Rotationsrörelse laboration Mekanik II

Transkript

1 Rotationsrörelse laboration Mekanik II Utförs av: William Sjöström Oskar Keskitalo Uppsala Sida 1 av 10

2 Sammanfattning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment, detta vridmoment kallas kroppen tröghetsmoment. I denna laboration så undersöker vi hur tröghetsmomentet beror av kroppens form samt jämför resultatet med teoretiskt bestämt tröghetsmoment. Sida 2 av 10

3 Inledning För att förändra en kropps rotationshastighet så krävs ett vridmoment, detta vridmoment kallas kroppen tröghetsmoment. Om vi accelererar en kropp med känd symmetri och massa med ett känt kraftmoment så kan vi bestämma kroppens tröghetsmoment. I denna laboration skall vi genom tre stycken experiment undersöka tröghetsmoment för olika kroppar. Teori Gemensamma formler: Omskrivning av Euler s första lag [1] ger: a = F /m (1) Där a är kroppens accelerationen, F är summan av de krafter som påverkar kroppen och m är kroppens massa. Euler s andra lag [2] : M = I* α (2) Där M är vridmomentet kring kroppens masscentrum, I är kroppens tröghetsmoment och α är kroppens vinkelacceleration. Accelerationen a kan beskrivas som: Där r är avståndsvektorn. a = r x α (3) Experiment 1 Figur 1, friläggning av trådrulle. Genom friläggning, se figur 1, av trådrullen och Euler s första lag fås snörkraften, T, som verkar på vikten: T =m g m a (5) Genom friläggning av metallringen och Euler s andra lag fås: T = ( I * α )/ r (6) Kombination av ekvation (5) och (6) ger: Sida 3 av 10

4 Vilket efter förenkling leder till: ( I * α )/ r =m g m a I = (mg ma)* r/α (7) Föregående formel kombinerat med formel (3) ger: I =(mgr αmr^2)/α (8) Tröghetsmomentet för en metallring [3] : I =(1/2)*m*(r1^2+r2^2) (9) Experiment 2 Tröghetsmoment för punktmassor [6] : Tröghetsmomentet för en tunn stav [4] : Där a är stavens längd. I =sum(m*r^2) (10) I =(1/12)ma^2 (11) Experiment 3 Steiner s theorem [5] : I n = I c +mo^2 (12) I c tröghetsmomentet för kroppen när den roterar runt sitt masscentrum. I n är kroppens tröghetsmomentet vid rotation runt en axel förskjuten från kroppens masscentrum med ett avstånd o. Sida 4 av 10

5 Metod Materialet som användes: En handdator (Pasco xplorer GLX Datalogger). Vinkelsensor med trådrulle och ett block. Metallring. Vikt, V1 med massan. En stav. 2st vikter, V2, båda med massan. Figur 2, uppställning av experiment 1. Vinkelsensorn kopplades in i handdatorn, se figur 2, och samplingsfrekvensen 50Hz valdes. Utrustningen kalibrerades så att vinkelsensorn var plan. Vikten V1 sattes fast i trådrullens tråd enligt figur 2. Sedan utfördes de tre experimenten enligt följande. Experiment 1 1. Aluminiumskivan monterades på vinkelsensorn, se figur Vinkelhastighet/tid mätning med hjälp av vinkelsensorn startades på handdatorn. 3. Vikten V1 släpptes från sitt översta läge vilket accelererade skivan. 4. När trådrullen närmade sig sitt slut så stoppades mätningen på handdatorn. 5. Accelerationen (lutningen på vinkelhastighet/tid mätningen) noterades från de erhållna mätvärderna i handdatorn. 6. Metallringen fixerades vid aluminiumskivan och steg 2 till 5 upprepades. 7. Trådrullens radie, vikten V1 s massa, metallringens massa och dimensioner noterades. Sida 5 av 10

6 Experiment 2 1. Staven monterades på vinkelsensorn. 2. Vinkelhastighet/tid mätning med hjälp av vinkelsensorn startades på handdatorn. 3. Vikten V1 släpptes från sitt översta läge vilket accelererade staven. 4. När trådrullen närmade sig sitt slut så stoppades mätningen på handdatorn. 5. Accelerationen (lutningen på vinkelhastighet/tid mätningen) noterades från de erhållna mätvärderna i handdatorn. 6. En av vikterna V2 monterades på stavens ena halva, 7 cm från stavens centrum. Steg 2 till 5 upprepades. 7. Ytterligare en vikt V2 monterades på stavens andra halva, 7 cm från stavens centrum. Steg 2 till 5 upprepades. 8. Båda vikterna V2 flyttades så att deras avstånd till centrum blev cirka 16 cm. Steg 2 till 5 upprepades. 9. Vikterna V2 s massor noterades. Experiment 3 1. Stavens centrum monterades på vinkelsensorn. 2. Vinkelhastighet/tid mätning med hjälp av vinkelsensorn startades på handdatorn. 3. Vikten släpptes från sitt översta läge vilket accelererade staven. 4. När trådrullen närmade sig sitt slut så stoppades mätningen på handdatorn. 5. Accelerationen (lutningen på vinkelhastighet/tid mätningen) noterades från de erhållna mätvärderna i handdatorn. 6. Staven flyttades så att dess centrum blev cirka 6 cm från infästningen vid vinkelsensorn. Steg 2 till 5 upprepades. 7. Staven flyttades så att dess centrum blev 11 cm från infästningen vid vinkelsensorn. Steg 2 till 5 upprepades. 8. Staven flyttades så att dess centrum blev cirka 17 cm från infästningen vid vinkelsensorn. Steg 2 till 5 upprepades. 9. Stångens massa noterades. Sida 6 av 10

7 Resultat Resultat 1 Trådrullens radie: 0,0241(3) m Metallringens innerdiameter: 0,0536(3) m Metallringens ytterdiameter: 0,0764(3) m Metallringens massa: 467,16(0) g Vikten V1 s massa: 0,01994(0) kg Med hjälp av metallringens noterade dimensioner och massa kunde dess teoretiska tröghetsmoment beräknas med ekvation (9). Metallringens teoretiska tröghetsmoment: 0,00024(4) kgm^2. Datan från handdatorn samt de med ekvation (8) beräknade uppmätta tröghetsmomentet, I visas i tabell 1 nedan. Utan ring Med ring α (rad/s^2) 29,5(1) 7,85(10) I (kgm^2) 0,000171(12) 0,000612(12) Tabell 1. Genom att subtrahera det uppmätta tröghetsmomentet med ring med det uppmätta tröghetsmomentet utan ring så fås metallringens uppmätta tröghetsmoment. Metallringens uppmätta tröghetsmoment är: 0,00044(12) kgm^2. Sida 7 av 10

8 Resultat 2 Från experiment 1 vet vi att vikten V1 har massan 0,01994(0) kg och att trådrullens radie är 0,0241(3) m. Vikterna V2 hade vardera massan: 0,0751(0) kg. Längden på staven: 0,32(0) m. Vikt på stången: 0,054(10) kg Tröghetsmomentet för experiment 2 beror dels på det tröghetsmoment som stången ger upphov till och dels på det tröghetsmoment som vikterna ger upphov till. För att beräkna det teoretiska tröghetsmomentet, I teo så måste alltså stångens tröghetsmoment adderas med vikternas tröghetsmoment. Stångens tröghetsmoment beräknades med ekvation (11) och vikternas tröghetsmoment beräknades med ekvation (10). Resultaten för dessa redovisas i tabell 2. För att beräkna det experimentella tröghetsmomentet användes samma formel som i experiment 1, ekvation (8). Datan från handdatorn finns redovisat i tabell 2 nedan. Mätning Antal vikter På avstånd r (m) från centrum 0,07(0) 0,07(0) 0,15684(3) α (rad/s^2) 11,8(1) 5,89(10) 3,93(10) 1,96(10) I exp (kgm^2) 0,00041(12) 0,00081(12) (12) 0,00241(12) I teo (kgm^2) 0,00046(3) 0,00083(3) 0,0012(3) 0,00231(3) Tabell 2. Sida 8 av 10

9 Resultat 3 Från experiment vet vi att vikten V1 har massan 0,01994(0) kg och att trådrullens radie är 0,0241(3) m. Från experiment 2 vet vi att vikten på stången är 0,054(10) kg och att dess längd är 0,32(0) m. För att beräkna det teoretiska tröghetsmomentet, I teo, i experiment 3 så användes Steiner s sats, ekvation (12). Eftersom att det inte är några vikter på staven så användes ekvation (11) för att bestämma det ursprungliga tröghetsmomentet. Mätning Offset på centrum (m) 0 0,055(0) 0,11(0) 0,165(0) α (rad/s^2) 11,8(1) 9,82(10) 5,89(10) 3,93(10) I exp (kgm^2) 0,00041(12) 0,00049(12) 0,00081(12) 0,00121(12) I teo (kgm^2) 0,00046(3) 0,00062(3) 0,00111(3) 0,00193(3) Tabell 3. I figur 3 finns det experimentella bestämda tröghetsmomentet för mätning 2 till 4 plottat mot avståndet till centrum i kvadrat. Lutningen på grafen uppskattas till: 33,8(11) kg^ 1. Figur 3, diagram. Sida 9 av 10

10 Diskussion I experiment 2 kan vi konstatera att tröghetsmomentet för en punktmassa på avstånd R från rotationsaxeln är densamma som en tunn ring med radie R och samma massa. Eftersom att vi i båda fallen, enligt ekvation (10) måste summera all massa för att få ut tröghetsmomentet. Eftersom att vi har samma massa i de båda fallen så blir alltså summan ringens massa runt radien densamma som punktmassan. Enligt resultatet från experiment 2 och 3 kan man se att tröghetsmomentet beror på hur rotationspunkten och massorna är placerad i förhållande till masscentrumet. Vårt uppmätta värde för tröghetmomentet i experiment 1 är nästan dubbelt så stort som det uträknade värdet. Även de uppmätta värdena i experiment 3 skiljer sig mer än de borde från de teoretiskt uträknade värdena Detta beror sannolikt på dåliga dynamiska mätningar, vilket till exempel kan bero på att utrustningen inte var korrekt kalibrerad. De dynamiskt uppmätta värdena i experiment 2 stämmer väldigt bra överens med de teoretiskt uträknade värdena Även i experiment 3 så är de dynamiska värdena acceptabla med tanke på laborationens enkla uppställning. Slutsatser Sammanfattningsvis så kan vi dra slutsatsen att de teoretiska formlerna stämmer överens med dynamiskt uppmätta värden vid väl utförda mätningar. Referenser [1] REF: Sid 164, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. [2] REF: Sid 164, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. [3] REF: Sid 171, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. [4] REF: Sid 169, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. [5] REF: Sid 166, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. [6] REF: Sid 166, Nordling, Österman, Physics Handbook 8:6. Sida 10 av 10