Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Transkript

1 KOMIHÅG 8: Jämvikten kan rubbas: stjälpning, glidning Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen Föreläsning 9: PARTIKELKINEMATIK (rörelse) Kinematiska storheter: läge-hastighet-acceleration y 1 r! r m a v x Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v acceleration: a = d2 r dt 2 = r = v Dessutom införs Rörelsemängd: p = mv, dp Newtons 2:a lag: dt = F

2 Kinematik med vanliga (kartesiska) x, y, z-koordinater: Problem: Rörelsen i planet beskrivs av tidsfunktionerna x(t)= bt, y( t) = c " gt 2 / 2, där b, c och g är konstanter Bestäm hastigheten och accelerationen, samt vinkeln mellan dem Lösning: Först använder vi definitioner med hjälp av de kartesiska koordinaterna x och y ( ) = bt,c " gt 2 / 2 ( x ( t), y ( t) ) = ( b,"gt) v = ( 0,"g) r = x( t),y( t) v = ( ) a = Det är här fråga om en kaströrelse, ty accelerationen är konstant riktad neråt i (vertikal-) planet Vinkeln mellan acceleration och hastighet får man sedan ur skalärprodukten: v a = vacos" b 2 + ( gt) 2 # g#cos" g 2 t = dvs # & gt " = arccos% ( % $ b 2 + ( gt) 2 ( ' När är mellanliggande vinkel 90 grader? 2

3 Kinematiska samband: 3 Om bara accelerationen är känd, behöver man integrera för att få hela kinematiken, dvs även läge och hastighet Vi tittar på några olika fall: Konstant acceleration a Problem: Hur rör sig en partikel som har accelerationen a? Lösning: Vi väljer lämpliga x, y, z axlar så att a = ( 0,"g,0) Definitionen av accelerationen a : a = dv dt säger att hastigheten v är primitiv funktion till a Dvs v = a t + konst Konstantens värde måste vara hastighetens värde då t = 0 Vi skriver v = a t + v 0 Detta är en vektorekvation Hur ser den ut i komponentform? Slutsats: Om vi vet a måste vi också veta v 0 för att fullständigt veta hastigheten vid en godtycklig tidpunkt!! Om v är känd kan vi använda definitionen v = dr dt för att bestämma läget r Hastigheten är en primitiv funktion av hastigheten: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + konstant Konstantens värde är läget vid tidpunkten t = 0 Vi skriver: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + r 0 Jämför kaströrelse med a = ( 0,"g,0)!

4 Exempel: Kaströrelse på lutande plan 4 Problem: En partikel på ett lutande plan rör sig med accelerationsvektorn a ( t) och man vet hastighet och läge vid tiden t=0, v 0 respektive r 0 Bestäm den tid det tar innan nedslaget sträckan L längre ned i backen För vilken fart v 0 är detta möjligt? Lösning: Välj lutande koordinatsystem a = ( g /2," 3g /2,0), v 0 = (v 0 /2, 3v 0 /2,0), och rörelsen börjar i origo, Den tid luftfärden tar beräknas ur x-riktning: L = 1 " g % $ ' t # 2 1 & 2 v 0t => t g v 0t " 4 g L = 0 => t = " v 0 g + v 0 2 g g måste vara lika, så inses att v 0 = L Om man jämför med y-rörelsens tid, som Lg 2 För en fullständigt känd rörelse behövs antingen: ( ) är känd, eller att r t att v ( t) och r 0 är kända, eller att a ( t), v 0 och r 0 är kända

5 KOMIHÅG 9: Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kaströrelse, rak rörelse Föreläsning 10: Viskös friktion uppstår på grund av rörelse i vätska eller gas En 'bromsande' viskös friktion som ökar med hastigheten ges av F c = "cv Konstanten c beror av kontaktytans form och typ av vätska (gas) bland annat Exempel: Vid 'fritt' fall uppnås en gränshastighet v gräns = mg c Luftmotståndet ökar tills en jämvikt inställer sig! Fallrörelse med viskös friktion: Exampel: En partikel med massa m släpps (v=0) i vätska Hur kommer farten att ändras med tiden? Välj koordinataxel nedåt Newtons 2:a lag säger: ma = mg " cv eller uttryckt med hastighetskomponenten v: v = g " m c v Lös v genom att multiplicera denna ekvation med e ct /m Detta ger först: v e ct /m + m c vect /m = ge ct /m Sedan d dt ct /m ( ve ) = dt d " $ # mg c ect /m Konstanten måste vara C = " mg c v blir noll då t=0 Slutligen v(t) = mg c % ', som ger ve ct /m = mg & c ect /m + C 5 så att hastighetskomponenten /m ( 1" e"ct )

6 6 Cirkelrörelser- liformig och allmän v r a, Exempel: Likformig cirkelrörelse Låt nu rörelsen i planet beskrivas av de polära koordinaterna r (konstant) och " För likformig cirkelrörelse är "( t) = #t, där " är konstant Bestäm för denna rörelse läge, hastighet och acceleration och vinklarna mellan dessa Lösning: Vi kan nu beskriva läge-hastighet-acceleration som vektorer r = rcos" ( t),rsin" ( t) ( ) ( ) = r cos#t,sin#t ( ) = #r( $sin#t,cos#t) v = $#rsin#t,#rcos#t a = $r# 2 ( cos#t,sin#t) = $# 2 r Läge och hastighet är vinkelräta, ty ( ) = 0 r v = "r 2 #cos"tsin"t + sin"tcos"t medan läge och acceleration tydligen är anti-parallella Denna rörelse kallas likformig cirkelrörelse

7 7 Exempel: Allmän cirkelrörelse I detta fall är inte farten längre konstant Uttrycket för hastighetsvektorn blir: v = r" e " eftersom r är noll All hastighet är transversell och i den riktningen är komponenten v = r" Accelerationen förenklas till: a = ("r# 2 )e r + ( r # )e # I detta uttryck kan vi byta ut " mot v med hjälp av likheten v = r" # Då får vi a = " v 2 & % $ r ( e r + v e ) ' Naturliga riktningar: Tangentriktning och normalriktning Byter vi sedan ut riktningarna (radiell, transversell) till de naturliga (tangentiell, normal) riktningarna med e r "#e n och e " #e t, så får vi: a = v 2 r e n + v e t Detta uttryck för accelerationen är mycket användbart

8 8

9 KOMIHÅG 10: Fallrörelse med friktion Likformig och allmän cirkelrörelse Radiell och transversell riktning 9 Föreläsning 11: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet radiell riktning ut från en z-axel till planet representeras av enhetsvektorn e r : e r = ( cos",sin",0) transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara dess vinkelkoordinat " i planet ändras Lämplig enhetsvektor fås genom att studera förändringsvektorn de r / d" ( ) e " = de r d" = #sin",cos",0 som är en enhetsvektor Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt system: -Läget: r = re r + ze z -Hastighet: v = r = r e r + re r + z e z = r e r + r" de r d" + z e z v = r e r + r" e " + z e z -Acceleration: a = v = r e r + r " e " + r " e " + r " e " + r" e " + z e z Men den näst sista termen kan inte stå som den är Varför? En extra räkning ger: e " = " de " d" = # " e r, så att slutligen: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z

10 10 Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en likformig cirkelrörelse med radie R Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 Avståndet till centrum och farten är konstanta, dvs v = r e r + r" e " = R" e " Farten kan beskrivas med v = R" Enhetsvektorn e " pekar i tangentens riktning Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en del termer Alltså a = " v 2 R e, där v = R" r Accelerationen är riktad in mot banans centrum Vi beräknar storleken av accelerationen: a = v 2 R

11 11

12 -Naturligt koordinatsystem tangent- och normalriktning Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg En koordinat (sträckan s) 12 Två naturliga riktningar i planet: tangentriktning och normalriktning - Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana tangentriktningen och sträckan längs spåret Hastighetens riktningsvektor: e t = v v, där v = v = s Streckan längs spåret kan definieras ur fartens tidsberoende: Som en följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas fullständigt i det naturliga systemet: v = s e t = ve t Under ett kort tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum av en tangerande cirkel till banan Inför en tangerande cirkel

13 13 med radie ", så att z = 0 definierar cirkelns plan Hastigheten är då tangent till cirkelbågen Vi har i detta system v = " # e #, så att v = " # I samma system beskrivs accelerationen som a = ( " # " $ 2 )e r + (" $ + 2 " $ )e $, med " = " = 0, dvs a = "# $ 2 e r + # $ e $ Byter vi ut cylinderriktningarna med de naturliga riktningarna dvs e " = e t och e r = "e n, samt använder v = "#, och v = " #, får vi Accelerationen i det naturliga systemet: a = v e t + v 2 " e n