. Denna är 2π-periodisk i u och dv en kvadratisk funktion i d, och har ett globalt minimum i (0, 0) samt en sadelpunkt i (π, 0). Runt minimat finns slutna nivåkurvor medan det genom sadelpunkten går en separatris, vilket är den enda kurvan som asymptotiskt närmar sig denna punkt. Den löser f(u, du 1 ) = f(π, 0) =, dvs svarar mot fallet h = 1 r. dv (1 r) 2 Låt oss nu studera fallet h = 1 r närmare. En möjlighet är då att u = π och cos α = 1 överallt, vilket vi lätt identifierar som den inre ekvatorn. I annat fall ser vi att cos α = (1 r)/(1 + r cos u). En sådan geodet skär alltså den yttre ekvatorn under en vinkel som ges av cos α C = 1 r 1 + r. Sedan kommer den att komma in i hålet och snurra runt på sådant sätt att den asymptotiskt närmar sig den inre ekvatorn.

5 Analys på en torus 4 (6) Ett h (0, 1 r) svarar mot kurvorna utanför separatrisen. Dessa kurvor kan anta alla u-värden och skär den yttre ekvatorn under en vinkel α < α C. När h är nära noll snurrar geodeten runt i närheten av meridianerna för att med växande h snurra färre varv i meridianriktning när den går runt ett varv längs en ekvator. Den kan vara sluten, men vanligast är att en sådan geodet ligger tätt på torusen. Fallet h > 1 r svarar mot kurvorna innanför separatrisen. Från nivåkurveplotter ser vi direkt att dessa kan endast anta ett visst intervall av u-värden. Gränserna ges av ekvationen h = 1 + r cos u, och dessa u-värden definierar två storcirklar som kommer att begränsa en motsvarande geodets bana på torusen. När h = 1+r så kommer dessa två gränscirklar att sammanfalla som den yttre ekvatorn (svarande mot origo i figuren), så när h > 1 + r finns inga geodeter. För 1 r < h < 1 + r ser vi att geodeten kommar att skära gränscirkeln, men när den gör det, studsar den tillbaka in i området mellan gränscirklarna. Även nu är det normala att geodeten är icke-periodisk. De skär alla den yttre ekvatorn under en vinkel α > α C.

6 Analys på en torus 5 (6) Så långt information om torusen som kommer från enbart den första fundamentalformen. Den fås alltså om vi ser på T 2 som en abstrakt mångfald, försedd med metriken ovan. Nu ska vi se vilken ytterligare information vi får ur den andra fundamentalformen. För att bestämma de principala krökningsriktningarna i olika punkterbehöver vi bestämma den andra fundamentalformen II = dn dψ = rdu 2 + (1 + r cos u) cos udv 2. Principalkrökningarna fås därför ur ekvationen det(ii λi) = r(1 rλ) 0 0 (1 + r cos u)(cos u λ(1 + r cos u) = 0, alltså (som väntat?). κ 1 = 1 r, κ 2 = cos u 1 + r cos u Man delar in punkter på en yta efter krökningsvärden. Definition Man säger att p är en navelpunkt om κ 1 = κ 2, och om båda är noll säger man att p är en plan punkt. En punkt sådan att K(p) = 0 men som inte är plan sägs vara parabolisk. En punkt sådan att K(p) > 0 är elliptisk, medan en där K(p) < 0 är hyperbolisk. Vi ser att på utsidan av torusen, svarande mot π < u < π, är krökningen positiv och där 2 2 har vi därför elliptiska punkter. På insidan, svarande mot punkter där π < u < 3π, har vi 2 2 hyperboliska punkter. Då u = ± π, alltså på top- och bottencirklarna, har vi krökningen 2 noll. Dessa är paraboliska punkter. Detta kan inses geometriskt, men också med hjälp av de beräknade krökningsriktningarna. 3 Inbäddning i det fyrdimensionella rummet Om vi istället definierar ψ : T 2 R 4 genom ψ(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v) får vi en realisering av den abstrakta torusen i det fyrdimensionella euklidiska rummet. Nu ser vi lätt att ds 2 = du 2 + dv 2, vilket betyder att detta är en isometrisk inbäddning. Det betyder att krökningen är noll, och att de geodetiska kurvorna är bilden under räta linjer i v = ku (och v = 0) under modulo-avbildningen. Dessa blir slutna kurvor om k är ett rationellt tal, annars fyller de geodetiska kurvorna ut hela torusen. Så till andra fundamentalformen. Vi har dψ = ( sin u, cos u, 0, 0)du + (0, 0, sin v, cos v)dv

7 Analys på en torus 6 (6) En bas för det ortogonala komplementet ges då av n 1 = (cos u, sin u, 0, 0), n 2 = (0, 0, cos v, sin v). Det följer att dn 1 dψ = du 2, dn 2 dψ = dv 2 Noteringar 1. Den uppkommer genom att vi roterar en cirkel ett varv längs en annan cirkel.