Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

Transkript

1 Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik 1 Problemtentamen En homogen mast med massan M och längden 10a hålls stående i vertikalt läge med hjälp av de två lätta vajrarna längs AB respektive AC I fotändan O sitter masten fast i en glatt kulled Bestäm storleken av vajerkrafterna på masten om den i D belastas av kraften P (motriktad y-axelns riktning) enligt figurens koordinatsystem 3 4 En framtidsbil med massan m befinner sig i en kurva i ett horisontalplan (z=0) Bilens kinematikmätare visar hastigheten v = ( 4,3,0) och accelerationen a = (",1,0 )a 0 i det fixa koordinatsystemet i figuren Bestäm bilens fartändring per tid, samt bilbanans krökningsradie i detta ögonblick Symbolerna och a 0 är givna enheter för hastighet och acceleration Två satellitbanor tangerar varandra i läget A (se figuren) Man önskar manövrera en satellit med massan m som befinner sig i den elliptiska banan så att satelliten med minsta möjliga energiändring kan frigöra sig från jorden (i en parabolisk bana) Manövern beräknas ta mycket kort tid i läget A Bestäm den hastighetsökning som krävs i manövern? Tyngdaccelerationen g och jordradien R är kända En vagn med massa M befinner sig i vila inklämd i jämviktsläget mellan två fjädrar, se figurens information Plötsligt ges vagnen farten åt höger så att den påbörjar en svängningsrörelse Bestäm svängningens amplitud och period

2 SG1130 Mekanik, baskurs P Teoritentamen 5 a) Vilka är mekanikens tre grundstorheter? b) Betrakta en kraft som angriper i punkten r A Bevisa att kraftmomentet av kraften med avseende på en punkt r P inte ändras, om kraften förflyttas från r A längs sin verkningslinje till den nya angreppspunkten r B c) Formulera ewtons 3 lagar för partiklar 6 a) Gör en dimensionsanalys av två storheter: Kraftmomentet och Arbetet b) Figuren visar en cylinder och en planka i en jämviktssituation Gör en analys av kraftverkan på plankan! c) Definiera ett kraftsystems totala kraftmoment och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment" 7 a) Härled momentlagen b) Härled lagen om kraftens effekt c) Formulera Keplers lagar 8 a) Antag att ett mekaniskt system satisfierar svängningsekvationen: x + k x M + 4k x = a, där k, M, a och b är konstanter Avgör dämpningstypen M (odämpat, kritiskt, starkt, svagt) för systemet, samt ange jämviktsläget! (p) b) ämn två saker som kännetecknar en resonans? /KET

3 Problemlösningar SG1130 Mekanik, baskurs P Bestäm beloppen av vajerkrafterna vid jämvikt Lösning: Beskriv viktiga punkter och krafter som vektorer: r A = ( 0,0,10)a, r B = ( 4,4,)a, r C = ("5,0,0)a, samt krafterna F 1 = ( 0,"1,0 )P, S 1 = S 1 e AB, S = S e AC, med riktningsvektorer e AB = ( 1,1," ), e 6 AC = " ( 1,0, ) 5 Ledkraften R 0 behöver inte användas i denna lösning Momentjämvikt för masten m a p origo kräver: r A " S 1 + r A " S + 1 r " F = 0 A 1 dvs " as "1 0 " as "1 0 ap = 0, dvs ("10,10,0) as ( 0,"10,0) as 5 + ( 5,0,0 )ap = ( 0,0,0) Första komponentekvationen ger 5aP =10 as 1 6 " S = P 3 1 Den andra komponentekvationen ger 10 as 5 =10 as 1 6 " S = P 5 Bestäm bilens fartändringstakt, samt bilbanans krökningsradie om hastighet och acceleration är känd i ett visst ögonblick! Lösning: Med naturliga komponenter har vektorerna uppdelningen a = v e t + v " e n samt v = ve t Här ingår fartändring per tid samt krökningsradie i accelerationsuttrycket Skalärprodukten a v = v v (1) samt kryssproduktens belopp a " v = v 3 () kan nu användas för att bestämma v och " De givna vektorerna v = 4,3,0 är sådana att v = = 5 (3), # ( ) och accelerationen a = (",1,0 )a 0

4 a v = "8a 0 + 3a 0 = "5a 0 (4) och a " v = SG1130 Mekanik, baskurs P # a 0 = ( 00,#10)a 0 =10a 0 (5) Ekvationerna (1), (3) och (4) ger v = "a 0 Ekvationerna (), (3) och (5) ger 10a 0 = 53 3 " " " = 5v 0 a Lösning: Vi bestämmer hastighetsändring (bibehållen riktning) för banbytet Ellipsbanans storaxel bestämmer totala mekaniska energin i den banan Satelliten har då energin E e = " mgr 5R, som förenklas till E e = " mgr Farten i läget A fås ur 5 kinetiska energin där Vi får ur mekaniska energin 1 mv e = " mgr + mgr = 3mgR, eftersom 5 10 potentiella energin i A är V A = " mgr Alltså har vi från början hastigheten v e = 3gR 5 Den minsta energi som behövs för att frigöra satelliten är E p = 0 och den (paraboliska) banan leder ut mot oändligheten Den energin innebär att kinetiska energin i A är kompenserar för potentiella energin så att summan blir noll, dvs 1 mv p = mgr " v p = gr $ Hastighetsökningen (tangentiellt) blir "v = v p #v e = gr 1# 3 ' %& 5 () (svar) 4 Inför origo jämviktsläget, totalkraften är noll x=0 Bara fjäderkrafter F k = "3kx " kx i rörelseriktningen ewtons :a lag: M x = "4kx

5 Svängningsekvationen: x + 4k M x = 0 aturliga vinkelfrekvensen för svängningen: " n = k M Svängningsperioden: " n = # M k SG1130 Mekanik, baskurs P Amplituden beror av detaljer i rörelsen, som i sin tur bestäms av begynnelsevillkor: I detta fall vet vi att läget börjar i jämviktsläget med farten åt höger Energiprincipen (ingen dämpning) säger i detta fall att energin i jämviktsläget är lika stor som energin i vändlägena ( x = ±A) som definierar amplituden, dvs M v = 0+ 1 ( 4k)A " A = M k /KET

6 Teoridelen SG1130 Mekanik, baskurs P a) Längd (läge), massa, tid b) Definitionen av kraftmoment ger M P = r A " r P Skillnaden blir M P " M P # = r A ( ) # F respektive M P " = ( r B # r P ) $ F ( ) $ F Om r A och r B ligger på samma verkningslinje som kraften så är vektorn r A parallell med kraften F Kryssprodukten för två parallella vektorer blir nollvektorn Alltså M P = M P " c) 1: En partikel förblir i rörelse med konstant hastighet om ingen kraft verkar på den : För en partikel gäller att ma = F, där partikelns massa är m, dess acceleration a och kraften som verkar är F 3: Krafter uppstår i par så att kraftsumman är noll 6 a) dim(m 0 )=dim(r " F )= L = L ML T " =M L T " dim(u 0"1 )=dim( T )=dim( mv b) ) =ML T " Samma! c) Definitionen av totalt kraftmoment med avseende på en godtycklig momentpunkt A: M A = $ r j " r A, för krafter F j angripande i r j [ ] # F j Likaså för en annan momentpunkt B: M B = $ Skillnaden blir i detta fall: M B " M A = $ r j " r j " r A = $ r A = r A $ [ ] # F j [ ( )] # F j [ ] # F j [ r j ] # F j Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F = " F j Vi får sambandet: M B = M A + [ r A ] # F

7 SG1130 Mekanik, baskurs P a) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemängdsmoment H O = r " p Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella ewtons :a lag: p = F medför att r " p = r " F Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför kraftmomentet enligt definitionen M O = r " F b) Härledning: ewton : m v = F Båda leden multipliceras scalärt med hastigheten v Man får då: m v v = F v Enligt definition är HL kraftens effekt P VL är tidsderivatan av kinetiska energin, ty d mv def regel " % } $ ' = d mv v dt # & dt ( ) = } m ( v v + v v regel } ) = m ( v v ) = m v v def } Dvs T mv = P, där T = c) K1) Varje planet rör sig i en plan ellipsbana med solen i ena fokus K) Ortsvektorn från solen till en planet sveper över lika stora ytor under varje tidsintervall av samma längd K3) Varje planets omloppstid T (period) runt solen beror av ellipsens (halva) storaxel a så att T = ka 3, där k är samma för alla planeter 8 a) Om man jämför med x + "# n x +# n x = a, så ser man att dämpningsförhållandet är " = 1, dvs ett svagt dämpat system Jämviktsläget är x = am 4k (p) b) Vid resonans kan (respons)amplituden bli mycket stor och fasen i svängningen riskerar att plötsligt kastas om till motfas relativt den yttre fasen (och vise versa)