Cykloiden och dess släktingar
|
|
- Amanda Fransson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar (om vi betraktar en rät linje som en cirkel genom oändligheten). I det här dokumentet diskuterar vi kring sådana kurvor och upptäcker speciellt att just cykloiden har en hel del intressanta egenskaper som har att göra med hur en partikel, som endast påverkas av gravitationen, rör sig.
2 Cykloiden och dess släktingar 1 (9) 1 Introduktion Det här kapitlet handlar om en speciellt kurva som visar sig ha många intressanta egenskaper. De gamla grekerna ansåg att i en perfekt värld måste allt vara uppbyggt av räta linjer och cirklar, och de försökt t.ex. rekonstruera vad de, och före dem babylonierna, såg på himlavalvet med hjälp av cirklar. Det fungerade inte riktigt, så de fick arbeta med cirklar som roterar längs cirklar, s.k. epicykler. Vi ska inte närmare diskutera denna Ptolemaiska världsbild, utan istället titta närmare på vad som händer när vi följer en punkt på en cirkel som roterar längs en linje eller en cirkel. Grunden är att rotera en cirkel längs en linje alltså följa en fläck på ett däck som rullar på slät mark. Vilken kurva kommer den att ge upphov till? Svaret är den s.k. cykloiden, en kurva som visar sig ha en del förvånande egenskaper som har att göra med friktionsfri rörelse under inflytande av ett konstant gravitationsfält. Med konsekvenser för hur man bygger klassiska pendelur. Men att rulla en cirkel längs en linje leder till många variationer: vi kan variera var på cirkeln (eller t.o.m. utanför densamma) punkten ska sitta som vi följer. Vi kan också låta cirkeln rulla i eller på en annan, större, cirkel. Och även nu kan vi följa en punkt innanför eller utanför cirkel, fäst längs en (möjligen förlängd) radie på densamma. I det här kapitlet ska vi titta på lite grunder för detta, baserat på vilket man sedan kan göra många matematiska experiment och generera olika sorters kurvor mekaniskt eller med hjälp av ett grafiskt datorprogram. Vad är en cykloid? Om ett hjul rullar på en plan väg, och vi målar en vit fläck på sidan av hjulet, vilken väg kommer denna punkt då att röra sig? Om vi målar hjulets centrum, är svaret naturligtvis en rät linje, parallell med vägen. Men om vi målar fläcken en bit från centrum? Låt oss börja med fallet att vi sätter fläcken längst ut. Föreställ dig en cirkel med radien 1 som står på origo på den reella axeln. Dess medelpunkt ligger alltså i (0, 1) och vi låter den punkt på cirkeln som ligger i origo kallas P. Om cirkeln rullar åt höger så att centrum rör sig sträckan t, så roterar P medurs såsom illustreras i figuren nedan P t t P t Eftersom cirkeln har radien 1, gäller att den rullar lika långt som den roterat. Denna längd är i sin tur lika med avståndet mellan medelpunkterna för de två cirklarna. Alla
3 Cykloiden och dess släktingar (9) dessa tre storheter betecknas med t i figuren. Vi ska nu ge läget för punkten P i planet, när cirkeln har rullat sträckan t. Eftersom radien är 1, betyder det att den har rullat t längdenheter. Vi kan nu se läget som en summa av två vektorer: först går vi till medelpunkten som är i (t, 1) och sedan går vi från denna medelpunkt till punkten P. Tittar vi i figuren ser vi att den andra vektorn här har x-koordinat som är cos( 3π t) = sin t, medan dess y-koordinat är sin( 3π t) = cos t. Det följer att läget för P ges av c(t) = (t, 1) + ( sin t, cos t) = (t sin t, 1 cos t). Kurvan som definieras av parametriseringen t c(t) kallas en cykloid och illustreras i figuren nedan. Anmärkning Ett kanske snyggare sätt att härleda ekvationen för cykloiden är att använda sig av komplexa tal. Vi ska då addera vektorn som går från medelpunkten och vektorn från denna till P. Medelpunkten ges av t + i medan den andra vektorn har uppkommit genom att vi roterat i vinkeln t radianer, en vektor som vi kan skriva ( i)e it. I komplexa tal får vi alltså ekvationen c(t) = t + i + ( i)e it = t + i e i(π/ t). Omskrivet som par av reella tal är det samma ekvation som ovan. Så här långt har vi följt en punkt på randen till cirkeln. Men vi kan tänka oss att vi sätter punkten vi följer både inne i hjulet och utanför det. Kurvan punkten genererar ges då av ekvationen c(t) = (t r sin t, 1 r cos t), där 0 < r < 1 svarar mot en punkt inne i hjulet medan r > 1 svarar mot en punkt som ligger på en förlängd radie till hjulet. Figuren nedan illustrerar hur den genererade kurvan ser ut: den blå kurvan svarar mot ett r < 1 och den röda mot ett r > 1. Anmärkning Den röda kurvan visar att om vi har ett stag som går ut från centrum och är längre än hjulet, så kommer ändpunkten på den att då och då röra sig bakåt, trots att själva hjulet hela tiden rör sig framåt. Som ytterligare exempel, låt oss utvidga föregående exempel till en (liten) cirkel som rullar ovanpå eller inuti en annan (större) cirkel. Som aptitretare, antag att den lilla har
4 Cykloiden och dess släktingar 3 (9) en radie som är en tredjedel så stor som den stora cirkelns. Hur många gånger kommer den då att snurra runt medan den rullar ett varv runt den större? Tre gånger? Det stora hjulet har ju tre gånger så lång omkrets som det lilla! Självklart men fel! Det rätta svaret är fyra gånger, som vi nu ska se. Vi utgår ifrån en större, stillastående, cirkel med radien 1. På den placerar vi en mindre cirkel med radien r som illustreras i figuren till höger. Låt P vara den punkt som ligger längst bort ifrån origo på den lilla cirkeln. Den inses lätt ha x-koordinaten 1 + r och y-koordinaten 0. Rulla nu det lilla hjulet på det stora moturs. Låt t vara vinkeln mellan positiva x-axeln och medelpunkten på den lilla cirkeln som i figuren ovan. När det lilla hjulet har rullat t längdenheter på det stora, har det roterat ett antal radianer. Kalla det antalet θ. Sträckan på det lilla hjulet som legat mot är då r(θ t). Ur likheten r(θ t) = t får vi då att θ = 1 + r t. r Ur detta får vi så ekvationen för hur P rör sig: c(t) = (1 + r)(cos t, sin t) + r(cos( 1 + r r t), sin( 1 + r t)) r Anmärkning Än en gång blir detta mer kompakt och överskådligt om vi räknar med komplexa tal. Vi får då nämligen c(t) = (1 + r)e it + re 1+r r t. Speciellt har vi att då den lilla cirkeln har gått ett varv runt den stora, så har den roterat (1+r)/r varv. Tar vi som i inledningen r = 1/3 här, får vi att den lilla snurrat 4 varv. Den vänstra figuren nedan illustrerar detta fall. Försök att följa den snurrande lilla cirkeln och identifiera var linjen i den ligger som i utgångsläget. Den högra figuren illustrerar fallet r = 1/4. t P θ t θ t P
5 Cykloiden och dess släktingar 4 (9) Dessa två fall illustrerar vad som händer när vi tar r som ett rationellt tal. Då kommer vi att få en sluten kurva. Om vi emellertid tar r som ett irrationellt tal, så kommer vi att få en kurva som ligger tätt i området mellan enhetscirkeln och cirkeln med medelpunkt i origo och radien 1 + r. Anmärkning Med speciellt val av r får vi speciella kurvor med egenamn. Om vi t.ex. tar r = 1 får vi c(t) = e it + e it = e it ( + e it + e it ) 1 = (1 + cos t)e it 1, vilket betyder att kurvan t c(t) + 1 har den polära formen r = (1 + cos θ). En sådan kurva kallas en kardoid; en hjärtliknande kurva. Vi kan faktiskt ta 1 < r < 0 i diskussionen ovan. Det innebär endast att den lilla cirkeln kommer att snurra på insidan av den större. Figuren nedan visar de kurvor som uppkommer i specialfallen r = 1/4 och r = 1/3. Kurvor som uppkommer genom att en cirkel rullar utanpå en annan kallas epicykloider, de som uppkommer genom att en cirkel rullar inuti en annan kallas hypocykloider. Vi kan också lämna fallet r = 1/ en tanke: det resulterar i c(t) = (0, sin t), vilket blir ett stycke y-axel! Hur det är att åka längs en hypocykloid kan man uppleva på många nöjesfält i den karusell som ofta kallas tekoppen. Här sitter man på en plats i en tekopp som är fäst på en cirkelskiva som roterar när den snurrar längs karusellens yttre begränsning, som är en cirkel. Även för hypocykloiden gäller att vi får en sluten kurva om r är rationellt, annars fyller vi i princip ut området mellan två cirklar. 3 Cykloiden och gravitation Vi ska nu titta på några kanske lite oväntade egenskaper hos cykloiden. De handlar om hur fort saker som glider ner längs inverterade cykloider rör sig, när de endast påverkas av gravitationen.
6 Cykloiden och dess släktingar 5 (9) Men för att kunna göra den diskussionen börjar vi med att kort härleda hur båglängden beräknas på cykloiden. Båglängden beräknas ur formeln ds = c (t) dt, och eftersom c(t) = (t sin t, 1 cos t), har vi att c (t) = (1 cos t, sin t) c (t) = (1 cos t) + sin t = (1 cos t) = 4 sin t. Vi ser därför att båglängden längs cykloiden från origo till punkten c(t) ges av s(t) = t 0 c (u) du = t 0 sin u du = 4(1 cos t ). Här antar vi att t > 0; om t < 0 sätter vi in t i integralen. Slutformeln blir densamma. Betrakta nu den inverterade cykloiden (ges av c(t) = (t sin t, cos t 1)). Om vi låter en partikel glida ner längs den tills den når botten, hur lång tid tar det? Vi antar att partikeln, som vi ger massan m, endast påverkas av gravitationen. Speciellt ignorerar vi alltså eventuell friktion mot kurvan. Som tidsmått tar vi parametern t i parametriseringen ovan. Om vi släpper en partikel på en viss höjd, så kommer dess potentiella energi successivt att omvandlas till kinetisk energi. När den fallit avståndet h så har den då fått en hastighet som ges av sambandet 1 mv = mgh v = gh. Men hastigheten (som egentligen bör kallas farten) ges av v = ds/dt, där s är båglängden. Om vi startar i punkten (x 0, y 0 ) = c(t 0 ) på kurvan, så betyder det att vi har och alltså dt = ds dt = g(y 0 y(t)), ds g(y0 y(t)) = sin t dt g(cos t0 cos t). (1) Men cos t 0 cos t = (cos t 0 t cos ), och vi kan beräkna integralen vi får i högerledet genom att göra variabelbytet 1 g sin t dt cos t 0 cos t = g u = cos t cos t 0 : du = (C arcsin u) = (C arcsin cos t 1 u g g cos t ). 0 Med hjälp av detta kan vi nu integrera (1) från starttiden t 0 till t och få att t t 0 = g ( π arccos cos t cos t 0 ).
7 Cykloiden och dess släktingar 6 (9) Uttrycket t t 0 är tiden det tar att nå till punkten c(t) på kurvan från c(t 0 ), och sätter vi t = π, så ser vi att tiden att nå botten ges av π g. Det anmärkningsvärda med detta är att det inte beror av t 0, alltså i vilken punkt vi startar. Man säger att cykloiden är en tautokron. Om vi låter partikeln fortsätta förbi minimum så kommer den (av symmetriskäl) att glida upp till motsvarande höjd på andra sidan minimat och där stanna. För att naturligtvis åter, p.g.a. gravitationen, glida tillbaka mot minimum. På detta sätt får vi alltså en svängande rörelse som aldrig upphör (kom ihåg att vi ignorerar friktion, så det sker inga energiförluster). Det vi sett ovan är då att oavsett hur stora svängningarna är, tar de lika lång tid! Annorlunda uttryckt, om vi kan få en pendel i en klocka att svänga enligt en inverterad cykloid, så skulle den hålla samma tid oavsett hur stora pendelutslagen är. Vilket leder till frågan, hur kan vi få en pendelrörelse att följa en inverterad cykloid? Här kommer en annan av cykloidens egenskaper behändigt in, som vi nu tittar närmare på. Betrakta följande problem. Fäst ett snöre i origo och lägg det längs cykloiden till dess maximum. Dra sedan loss snöret från den senare punkten så att den successivt lossnar från cykloiden och den bit som är loss alltid är sträckt. Vilken kurva kommer snörets slutpunkt då att genomlöpa? L(t) P (t) c(t) Vi börjar med att konstatera från formeln för båglängden ovan att snörets längd ges av L = s(π) = 4. För att hitta koordinaterna för punkten P (t) i figuren ska vi nu gå sträckan L(t) = 4 s(t) = 4 cos t längs tangenten i punkten c(t). Riktningen vi ska gå längs är så vi ser att P (t) får koordinaterna e(t) = c (t) c (t) = 1 sin t (1 cos t, sin t), P (t) = c(t) + L(t)e(t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t sin t (1 cos t, sin t) = (t sin t, 1 cos t) + 4 cos t (sin t, cos t ) = (t sin t, 1 cos t) + (sin t, 1 + cos t),
8 Cykloiden och dess släktingar 7 (9) med andra ord P (t) = (t + sin t, 3 + cos t) = (π, ) + (t π sin(t + π), 1 cos(t + π)) = (π, ) + c(t + π). Det betyder att den sträckade kurvan är också en cykloid! Konsekvensen av detta för pendelproblemet får vi om vi vänder figuren uppochner. Pendeln hängs upp i origo och vi ser om dess upphängningssnöre begränsas i sin rörlighet av de två cykloiderna, så kommer den att röra sig längs en cykloid. Vilket betyder att svängningarna inte beror av hur stort utslaget är och alltså beror tiden (om detta sätts i ett pendelur) inte av hur stort utslaget är. Detta diskuteras mer ingående i dokumentet Den matematiska pendeln. 4 Brachistokronproblemet Cykloiden har ytterligare en egenskap, kopplad till gravitationen den är brachistokronen. Vad det betyder ska vi diskutera i detta avsnitt. En av de i matematiken berömda Bernouilli-bröderna, Johann, utmanade 1696 samtidens matematiker med ett problem som skulle visa sig bli mycket inflytelserikt. I Acta Eruditorum, den tidens viktigaste tidskriften, ställde han följande problem: en partikel glider friktionsfritt längs en kurva som förbinder två punkter A och B. Om den enda kraft som påverkar partikeln är gravitationen, längs vilken kurva ska den glida för att komma fram på minsta möjliga tid? Bernouilli skröt med att han hade en vacker lösning som han dock inte vill publicera direkt. Istället ville han att tidens matematiker skulle testa sina krafter på problemet. Speciellt utmanade han sin äldre bror Jakob, som han vid tiden låg i en bitter fejd med och som han officiellt hade betecknat som inkompetent. Det nya med problemet, som gjorde att det inte var direkt angripbart med den då nyligen upptäckta differentialkalkylen, vara att man inte skulle hitta den punkt en given funktion var minst i. Istället söker vi en hel funktion utifrån ett villkor på hur den ska se ut. Med tiden skulle en teknik utvecklas, idag kallad variatonskalkyl, som tar hand om denna typ av problem. Men den fanns inte i slutet av 1600-talet. Istället hade Johann ett bevis som inte skulle accepteras som bevis idag, men som ger ytterligare insikter om cykloiden. Vi ska därför diskutera hans lösning. Det som gör hans lösning icke-matematisk är att den använder observationer från fysiken. Det är två grundläggande observationer han använder: a) Hastigheten partikeln kommer att ha då den fallit höjden h kommer att vara lika med gh. Varför så är fallet har vi redan diskuterat. b) Ljus rör sig så att det alltid följer kortaste avståndet mellan två punkter, alltså når från den ena till den andra på minsta möjliga tid. Och den observationen leder till Snell s lag för hur ljus bryts i ett skikt med olika täthet (t.ex. luft och vatten).
9 Cykloiden och dess släktingar 8 (9) Vi börjar med att påminna oss Snell s lag som handlar om hur ljus bryts när det går mellan ett homogent medium till ett annat, såsom från luft till vatten. Det som gäller är att v 1 sin θ 1 sin θ = v 1 v där beteckningarna är som i figuren. Storheterna v i betecknar den hastighet som ljuset har i mediet ifråga. Vi ser att i figuren har vi att v 1 > v. För att hitta snabbaste vägen mellan A och B tänkte sig Johann nu att dessa punkter låg i ett material med varierande täthet. Mer precist, han skiktade området i delområden med bredd d, där han antog att varje band var homogent och i det hade ljuset konstant hastighet v k = gkd. I varje band kommer ljuset att gå längs en rät linje, så den kurva vi får är en polygonkurva. Vad Snell s lag ger oss nu är ett samband mellan v k och vinkeln θ k : θ 1 θ v A sin θ k v k = sin θ k+1 v k+1. θ k θ k v k θ k+1 v k+1 Sedan låter Johann d gå mot noll. Slutsatsen är då att uttrycket (sin θ)/v är konstant längs kurvan, där θ är vinkeln i fallriktningen. Vidare inser vi att när hastigheten är maximal, kalla den v m, så är θ = π/ (det är när vi kommer in i B), så konstanten är 1/v m. För att göra analys av detta noterar vi nu att om ds = dx + dy är bågelementet, så gäller att dx = ds sin θ och alltså att v m dx = vds. Om vi kvadrerar det får vi att v (dx + dy ) = v mdx och alltså (v m v )dx = v dy. Nu lägger vi in ett koordinatsystem lämpligt, nämligen så att A ligger i origo och B på nivån. Däremot bestämmer vi inte vilken x-koordinat som B har än så länge. Då kan vi ge ett uttryck för v i y, nämligen v = g( y) och vi får att v m = g. Sätter vi in det i uttrycket får vi att (4g ( gy)dx = g( y)dy, vilket efter rotutdragning blir + ydx = ydy. B
10 Cykloiden och dess släktingar 9 (9) Vi måste här välja minustecknet ty när x ökar ska y minska. Men detta är en separabel differentialekvation. För att lösa den börjar vi med att sätta + y = cos θ, vilket för över ekvationen till cos θdx = cos θ( 4 cos θ sin θ)dθ dx = 4 sin θdθ. Integrerar vi detta ser vi att vi får x(θ) = θ sin θ + C, där integrationskonstanten C = 0 eftersom θ = 0 svarar mot x = y = 0. Vidare har vi från början att y = (cos θ ) = 1 + cos θ = cos θ 1, så om vi inför t = θ som ny parameter ser vi att kurvan ges av vilket är precis den inverterade cykloiden. t (t sin t, cos t 1), Vi har nu alltså hittat den snabbaste vägen från origo till nivån och att då blir slutpunkten B = (π, ). Om slutpunkten istället är B = (a, b), så ändrar vi bara skalan på axlarna så att vi får kurvan som ges av t ( a π (t sin t), b (cos t 1)).
Cykloiden och dess släktingar
Cykloiden och dess släktingar Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Cykloiden är den enklaste av en samling kurvor som uppkommer genom att man roterar cirklar på cirklar
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer
Läs merThe Brachistochrone problem
The Brachistochrone problem Andreas Olsén Karlstads Universitet HT-16 Kurs: Analytisk Mekanik 7,5 hp i FYGL07 Kursansvarig: Jürgen Fuchs 2017-01-07 Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 1. 1 Problembeskrivning...
Läs merOm ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merParabeln och vad man kan ha den till
Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den
Läs merParametriserade kurvor
CTH/GU LABORATION 4 TMV37-4/5 Matematiska vetenskaper Inledning Parametriserade kurvor Vi skall se hur man ritar parametriserade kurvor i planet samt hur man ritar tangenter och normaler i punkter längs
Läs merOm Gauss skosnöreformel och planimetrar
Om Gauss skosnöreformel och planimetrar Anders Källén MatematikCentrum TH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi härleda en formel för arean av ett område som innesluts av ett
Läs merPrimitiva funktioner i flerdim
Analys 36 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Primitiva funktioner i flerdim Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Primitiva funktioner i flerdim 1 (11) 1 Introduktion Att bestämma
Läs merAndra EP-laborationen
Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng 005 11 0 Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med
Läs merLektion 1. Kurvor i planet och i rummet
Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSpiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska
Läs merAnalys på en torus. MatematikCentrum LTH
Analys på en torus Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera differentialgeometri på en torus, både inbäddad som en badring i rummet och
Läs merDefinitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen ---------------------------------- Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merOm att rita funktioner av två variabler
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Om att rita funktioner av två variabler Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Om att rita funktioner av två variabler 1 (10) Introduktion
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs mer6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar
6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar 6.13 Det som känns som barnets tyngd är den uppåtriktade kraft F som mannen påverkar barnet med. Denna fås ur Newton 2 för barnet. Svar i kilogram måste
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merDubbelintegraler och volymberäkning
ubbelintegraler och volymberäkning Volym och dubbelintegraler över en rektangel Alla funktioner nedan antas vara kontinuerliga. Om f (x) i intervallet [a, b], så är arean av mängden {(x, y) : y f (x),
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merEllipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.
Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,
KOMIHÅG 8: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor 1 Föreläsning 9: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse
Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merKursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION
1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merLösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner
Lösningar Heureka Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro Lösningar Fysik Heureka:Kapitel 3 3.1) Enligt figuren: nordliga förflyttningen: 100+00-100=00m Östliga förflyttningen:
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar
6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar 6.104 Om du inte tidigare gått igenom illustrationsexempel 6.3.3, gör det först. Låt ϕ vara vinkeln mellan radien till kroppen och vertikalen (det vill
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merLösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik
Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss
TNA00- Matematisk grundkurs Tentamen 05-0-0 - Lösningsskiss. a) Vi löser ekvationen x + x = x + 4 genom att studera tre fall. Fall : x 0. Vi får ekvationen: x + x = x + 4 x =, som duger ty x = tillhör
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merPoincarés modell för den hyperboliska geometrin
Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mer! &'! # %&'$# ! # '! &!! #
56 6 MATRISER 6.6. Tillämpningar I exemplen nedan antar vi att {e, e 2 } är en ON-bas i planet och Oe e 2 ett högerorienterat system i detta plan. Exempel 6.39. Antag att u e + e 2 e är en vektor i planet
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs merBlixtkurs i komplex integration
Blixtkurs i komplex integration Sven Spanne 8 oktober 996 Komplex integration Vad är en komplex kurvintegral? Antag att f z är en komplex funktion och att är en kurva i det komplexa talplanet. Man kan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanals Bedömningskriterier till tentamen Onsdagen den 5 mars 207 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad
Läs merDet är lätt att hitta datorprogram som ritar kurvor av enkla funktionsuttryck,
Güner Ahmet & Thomas Lingefjärd Parametriska kurvor Geogebra är ett så kallad dynamiskt geometriprogram och uppfattas kanske som ett program för främst geometri. Men Geogebra kan användas för alla delområden
Läs mer9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar
9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar 9.43 b) Villkor för att linan inte skall glida ges av ekv (4.1.6). 9.45 Ställ upp grundekvationerna, ekv (9.2.1) + (9.2.4), för trådrullen. I momentekvationen,
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merBERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER)
BERÄKNING AV KURVINTEGRALER (LINJEINTEGRALER) Låt FF = (PP(xx, yy, z, QQ(xx, yy, z, RR(xx, yy, z) vara ett kontinuerligt vektorfält ( d v s en vektorfunktion) definierat i en öppen mängd Ω. Låt γ vara
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merTentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag
Tentamen i Matematisk analys MVE5 26-8-23 Lösningsförslag Kl. 8.3 2.3. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics handbook for science and engineering (BE- TA) eller CRC Standard Mathematical Tables. Indexeringar
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs merOm den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)
1 KOMIHÅG 12: --------------------------------- Den mekaniska energin, arbetet ---------------------------------- Föreläsning 13: FLER LAGAR-härledning ur N2 Momentlag Hur påverkas rörelsen av ett kraftmoment??
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merNewtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.
1 KOMIHÅG 8: --------------------------------- Hastighet: Cylinderkomponenter v = r e r + r" e " + z e z Naturliga komponenter v = ve t Acceleration: Cylinderkomponenter a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2
Läs merTentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08
Tentamen i Mekanik - Partikeldynamik TMME08 Onsdagen den 13 augusti 2008, kl. 8-12 Examinator: Jonas Stålhand Jourhavande lärare: Jonas Stålhand, tel: 281712 Tillåtna hjälpmedel: Inga hjälpmedel Tentamen
Läs merKarta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara
Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merHarmonisk oscillator Ulf Torkelsson
1 Haronisk rörelse Föreläsning 13/9 Haronisk oscillator Ulf Torkelsson Betrakta en potentiell energi, V (x), so har ett iniu vid x, och studera rörelsen i närheten av detta iniu. O vi släpper en partikel
Läs merInre krafters resultanter
KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merx +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.
Lösningar till tentamen i Inledande matematik för M/TD, TMV155/175 Tid: 2006-10-27, kl 08.30-12.30 Hjälpmedel: Inga Betygsgränser, ev bonuspoäng inräknad: 20-29 p. ger betyget 3, 30-39 p. ger betyget 4
Läs merSpeciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2
Speciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2 Christian von Schultz 2006 11 29 1 Tre satser Vi definierar en rumslik vektor A som en vektor som har A 2 < 0; en tidslik vektor har A 2 > 0 och en ljuslik
Läs merDatum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.
Mekanik KF, Moment 1 Datum: 2012-08-25 Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar. Del 1 (Lämna in denna del med dina
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs mer" e n och Newtons 2:a lag
KOMIHÅG 4: --------------------------------- 1 Energistorheter: P = F v, U "1 = t 1 # Pdt. Energilagar: Effektlagen, Arbetets lag ---------------------------------- Föreläsning 5: Tillämpning av energilagar
Läs merLösningsförslag till problem 1
Lösningsförslag till problem Lisa Nicklasson november 0 Att beskriva trianglar Vi ska börja med att beskriva hur trianglar kan representeras i x, y)-planet Notera att varje triangel har minst två spetsiga
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merTentamensuppgifter, Matematik 1 α
Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,
Läs mer