Andra EP-laborationen

Transkript

1 Andra EP-laborationen Christian von Schultz Magnus Goffeng Sammanfattning I denna rapport undersöker vi perioden för en roterande skiva. Vi kommer fram till, både genom en kraftanalys och med hjälp av Lagranges ekvationer, att skivans läge beskrivs av en ekvation liknande den för en matematisk pendel. När vi linjäriserar denna ekvation får vi en formel för periodtiden som avslöjar att periodtiden enbart beror på skivans massa, dess tröghetsmoment kring masscentrum och avståndet mellan rotationscentrum och masscentrum. Dessutom är periodtiden för stora avstånd mellan skivans masscentrum och rotationsaxeln samma som för en matematisk pendel.

2 Innehåll 1 Inledning Materiel 3 Teoretisk analys av problemet 4 Metodik 4 5 esultat 8 6 Diskussion 8 A Satsen för parallella axlar 9 B Härledning av (4) med Lagranges ekvationer 10 1

3 otationsaxel y x s θ Tyngdpunkt m g 1 Inledning Figur 1: Uppställning och beteckningar Vi utförde den här laborationen i syfte att nå en djupare kunskap kring svängande skivor. För att uppnå detta börjar vi med en teoretisk analys av problemet som vi sedan verifierar experimentellt. Materiel Vi använde oss av några spånskivor, en upphängningsanordning till dessa, en linjal, en våg och ett stoppur. 3 Teoretisk analys av problemet Vi har valt att lägga fokus på den teoretiska grunden i detta problemet, så nedan följer en analys av problemet som underlättar den exprimentella delen. Om vi sätter rotationscentrum i origo och låter s (t) beteckna masscentrums 1 lägesvektor vid tiden t (se figur 1, notera att s är konstant), då gäller för 1 Eller egentligen tyngdpunkten, men för våra syften kan gravitationsfältet betraktas som homogent, varvid tyngdpunkten sammanfaller med masscentrum.

4 tyngdkraftens vridmoment med avseende på origo M = m g s (1) där m är skivans massa. Notera att s (t) alltid befinner sig i samma plan, så att M kommer alltid vara ortogonal mot planet. Det räcker alltså att betrakta en komponent i M, dess z-komponent. Hädanefter låter vi M beteckna M- vektorns z-komponent. Vi skriver s med cylindriska koordinater, där vi låter θ(t) vara vinkeln mellan s (t) och negativa y-axeln: Ekvation (1) ger då: Vidare gäller: s = s ( sin θ, cos θ, 0) M = sin θ () M = I θ (3) Om vi sätter () och (3) lika får vi en fin differentialekvation: θ = sin θ (4) I Om man istället betraktar skivan som ett system av små masselement och använder Lagrangesk mekanik på detta system för att låta antalet masselement gå mot får man samma resultat, för detaljerna se appendix B på sidan 10. Om vi nu betraktar små utslagsvinklar kan vi göra approximationen sin θ θ och får då: θ = µ θ där µ = (5) I som har lösningen θ(t) = C sin(µt+ϕ) där C och ϕ bestäms av initialvärdena. Om vi nu undersöker periodiciteten hos θ har vi att µ = 0 ger θ(t) = θ(0)t + θ(0) som svarar mot att skivan snurrar runt sitt masscentrum och har därmed ingen periodicitet. Men om µ 0 så har funktionen θ uppenbarligen perioden T = π µ = π I Sats 1, appendix A, ger att I = I c + ms där I c är tröghetsmomentet vid rotation kring masscentrum. Sammanfattningsvis har vi att för en periodisk lösning till (4) så gäller att: I c + ms T = π (6) Denna ekvationen säger också att perioden beror bara på masscentrums avstånd till rotationscentrum. Våra exprimentella resultat tyder också på detta. 3

5 T/s,5 1,5 I T = π c+ms där I c = 0,0357 kg m 1 0,5 s/m 4 Metodik 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figur : Periodtiden för den vita plattan. Vi monterade plattorna, som var försedda med hål, på en upphängningsanordning som lät plattan rotera fritt kring upphängningspunkten (friktion försummas). Vi mätte avståndet s från upphängningspunkten till plattans tyngdpunkt, som vi enkelt fick fram genom att balansera plattan horisontellt på ett finger. Därefter mätte vi för olika avstånd s tiden för 10 perioder, när plattan fick svänga med liten amplitud. Vi mätte för tre olika plattor. En vit platta (se tabell 1), en oval platta (tabell ) som vi tog många värden för, och en cirkulär platta (tabell 3) för att enkelt kunna jämföra med teoretiskt framräknat tröghetsmoment. Ur ekvation (6) kan vi lösa ut I c : I c = T 4π ms Vi kan därmed associera ett I c -värde med varje mätpunkt. Genom att ta ett medelvärde på dessa kan vi få en god uppfattning av hur stort tröghetsmomentet vid rotation kring masscentrum är för varje platta. Det gör det möjligt att rita grafer av T som en funktion av s enligt ekvation (6), se figurer 4. Där framgår även vilka I c -värden vi har fått. 4

6 Tabell 1: Periodtiden för den vita plattan. s m T s 0,09,53 0,034,39 0,05,00 0,071 1,74 0,10 1,51 0,107 1,38 0,143 1,6 0,153 1,38 0,33 1,36 0,317 1,6 0,317 1,7 0,755 1,87 0,755 1,87 T/s 3,5 3,5 1,5 1 0,5 I T = π c+ms där I c = 0,07 kg m s/m 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Figur 3: Periodtiden för oval platta, stor mätserie. 5

7 Tabell : Periodtiden för den ovala plattan, stor mätserie. s m T s 0,011 3,047 0,03,553 0,036,081 0,049 1,8 0,06 1,760 0,074 1,535 0,087 1,466 0,100 1,400 0,11 1,359 0,15 1,319 0,138 1,306 0,150 1,88 0,163 1,81 0,175 1,309 0,188 1,91 0,01 1,69 0,14 1,66 0,6 1,81 0,39 1,81 0,5 1,93 0,65 1,300 0,77 1,353 0,90 1,38 0,309 1,388 0,500 1,550 0,573 1,653 0,617 1,678 0,684 1,744 0,767 1,835 Tabell 3: Periodtiden för den cirkulära plattan. s m T s 0,040,109 0,073 1,57 0,117 1,375 0,155 1,310 0,193 1,78 0,31 1,88 0,70 1,315 6

8 Tabell 4: Plattornas massor Platta Massa i kg Vit platta 0,76 kg Oval platta 0,639 kg Cirkulär platta 0,691 kg 3,5 3,5 T/s I T = π c+ms med teoretiskt värde på I c. I c = 0,071 kg m I c+ms T = π där I c = 0,088 kg m 1,5 1 0,5 s/m 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 Figur 4: Periodtid för cirkelplatta och jämförelse med teoretiska värden 7

9 För cirkelskivan kan vi också integrera oss fram till ett teoretiskt värde på tröghetsmomentet. Efter lätt räkning fås I c = mr där r är skivans radie, som uppmättes till 0,80 m. Detta ger ett I c -värde som ligger väldigt nära det experimentellt bestämda, se figur 4. 5 esultat Pendelns svängningar bestäms av θ = I sin θ För små amplituder ger detta följande formel för periodtiden: I c + ms T = π Detta stämmer mycket väl överens med experimentet, se figurer 4. Notera hur ett helt teoretiskt I c -värde i figur 4 ger mycket god överensstämmelse med experimentet. 6 Diskussion Vi ser tydligt i (6) att för små såväl som stora s så är periodtiden stor. För små s så är T (s) = O(s 1 ). För stora s är T (s) = O(s 1 ) och funktionen närmar sig den linjäriserade matematiska pendelns svängningstid. Faktum är att formeln för den matematiska pendelns svängningstid kan anses vara ett specialfall av vår formel: den matematiska pendeln betraktar punktmassor, varvid I c = 0. Vi kan konstatera att problemet lämpar sig ypperligt för teoretisk behandling, och en god förståelse kan uppnås för förloppet. Det är tveksamt om detta hade kunnat uppnås genom en renodlat experimentell approach. 8

10 A Satsen för parallella axlar Sats 1 Om tröghetsmomentet kring en rotationsaxel genom masscentrum på en kropp är I c, ges tröghetsmomentet kring en godtycklig annan axel parallell med den första av I s = I c + m s där m är kroppens massa och s är avståndet mellan axlarna. Bevis. Låt s (vinkelrät mot axlarna) peka från axeln genom masscentrum, till den andra axeln, vars tröghetsmoment vi söker. Låt r c vara kortaste vektorn från axeln genom masscentrum till en godtycklig punkt på kroppen. Låt r s vara kortaste vektorn från andra axeln till samma punkt. Notera att r c och r s kommer ligga i samma plan: vinkelrätt mot axlarna. Man inser snart att r c = s + r s (7) Tröghetsmomentet definieras allmänt som I = r dm där r är avståndet till rotationsaxeln. Vi har då: I c = r c dm I s = r s dm Vi har enligt (7): r s = r c s = ( r c s) ( r c s) = r c + s s r c (8) Om vi sedan utnyttjar (8) för att beräkna I s : I s = r s dm = r c dm + s dm = I c + m s s r c dm Därmed är beviset nästan klart. Återstår endast att visa s r c dm = 0 9 s r c dm =

11 Eftersom s är en konstant vektor, så vi kan skriva om vänsterledet som s r c dm Men detta är ju endast koordinaterna för masscentrum i planet som ligger ortogonalt mot rotationsaxeln för kroppen och om vi lägger origo i masscentrum så är s r c dm = 0 och satsen är bevisad. B Härledning av (4) med Lagranges ekvationer Lagrangianen L för ett system är definierat som L = T V där T är den kinetiska energin för systemet och V är den potentiella energin för systemet. Vi väljer ett fixt masselement som bildar vinkeln θ mot den negativa y-axeln. Vi delar upp skivan i N stycken masselement. Vidare väljer vi ett fixt masselement som bildar vinkeln θ mot den negativa y-axeln. Låt koordinaten för det i:te masselementets masscentrum vara (x i,y i ) och i polära koordinater (s i,ϕ i ); låt den ha massa m i och tröghetsmoment I i med avseende på rotationsaxeln. Vi uttrycker Lagrangianen i de generaliserade koordinaterna (s i,θ i, θ i ) = (s i,θ + ϕ i, θ), då gäller att: T = V = = I i θ = I θ s i m i g cos(θ + ϕ i ) = s i m i g [cos θ cos ϕ i sin θ sin ϕ i ] = m i g[y i cos θ x i sin θ] (10) Nu behöver vi Lagranges ekvationer: Sats Om L är Lagrangianen för ett system med de generaliserade koordinaterna (q i, q i ) så uppfyller L följande differentialekvation: d L L = 0 dt q i q i 10 (9)

12 För vårt system så är d dt L = I θ och θ Så Lagranges ekvationer blir: N L q = m i g[y i sin θ + x i cos θ] I θ = m i g[ y i sin θ x i cos θ] = g sin θ m i y i + g cos θ m i x i Men här ser vi att då vi låter N kommer de söliga summorna att gå mot koordinaterna för masscentrum multiplicerat med massan, resten är ju oberoende av i och N och kommer att bevaras. Så vi får den enklare ekvationen I θ = my m g sin θ + mx m g cos θ där (x m,y m ) är skivans masscentrum då θ(t) = 0. Då ser vi att om vi väljer det fixa masselementet att ligga i masscentrum och masscentrum ligger på avståndet s från rotationsaxeln så är (x m,y m ) = (0, s) och alltså är det samma som ekvation (4). eferenser [1] Engelska Wikipedia, [] C. Nordling, J. Österman, Physics Handbook of Science and Engineering, Studentlitteratur