Cykloiden och dess släktingar
|
|
- Ingemar Lindberg
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar (om vi betraktar en rät linje som en cirkel genom oändligheten). I det här dokumentet diskuterar vi kring sådana kurvor och upptäcker speciellt att just cykloiden har en hel del intressanta egenskaper som har att göra med hur en partikel, som endast påverkas av gravitationen, rör sig.
2 Cykloiden och dess släktingar 1 (11) Introduktion Det här kapitlet handlar om en speciell kurva som visar sig ha många intressanta egenskaper, men även om några av dess närmsta släktingar. De gamla grekerna ansåg att i en perfekt värld måste allt vara uppbyggt av räta linjer och cirklar, och de försökt t.ex. rekonstruera vad de, och före dem babylonierna, såg på himlavalvet med hjälp av cirklar. Det fungerade inte riktigt, så de fick arbeta med cirklar som roterar längs cirklar, s.k. epicykler. Vi ska inte närmare diskutera deras tankegång här, det som i dess fulländning blev tolemaiska världsbilden, utan istället titta närmare på vad som händer när vi följer en punkt på en cirkel som roterar längs en linje eller en cirkel. Grunden är att rotera en cirkel längs en linje t.ex. följa en fläck på ett däck som rullar på slät mark. Vilken kurva kommer fläcken då att följa? Svaret är den s.k. cykloiden, en kurva som visar sig ha en del förvånande egenskaper som har att göra med friktionsfri rörelse orsakad endast av gravitationen. Denna observation fick på sin tid konsekvener för hur man (i teorin) kunde konstruera pendelur som höll tiden bättre än de befintliga. roblemet att rulla en cirkel längs en linje kan varieras på många sätt: vi kan variera var på cirkeln (eller t.o.m. utanför densamma) punkten ska sitta som vi följer. Vi kan också låta cirkeln rulla i eller på en annan, större, cirkel. Och även nu kan vi följa en punkt innanför eller utanför cirkel, fäst längs en (möjligen förlängd) radie på densamma. Vad är en cykloid? Om ett hjul rullar på en plan väg, och vi målar en vit fläck på sidan av hjulet, vilken väg kommer denna punkt då att röra sig? Om vi målar hjulets centrum, är svaret naturligtvis en rät linje, parallell med vägen. Men om vi målar fläcken en bit från centrum? Låt oss börja med fallet att vi sätter fläcken längst ut på däcket. Föreställ dig en cirkel med radien 1 som står på origo på den reella axeln. Dess medelpunkt ligger i (0, 1) och vi låter den punkt på cirkeln som ligger i origo kallas. Om cirkeln rullar åt höger, så att centrum rör sig sträckan t, så roterar medurs såsom illustreras i figuren nedan t t t Eftersom cirkeln har radien 1, gäller att den rullar lika långt som den roterat. Denna längd är i sin tur är lika med det avstånd medelpunkten har rört sig. Alla dessa tre storheter betecknas med t i figuren. Notera att vi kan uppfatta t som en tid om vi vill. Det innebär att medelpunkten rör sig med hastigheten 1 längs vägen.
3 Cykloiden och dess släktingar 2 (11) Vi ska nu ge läget för punkten i planet, när cirkeln har rullat sträckan t. Eftersom radien är 1, betyder det att den har rullat t längdenheter. Vi kan nu se läget som en summa av två vektorer: först går vi till medelpunkten som är i (t, 1) och sedan går vi från denna medelpunkt till punkten. Den senare vektorn har vinkeln 3π/2 t till vägen, och får därför x-koordinat cos( 3π t) = sin t och y-koordinat sin( 3π t) = cos t. Det 2 2 följer att läget för ges av c(t) = (t, 1) + ( sin t, cos t) = (t sin t, 1 cos t). Den kurva som definieras av parametriseringen t c(t) kallas en cykloid och illustreras i figuren nedan. Anmärkning Ett kanske snyggare sätt att härleda ekvationen för cykloiden är att använda sig av komplexa tal. Vi ska då addera vektorn som går från medelpunkten och vektorn från denna till. Medelpunkten ges av t + i medan den andra vektorn har uppkommit genom att vi roterat i vinkeln t radianer, en vektor som vi kan skriva ( i)e it. I komplexa tal får vi alltså ekvationen c(t) = t + i + ( i)e it = t + i e i(π/2 t). Omskrivet som par av reella tal är det samma ekvation som ovan. Så här långt har vi följt en punkt på randen till cirkeln. Men vi kan tänka oss att vi sätter märket både inne i hjulet och utanför det. Kurvan punkten genererar ges då av ekvationen c(t) = (t r sin t, 1 r cos t), där 0 < r < 1 om punkten är inne i hjulet, medan r > 1 svarar mot en punkt som ligger på en förlängd radie till hjulet. Figuren nedan illustrerar hur den genererade kurvan ser ut: den blå kurvan svarar mot ett r < 1 och den röda mot ett r > 1. Anmärkning Den röda kurvan visar att om vi har ett stag som går ut från centrum och är längre än hjulet, så kommer ändpunkten på den att då och då röra sig bakåt, trots att själva hjulet hela tiden rör sig framåt. å ett gammalt ånglok fanns det därför punkter som inte rörde sig frammåt när loket gjorde det. Innan vi tar nästa exempel, fundera på följande problem. Anta att det lilla hjulet har en radie som är en tredjedel av det stora hjulets radie. Hur många varv kommer då det lilla hjulet att rotera medan det rullar ett varv runt det större hjulet? Tre gånger? Det stora hjulet har ju tre gånger så lång omkrets som det lilla! Självklart men fel! Det rätta svaret är fyra gånger, som vi nu ska se.
4 Cykloiden och dess släktingar 3 (11) Vi utgår ifrån en större, stillastående, cirkel med radien 1. å den placerar vi en mindre cirkel med radien r som illustreras i figuren till höger. Låt vara den punkt som ligger längst bort ifrån origo på den lilla cirkeln, vilken har x- koordinaten 1 + 2r och y-koordinaten 0. Rulla nu det lilla hjulet på det stora moturs. Låt t vara vinkeln mellan positiva x-axeln och medelpunkten på den lilla cirkeln som i figuren till höger. När det lilla hjulet har rullat t längdenheter på det stora, har det roterat ett antal radianer. Kalla det antalet θ. Sträckan på det lilla hjulet som har rullat mot det stora är då r(θ t). Ur likheten r(θ t) = t får vi då att θ = 1 + r t. r Ur detta får vi så ekvationen för hur rör sig: c(t) = (1 + r)(cos t, sin t) + r(cos( 1 + r r t), sin( 1 + r t)) r Anmärkning Än en gång blir detta mer kompakt och överskådligt om vi räknar med komplexa tal. Vi får då nämligen att c(t) = (1 + r)e it + re 1+r r t. Speciellt har vi att då den lilla cirkeln har gått ett varv runt den stora, så har den roterat (1+r)/r varv. Tar vi som i inledningen r = 1/3 här, får vi att den lilla cirkeln har snurrat 4 varv. Den vänstra figuren nedan illustrerar detta fall. Försök att följa den snurrande lilla cirkeln och identifiera när linjen i den ligger som i utgångsläget. Den högra figuren illustrerar fallet r = 1/4. t θ t θ t
5 Cykloiden och dess släktingar 4 (11) Dessa två fall illustrerar vad som händer när vi tar r som ett rationellt tal. Då kommer vi att få en sluten kurva. Om vi emellertid tar r som ett irrationellt tal, så kommer vi att få en kurva som ligger tätt i området mellan enhetscirkeln och cirkeln med medelpunkt i origo och radien 1 + 2r. Anmärkning Med speciellt val av r får vi speciella kurvor med egenamn. Om vi t.ex. tar r = 1 får vi c(t) = 2e it + e 2it = e it (2 + e it + e it ) 1 = 2(1 + cos t)e it 1, vilket betyder att kurvan t c(t) + 1 har den polära formen r = 2(1 + cos θ). En sådan kurva kallas en kardoid; en hjärtliknande kurva. Vi kan faktiskt ta 1 < r < 0 i diskussionen ovan. Det innebär endast att den lilla cirkeln kommer att snurra på insidan av den större. Figuren nedan visar de kurvor som uppkommer i specialfallen r = 1/4 och r = 1/3. Kurvor som uppkommer genom att en cirkel rullar utanpå en annan kallas epicykloider, de som uppkommer genom att en cirkel rullar inuti en annan kallas hypocykloider. Vi kan också lämna fallet r = 1/2 en tanke: det resulterar i c(t) = (0, sin t), vilket blir ett stycke y-axel! Hur det är att åka längs en hypocykloid kan man uppleva på många nöjesfält i den karusell som ofta kallas tekoppen. Här sitter man på en plats i en tekopp som är fäst på en cirkelskiva som roterar när den snurrar längs karusellens yttre begränsning, som är en cirkel. Även för hypocykloiden gäller att vi får en sluten kurva om r är rationellt, annars fyller vi i princip ut området mellan två cirklar. En geometrisk härledning av cykloiden Vi ska här ge en alternativ härledning av ekvationerna för cykloiden. I processen får vi en alternativ karakterisering av cykloiden som är användbar när vi ska diskutera några intressanta fysikaliska egenskaper hos cykloiden.
6 Cykloiden och dess släktingar 5 (11) R När vi följer en punkt på cykloiden och beräknar dess hastighet, så kommer denna att vara noll varje gång punkten hamnar på linjen. Detta därför att där är hastigheten summan av två motriktade, lika stora, has- t M tigheter, en från rotationen (som går bakåt) och en från den horisontella rörelsen (som är framåtriktad). Men det betyder att rörelsen för punkten relativt Q punkten Q är en cirkelrörelse, vilket i sin tur betyder att linjen genom och R är vinkelrät mot linjen genom och Q. Det i sin tur, med hjälp av randvinkelsatsen i den plana geometrin, betyder att punkten R ligger rakt ovanför punkten Q, så sträckan mellan dem är en diameter till cirkeln. Ett mer geometriskt sätt att se detta finns i den högra bilden ovan. De röda vektorerna är radier i cirkeln, medan de blå vektorerna är en uppdelning av hastigheten i en rotationsbit och en translationsbit. Alla dessa fyra vektorer är lika långa enligt antagandena. Dessutom uppkommer vektorn A genom att vi roterar vektorn M 90 och på samma sätt får vi vektorn AB ur vektorn MQ. Det betyder att trianglarna M Q och AB är kongruenta och följer vi vinklarna betyder det att vinkeln Q B är rät. Betrakta nu figuren till höger, i vilken vi härleder koordinaterna för punkterna på cykloiden som funktion av en annan parameter, nämligen den vinkel θ som kurvans tangent gör med en vertikal linje. I figuren dyker vinkeln θ upp på tre ställen, t d alla noterade gröna. Vinkeln vid R står y mot samma båge som medelpunktvinkeln t, så enligt randvinkelsatsen gäller att t = 2θ. Med hjälp av likformiga trianglar kan Q vi vidare härleda ett uttryck för höjden y: sträckan QR är d = 2r lång, där r är cirkelns radie. Men det betyder att sträckan Q är d sin θ och därifrån att y = Q sin θ = d sin 2 θ. Samtidigt ser vi att x = rt Q cos θ = 2rθ d sin θ cos θ. Geometriskt inser vi att θ går från 0 till π när vi genomlöper kurvan från vänster till höger. Med hjälp av trigonometriska formler får vi (x(θ), y(θ)) = r(2θ sin(2θ), 1 cos(2θ)), 0 θ π. Vi kan uttrycka y-ekvationen alternativt som sin θ y = 1 d, θ A R t R Q M B och denna egenskap karakteriseras cykloiden. Eftersom θ är vinkeln mellan kurvans tangent och den vertikala linjen gäller nämligen att y (x) = tan( π θ) = cot θ. Om vi 2
7 Cykloiden och dess släktingar 6 (11) parametriserar både x och y med θ har vi att y (θ) = 2d sin θ cos θ och y (θ) x (θ) = cot θ x (t) = tan θ y (θ) = 2d sin 2 θ = d(1 cos(2θ)). Om vi kräver att kurvan startar i origo får vi alltså parametriseringen ovan. Låt oss avsluta detta avsnitt med en ytterligare beräkning, nämligen den av båglängden längs kurvan: ds = x (θ) 2 + y (θ) 2 dθ = 4d 2 sin 4 θ + 4d 2 sin 2 θ cos 2 θdθ = 2d sin θ dθ. Eftersom dy = 2d sin θ cos θ dθ följer ur detta att ds = dy/ cos θ, och alltså ds = dy d y. Detta blir därmed en alternativ karakterisering av cykloiden. Cykloiden och gravitation Vi ska nu titta på några kanske lite oväntade egenskaper hos cykloiden. De handlar om hur snabbt ett föremål glider ner längs en inverterad [1] cykloider när de endast påverkas av gravitationen. Vi börjar diskussionen med en grundläggande observation från mekaniken. Om vi släpper en partikel med massan m (som alltså är i vila från början) på en viss höjd, så kommer dess potentiella energi successivt att omvandlas till kinetisk energi. När den fallit avståndet h så har den då fått uppnåt farten v som ges av sambandet 1 2 mv2 = mgh v = 2gh. Om vi inför ett koordinatsystem sådant att gravitationen verkar i riktning av negativa y-axeln och om vi startar på höjden y 0, så kommer hastigheten när partikeln är på höjden y < y 0 att ges av v = 2g(y 0 y). (1) Låt oss nu använda vinkeln θ som i föregående avsnitt och beskriva kurvan partikeln glider längs i denna: c(θ) = (x(θ), y(θ)). Om vi antar att den glider friktionsfritt så gäller att v = ds/dτ där s är båglängden på kurvan och τ är tiden (t är ju bara en parameter längs kurvan). Sammanfattar vi får vi att dτ = ds v = ds 2g(y0 y). Vi ska nu anta att partikeln glider längs den inverterade cykloiden, alltså en som är vänd upp och ner. Figuren nedan visar två klot släppta på olika höjd men vid samma tidpunkter.
8 Cykloiden och dess släktingar 7 (11) Kloten är utritade vid samma fyra tidpunkter på den inverterade cykloiden. Vi ser att de blå klotet, som startar längre ner, hela tiden ligger före det röda, men att de når den lägsta punkten på kurvan vid samma tidpunkt! När kurvan är den inverterade cykloiden får vi att Inför nu kan vi skriva dτ = ds 2g(y0 y) = 2d sin θ 8gd(cos2 θ 0 cos 2 θ) dθ u(θ) = cos θ cos θ 0 r du(θ) r dτ = g = d arcsin u(θ). 1 u(θ) 2 g Vi har att u(θ 0 ) = 1, så tiden det tar att komma till punkten c(θ) på kurvan är θ r r τ = ds = θ 0 g [ arcsin u(t)]θ θ 0 = g (π cos θ arcsin ) 2 cos θ 0 Speciellt ser vi att minimipunkten, som fås när θ = π/2, tar r π g tidsenheter att nå, oberoende av var på kurvan vi startar. Man säger att cykloiden är en tautokron. Det var Christiaan Huygens som 1673 visade att så var fallet. Om vi låter partikeln fortsätta förbi minimum så kommer den (av symmetriskäl) att glida upp till starthöjden på andra sidan minimat och där stanna. För att naturligtvis åter, p.g.a. gravitationen, glida tillbaka mot minimum. å detta sätt får vi alltså en svängande rörelse som aldrig upphör (kom ihåg att vi ignorerar friktion, så det sker inga energiförluster). Det vi sett ovan är då att oavsett hur stora svängningarna är, tar de lika lång tid! Annorlunda uttryckt, om vi kan få en pendel i en klocka att svänga enligt en inverterad cykloid, så skulle den hålla samma tid oavsett hur stora pendelutslagen är. Vilket leder till frågan, hur kan vi få en pendelrörelse att följa en inverterad cykloid? Här kommer en annan av cykloidens egenskaper behändigt in, som vi nu tittar närmare på. Betrakta följande problem. Fäst ett snöre i origo och lägg det längs cykloiden till dess maximum. Dra sedan loss snöret från den senare punkten så att den successivt lossnar från cykloiden och den bit som är loss alltid är sträckt. Vilken kurva kommer snörets slutpunkt då att genomlöpa?
9 Cykloiden och dess släktingar 8 (11) L(t) (t) c(t) Vi börjar med att konstatera från formeln för båglängden ovan att snörets längd ges av L = s(π) = 4. För att hitta koordinaterna för punkten (t) i figuren ska vi nu gå sträckan L(t) = 4 s(t) = 4 cos t 2 längs tangenten i punkten c(t). Riktningen vi ska gå längs är så vi ser att (t) får koordinaterna e(t) = c (t) c (t) = 1 2 sin t (1 cos t, sin t), 2 (t) = c(t) + L(t)e(t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t 2 2 sin t (1 cos t, sin t) 2 = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t 2 (sin t 2, cos t ) = (t sin t, 1 cos t) + 2(sin t, 1 + cos t), 2 med andra ord (t) = (t + sin t, 3 + cos t) = (π, 2) + (t π sin(t + π), 1 cos(t + π)) = (π, 2) + c(t + π). Det betyder att den sträckade kurvan är också en cykloid! Konsekvensen av detta för pendelproblemet får vi om vi vänder figuren uppochner. endeln hängs upp i origo och vi ser om dess upphängningssnöre begränsas i sin rörlighet av de två cykloiderna, så kommer den att röra sig längs en cykloid. Vilket betyder att svängningarna inte beror av hur stort utslaget är och alltså beror tiden (om detta sätts i ett pendelur) inte av hur stort utslaget är [2]. Brachistokronproblemet Cykloiden har ytterligare en, närbesläkta, egenskap som är kopplad till gravitationen den är brachistokronen. Vad det betyder ska vi diskutera i detta avsnitt. En av de i matematiken berömda Bernouilli-bröderna, Johann, utmanade 1696 samtidens matematiker med ett problem som skulle visa sig bli mycket inflytelserikt. I Acta Eruditorum, den tidens viktigaste tidskriften, ställde han följande problem: en partikel glider friktionsfritt längs en kurva som förbinder två punkter A och B. Om den enda kraft som påverkar partikeln är gravitationen, längs vilken kurva ska den glida för att komma fram på minsta möjliga tid?
10 Cykloiden och dess släktingar 9 (11) Detta är ett optimeringsproblem, men det nya med det är att vi inte ska hitta den punkt i vilken en given funktion är som minst, utan vi ska hitta en hel funktion som är minimal i en lämplig mening. Med tiden skulle en teknik utvecklas, idag kallad variatonskalkyl, som tar hand om denna typ av problem. Men den fanns inte i slutet av 1600-talet. Istället hade Johann ett bevis som inte skulle accepteras som bevis idag, men som ger ytterligare insikter om cykloiden. Vi ska därför diskutera hans lösning. Det som gör hans lösning icke-matematisk är att den använder observationer från fysiken. Det är två grundläggande observationer han använder: a) Den hastigheten en partikel har då den fallit (från vila) höjden h är lika med 2gh. Varför så är fallet har vi redan diskuterat. b) Ljus rör sig så att det alltid följer kortaste avståndet mellan två punkter, alltså når från den ena till den andra på minsta möjliga tid, vilket i sin tur leder till hur en beskrivning av hur ljus bryts i ett skikt med olika täthet (t.ex. luft och vatten). Vi börjar med att påminna om Snell s lag i fysiken, som handlar just om hur ljus bryts när det passerar mellan ett homogent medium till ett annat, såsom från luft till vatten. Det som gäller är att v 1 sin θ 1 sin θ 2 = v 1 v 2 där beteckningarna är som i figuren till höger. Storheterna v i betecknar den hastighet med vilken ljuset färdas i mediet ifråga. I figuren har vi att v 1 > v 2, vilket vi ser av hur brytningen sker. För att hitta snabbaste vägen mellan A och B tänkte sig Johann nu att han följde en partikel genom ett medium av kontinuerligt varierande täthet, sådant att partikelns hastighet ges av uttrycket ovan, och från det och Snells lag kan vi bestämma hur den färdas. Resonemanget blir lite klarare om vi (som Johann) skiktar området i delområdden med samma bredd d, där vi antar att varje band är homogent och ljuset har samma konstanta hastighet i det, nämligen v k = 2gkd (skikt nummer k ligger på avståndet kd uppifrån).i varje band kommer ljuset att gå längs en rät linje, så den kurva vi får är en polygonkurva. Snell s lag ger oss nu är sambandet mellan v k och vinkeln θ k : sin θ k = sin θ k+1. v k v k+1 θ 1 θ 2 v 2 A θ k θ k v k θ k+1 v k+1 B
11 Cykloiden och dess släktingar 10 (11) Sedan låter Johann d gå mot noll. Slutsatsen är då att uttrycket (sin θ)/v är konstant längs kurvan, där θ är vinkeln i fallriktningen. Vidare inser vi att när hastigheten är maximal, kalla den v m, så är θ = π/2. Det är nämligen när vi kommer fram till punkten B, så konstanten är 1/v m. Nu lägger vi in ett koordinatsystem lämpligt, nämligen så att A ligger i origo och B på nivån 2. Däremot bestämmer vi inte vilken x-koordinat som B har än så länge. Då kan vi ge ett uttryck för v i y, nämligen v = 2g( y) och får då att v m = 2 g. Med andra ord, i detta koordinatsystem gäller att sin θ = 1. y 2 Men vi har sett att denna ekvation definierar en inverterad cykloid, definierad av en cirkel med radien 1. Så det är alltså den sökta kurvan i detta fall. Vi har nu alltså hittat den snabbaste vägen från origo till nivån 2 och att då blir slutpunkten B = (π, 2). Om slutpunkten istället är B = (a, b), så ändrar vi bara skalan på axlarna så att vi får kurvan som ges av t ( a π (t sin t), b (cos t 1)). 2 Abels mekaniska problem Låt oss avslutningsvis återvända till tautochornproblemet ovan. Nils Henrik Abel ställde en mer generell fråga. Om tiden det tar att falla längs en kurva från höjden y 0 är given som en funktion T (y 0 ), vilken är då kurvan som partikeln rör sig längs? Förutsättningarna är samma som tidigare: partikeln befinner sig initialt i vila och rör sig friktionsfritt längs kurvan. Om vi som tidigare låter τ beteckna tiden så har vi sett att så tiden ges av T (y 0 ) = 0 ds dτ = 2g(y0 y), dτ = 1 y0 y 0 2g 0 1 y0 y s (y)dy, där vi antar att båglängden s beskrivs som en funktion av y. Men detta är en faltningsekvation: T = (φ s )(y 0 ), φ(y) = 1 y, y 0, och löses som sådan lämpligen med hjälp av Laplacetransformen Vi har då att L[φ](z) = L[f](z) = z 0 0 f(y)e zy dy. e zy z 2 π dy = 2 e zx2 dx = y 0 z
12 Cykloiden och dess släktingar 11 (11) och, eftersom L(f g) = L[f]L[g], så gäller att L[T ](z) = 1 2g π z L[s ](z). Ur detta ska vi lösa ut L[s ] för att sedan bestämma s (y) och ur det bestämma den sökta kurvan. I Tautokron-problemet ska vi ta T (y 0 ) = T 0 som en konstant. Eftersom betyder det att vi får L[T 0 ](z) = T 0 L[s ] = 2g T 0 z z π = T 0 0 e zy dy = T 0 z, 2g π π z. Men det betyder att s (y) är konstanten gånger φ(y), alltså att ds = T 0 2g 1 dy. π y Om vi flyttar ner kurvan y 0 steg och inverterar den blir detta på formen ds = kdy/ y 0 y, d.v.s. den så erhållna kurvan är en (utdragen eller hoppressad) cykloid. Noteringar 1. d.v.s. uppochnervänd 2. Mer om pendelur diskuteras i artikeln Den matematiska pendeln
Cykloiden och dess släktingar
Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merThe Brachistochrone problem
The Brachistochrone problem Andreas Olsén Karlstads Universitet HT-16 Kurs: Analytisk Mekanik 7,5 hp i FYGL07 Kursansvarig: Jürgen Fuchs 2017-01-07 Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 1. 1 Problembeskrivning...
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merOm Gauss skosnöreformel och planimetrar
Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett
Läs merAnalys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter
, plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp
Läs merInstuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1
Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merTentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)
Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520) Tid och plats: Tisdagen den 27 augusti 2013 klockan 14.00-18.00. Hjälpmedel: Physics Handbook, Beta samt en egenhändigt handskriven A4 med valfritt innehåll (bägge
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merOm att rita funktioner av två variabler
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner
Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse
Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en
Läs merLaboration 2 Mekanik baskurs
Laboration 2 Mekanik baskurs Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala 2014 12 11 1 Introduktion När man placerar ett föremål på ett lutande plan så kommer föremålet att börja glida längs med
Läs merKapitel extra Tröghetsmoment
et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten
Läs merSpeciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2
Speciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2 Christian von Schultz 2006 11 29 1 Tre satser Vi definierar en rumslik vektor A som en vektor som har A 2 < 0; en tidslik vektor har A 2 > 0 och en ljuslik
Läs merexempel på krafter i idealiserade situationer, som till exempel i Slänggungan / Kättingflygaren eller Himmelskibet.
Figur 1: Slänggungan på Liseberg Med Newton bland gungor och karuseller Ann-Marie.Pendrill@fysik.lu.se I nöjesparkens åkattraktioner är det din egen kropp som upplever krafterna i Newtons lagar, när den
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merStelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra
Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra Rörelse relativt mass centrum Allmänt partikelsystem Stel kropp translation + rotation (cirkelrörelse) För att kunna beskriva och förstå
Läs merMatematik D (MA1204)
Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och
Läs merKomplexa tal. i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = i 2 = 1, i 5 = i,...
Komplexa tal Vi inleder med att repetera hur man räknar med komplexa tal, till att börja med utan att bekymra oss om frågor som vad ett komplext tal är och hur vi kan veta att komplexa tal finns. Dessa
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs mer9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar
9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 29 Läsövning Summan av två tal Differensen mellan två tal a + b a b Produkten av två tal
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merTrigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003
Trigonometri Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003 1 Sammanfattning Trigonometrin är en mycket intressant och användbar del av matematiken. Med hjälp av dom samband och relationer som förklaras
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merTentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M.
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M. Fredagen den 20 decemer 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Skrivningen estår av 5 uppgifter. Kontrollera att alla uppgifterna
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe
Tentamen i SG1102 Mekanik, mindre kurs för Bio, Cmedt, Open Uppgifterna skall lämnas in på separata papper. Problemdelen. För varje uppgift ges högst 6 poäng. För godkänt fordras minst 8 poäng. Teoridelen.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs meruniversity-logo Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 1 / 11
Mekanik Repetition CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 03 18 1 / 11 Översikt Friläggning Newtons 2:a lag i tre situationer jämvikt partiklar stela kroppars plana rörelse Energilagen Rörelsemängd
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merKompendium om. Mats Neymark
960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler
Läs merEnklare uppgifter, avsedda för skolstadiet
Elementa Årgång 1, 198 Årgång 1, 198 Första häftet 97. Ett helt tal består av 6n siffror. I var och en av de på varandra följande grupperna av 6 siffror angiva de 3 första siffrorna samma tresiffriga tal
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merRepetion. Jonas Björnsson. 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från den verkliga världen
Repetion Jonas Björnsson Sammanfattning Detta är en kort sammanfattning av kursen Mekanik. Friläggning Friläggning består kortfattat av följande moment 1. Lyft ut den/de intressanta kopp/kropparna från
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merLösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)
Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFöreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A
1 Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap 212-215) Komihåg 4: Vinkelhastighetsvektorn " = # e z Skillnadsvektorn mellan två punkter i stel kropp kan bara vrida sig: r BA = " # r BA Sambandet
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merMålsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.
1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merOm komplexa tal och funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Om komplexa tal och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om komplexa tal och funktioner 1 (11) Introduktion De komplexa talen
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mer.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse
.4-6, 8, 12.5-6, 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse Exempel på roterande koordinatsystem planpolära eller cylindriska koordinater Storhet Beteckning Enhet Fysikalisk
Läs merVågrörelselära och optik
Vågrörelselära och optik Kapitel 14 Harmonisk oscillator 1 Vågrörelselära och optik 2 Vågrörelselära och optik Kurslitteratur: University Physics by Young & Friedman (14th edition) Harmonisk oscillator:
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs merLÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102
LÖSNINGAR TENTAMEN 16-10-20 MEKANIK II 1FA102 A1 Skeppet Vidfamne 1 har en mast som är 11,5 m hög. Seglet är i överkant fäst i en rå (en stång av trä, ungefär horisontell vid segling). För att kontrollera
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merVi har väl alla stått på en matta på golvet och sedan hastigt försökt förflytta
Niclas Larson Myra på villovägar Att modellera praktiska sammanhang i termer av matematik och att kunna använda olika representationer och se samband mellan dessa är grundläggande förmågor som behövs vid
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs mer