Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Transkript

1 Tentamen i Mekanik SG110, m. k OPEN m fl. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas! KTH Mekanik Problemtentamen 1. En boll med massa m skjuts ut ur ett hål så att den hamnar i ett annat hål på avståndet L. Bollen har i kaströrelsen en konstant horisontell hastighetskomponent v H. a) Bestäm maxhöjden i bollens bana. (p) b) Bestäm banans krökningsradie vid maxhöjden. Försumma luftmotståndet. Tyngdaccelerationen g är känd.. Antag att kollisionen mellan bussen och bilen är rak och att båda fordonen har samma ursprungliga fart. M>m. a) Bestäm hastigheten bilen får efter en fullständigt oelastisk kollision. (p) b) Bestäm bilens hastighet efter en fullständigt elastisk kollision. 3. En satellit med massan m befinner sig i en elliptisk bana kring jorden. Viktiga avstånd anges i jordradier R i figuren. Bestäm satellitens farter i de två angivna lägena på ellipsens stora symmetriaxel, samt i de två lägena på lilla symmetriaxeln. Tyngdaccelerationen g är känd. (3p) 4. En vagn med massa M är fritt rörlig på ett horisontellt underlag. Vagnen är fäst i en horisontell fjäder med fjäderkonstant k och i en horisontell dämpare med dämpningskonstant c. Härled svängningsekvationen för läget x, vars origo innebär att fjädern är kraftlös. För vilket värde av c blir vagnen kritiskt dämpad? (3p)

2 Open,Bio,Med-SG110 Mekanik Teoritentamen 5. a) Förklara det som menas med Newtons 3:e lag för ett fall där en låda står stilla på marken. b) Figuren visar en partikel med massan m och dess plana bana i sin rörelse åt nedåt i figuren. Planet beskrivs av figurens x,y-axlar. Rita ut riktningsvektorer för partikeln i dess rörelse: för radiell och transversell riktning, samt för tangentiell och normalriktning. c) Förklara vad följande kinematiska uttryck beskriver (med kursens beteckningar): i) r, ii) x, iii) r " r#, iv) v "? 6. a) Härled momentlagen för en partikel. Definiera berörda storheter. b) Härled lagen om kraftens arbete (och kinetisk energi). Definiera ingående storheter. 7. a) Härled potentiella energin för gravitationskraften F = " mgm e r på en planet, där r är avståndet till origo (solen). (p) b) För satellitrörelse i plana elliptiska banor kring jorden är dubbla sectorhastigheten h konstant. Visa att detta påstående innebär att rörelsens transversella acceleration försvinner. r (p) 8. a) Bestäm konstanten A så att svängningsrörelsen x(t) = Asin"t satisfierar svängningsekvationen x + " n x = bsin"t. t är den variabla tiden och ", " n samt b är konstanter. b) Villken/villka av ekvationerna i)...v) är svängningsekvationer i kursen? Ange i så fall vilken/villka svängningstyper som avses. i) x + " n x = bsin"t, ii) x "# n x +# n x = 0, iii) x +" n x +" n x = g, iv) x " # n x +# n x = 0, v) x + " n x #" n x = g. b, g, samt ", " n är konstanter och t är den variabla tiden. (p) /Thylwe

3 Problemlösningar Open,Bio,Med-SG110 Mekanik Lösning: Inför horisontell x-axel och vertikal y-axel med origo i vänster hål (se fig). Hatighetskomponenter i origo är införda också. I banan verkar bara tyngdkraften mg nedåt. a) Ur N med begynnelsevillkor fås läget: " m x = 0 => x (t) = v H och x(t) = v H t. Byt variabel til x: t = x (1) v H N med begynnelsevillkor ger också " m y = #mg => y(t) = "g t + v V t => y = "g x v + v x V () H v H Vertikal hastighetskomponent v V i origo för bollen bestäms ur (): y(l) = 0=> # v V " g L & % ( L = 0 => v $ v H ' v V = g L. Höjden fås då x=l/ (symmetri i banan) ur (): H v H h = "g L 8v + # g L & % ( L = g L H $ v H ' v H 8v. H b) På maxhöjden är tyngdaccelerationen i banans normalriktning och farten är horisontell. Vi får normalaccelerationen g = v H ", där " är krökningsradien. Alltså " = v H g Lösning: a) På grund av att kraftpåverkan mellan bil och buss är ömsesidig ändras inte totala rörelsemängden (stötlagen). Fullständigt oelastisk stöt betyder att fordonen fastnar i varandra. Positiv hastighet åt höger i figuren. Stötlagen ger då före: efter: " mv # Mv = (m + M)v 1, dvs sluthastigheten blir v 1 = " M " m v, dvs åt vänster i figuren. M + m b) Fullständigt elastisk stöt innebär att relativa farten bevaras med ombytt tecken. Stötlagen ger då med före: efter: mv " Mv = mv 1 + Mv, (total rörelsemängd bevaras) v = v " v 1 (relativ fart) dvs mv " Mv = (m + M)v 1 + Mv. Sluthastigheten blir v 1 = " 3M " m v, dvs åt vänster i figuren. M + m

4 Open,Bio,Med-SG110 Mekanik Lösning: För rörelsen i figurens ellipsbana med storaxel 8R krävs enligt banenergiformeln (storaxeln bestämmer helt totala energin) den totala energin E = " mgr 8R = " mgr (1). 8 De fyra lägena i banan har olika potentiella energier. De två på storaxeln har potentiella energier: (närmast jorden) V s1 = " mgr 3R = " mgr och (längst bort) V 3 s = " mgr 5R = " mgr 5. Dessa lägen ger farterna : (närmast) mv = E "V => v s1 = 5gR 1, respektive v s = 3gR 0. De två på lillaxeln har lika potentiella energier: Med hjälp av ellipsens geometri är avstånden 4R, så att V l1 = V l = " mgr 4R = " mgr 4. Dessa lägen ger farterna : mv = E "V => v l1 = v l = gr En vagn med massan M påverkas förutom en fjäder av en dämpande kraft med kraftkonstanten c. Fjädern har fjäderkons-tanten k. Bestäm svängningsekvationen för vagnens rörelse! För vilket värden av c blir vagnen kritiskt dämpad? Lösning: Bara två krafter i vagnens rörelseriktning: F = "kx " c x. Newtons :a lag: M x = "kx " c x Svängningsekvationen: x + c M x + k M x = 0 Naturliga vinkelfrekvensen för svängningen läses av (enligt svängningsteorin): " n = k M. (*) Kritisk dämpning inträffar då dämpningsförhållandet uppfyller " =1, där enligt teorin: "# n = c M. (**) Om ekvationerna (*) och (**) kombineras fås för c: c = "# n M, dvs med " =1: c = km

5 Teoridelen Open,Bio,Med-SG110 Mekanik a) Alla krafter uppstår vardera i lika men motriktade par så att parets kraftsumma är noll. Här är ett möjligt exempel: b) c) i) radiell hastighetskomponent, ii) hastighetskomponent i fix x-riktning, iii) radiell accelerationskomponent, iv) accelerationskomponent i normalriktningen. 6a) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemändsmoment H O = r " p. Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella. Newtons :a lag: p = F medför att r " p = r " F. Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför kraftmomentet enligt definitionen M O = r " F. b) Härledning av arbetslagen: Newton : m v = F. Båda leden multipliceras skalärt med hastigheten v. Man får då: m v v = F v (1). def } mv Enligt definition är VL tidsderivatan av kinetiska energin T =, ty d mv def regel regel " % } d " mv v % } m $ ' = $ ' = v dt # & dt # & } ( v + v v m ) = ( v v )= m v v. Tidsintegrering av (1) ger mv (t 1 ) " mv (t 0 ) t 1 # = F v dt, som med v dt = dr och byte av variabel kan skrivas enkelt som mv 1 " mv 0 = # F dr. HL definieras som kraftens uträttade arbete U 0"1. Ännu enklare: T 1 " T 0 = U 0#1, där T är symbolen för kinetiska energin (rörelseenergin). t 0 r 1 r 0

6 Open,Bio,Med-SG110 Mekanik a) Enligt definitionen av potentiell energi: r # V ( r ) = " " mgm & r ) % e $ r ( dr = mgm ) dr + C ' 1 = " mgm + C r. fix betyder en fix r fix r fix referenspunkt i rummet. Man väljer alltid den senare konstanten C så att den är noll då avståndet r = +". Potentiella energin beror endast på avståndet r (och inte på riktning). b) Definition: Dubbla sektorhastigheten: h = r ". Transversell acceleration: a " = r " + r". Derivering av h ger 0 = r r " + r " = r( r " + r " ). Vi ser att den transversella accelerationen är 0, ty r är inte a) Rörelsen x(t) = Asin"t ska satisfiera svängningsekvationen x + " n x = bsin"t. Tidsderiveringar av rörelsen ger x (t) = "# Asin#t. Insättning av detta i svängningsekvationen ger " n #" A vara A = b " n #". ( )Asin"t = bsin"t. Om detta alltid ska gälla måste b) i) Påtvingad odämpad svängning, iii) är en svagt dämpad svängning. Övriga alternativ är inga svängningsekvationer i kursen.