=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

Transkript

1 1 Föreläsning 7: Fiktiva (tröghets-)krafter (kap A) Komihåg 6: Absolut och relativ rörelse för en partikel - hastighetssamband: v abs = v O' + # r rel + v rel =v sp - accelerationssamband, Coriolis teorem a abs = a O' + # r rel + # ( # r rel ) # v 43 rel + a rel a sp a cor Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs gäller i ett inertialsystem Newtons 2:a lag: ma abs ( ) ma sp + ma cor + ma rel = F Om rörelsen (accelerationen) observeras i det relativa referenssystemet (där referensriktningarna upplevs som fixa) blir sambandet mellan rörelse och kraft: ma rel = Fma 12 3 ma sp 12 3, cor där F är den fysikaliska kraften och den extra kraft som tillkommmer F fikt + är en fiktiv (skenbar) kraft, även kallad tröghetskraft

2 2 Tröghetskrafter (krafter som inte finns) Systempunktskraft: #ma sp =m a B + # $ r rel + # $ # $ r rel Corioliskraft: #ma cor =m( 2# $ v rel ) ( ( )) Obs: är det rörliga koordinatsystemets vinkelhastighet relativt inertialsystemet Rörelse i referenssystem med fix rotationsaxel Antag skivans referenspunkt är på en fix axel med a B = 0 och låt = e z, = e z Inför cylinderkomponenter i skivans medföljande koordinatsystem, där vinkeln räknas mellan e r och skivans medföljande e x -riktning: Läget skrivs: r rel = re r + ze z, och hastigheten skrivs v rel = r e r + r e + z e z Systempunktskraftens delar: Inför cylinderriktningar

3 3 ( ) = m ( ) = m#e z $ (#re % )= m 2 re r (= m 2 r # ) m# $ r rel = m# e z $ re r + ze z # re % m# $ # $ r rel Corioliskraften blir med v rel = r e r + r e + z e z m( 2# $ v rel ) = m2#e z $ r e r + r % e + z e % z ( ) = 2m# r e $ + 2m#r$ e r Riktningen kan tolkas som åt höger i skivans plan jämfört med rörelsens framåtriktning Vertikala delen av rörelsen bidrar ej till Corioliskraften Lagar i det rörliga referenssystemet Man kan utgå ifrån kraftekvationen baserad på det rörliga referenssystemet, där krafterna är summan av de fysikaliska och de fiktiva krafterna Lagar för arbete, impuls och rörelsemängdsmoment följer sedan efter införande av de relativa storheterna: -Rörelsemängd: p rel = mv rel, -Rörelsemängdsmoment: H O,rel = r rel p rel -Kinetisk energi: T rel = 1 2 mv 2 rel -Effekt: P rel v rel t -Arbete: 2 U rel = P rel dt -Kraftmoment: M O,rel = r rel F rel t 1 Lagarna kommer att se ut som vanliga lagar men med ny innebörd av rörelse och kraft Rörelse relativt jorden Betrakta en partikel som vilar på jordytan På grund av jordens rotation får vi bilden nedan

4 4 I det roterande systemet fås systempunktskraften: = m# $ (# $ r rel ) = mrcos%# 2 e x Denna kraft modifierar lodlinjen för en fritt hängande tyngd! nordpol z x $ # $ z v rel ekvator # R x Betrakta en partikel som dessutom rör sig relativt jordens yta Om den relativa hastigheten och jordens vinkelhastighet delas upp i ett medföljande system enligt figuren kan vi räkna ut även Corioliskraften: e x % e y % e z % = 2m# $ v rel = 2m# cos& 0 # sin& v x' v y' 0

5 5 [ ] = 2m v y' sin#e x $ % v x' sin#e y $ % v y' cos#e z $ e x =nordlig riktning e y' = västlig riktning e z' = jordytans normalriktning Förklara skenbar avvikelse åt höger relativt rörelseriktningen Förklara rörelse kring lågtryckscentrum

6 6 Exempel : Formulera kraftekvationen för en partikel i en cirkelformad bana på en roterande dörr med konstant vinkelhastighet kring fix z-axel z $ O R # h d O x Lösning: Kraftekvationen blir ma rel, där a rel = v rel e t + v 2 rel R e med v = R n rel, v rel = R, samt F rel = F + + Tröghetskrafterna kan ges explicita uttryck: = 2mR# sin#e y och = m(d + Rcos)# 2 e x { ($ sine t $cose n ) För godtycklig fysikalisk kraft blir komponentekvationerna: m v rel = F t msin#(d + Rcos#)$ 2 m v 2 rel R = F 2 n mcos#(d + Rcos#)$ 0 = F y + 2mR # sin#

7 7 Exempel A3***: En puck glider friktionsfritt med farten V 0 på en roterande is, från centrum och utåt Jämför absolut och relativ beskrivning av kraftverkan i rörelseplanet Lösning: Pucken påverkas inte av några faktiska krafter i planet (finns dock normalkrafter vinkelrät mot planet) Vi har i det roterande systemet: ma rel F + F fikt med den totala fiktiva kraften: F fikt = + Systempunktskraft (centrifugalkraft): #ma sp =m# $ (# $ r rel ), Corioliskraft: #ma cor =2m# $ v rel Jämför vi med den ursprungliga kraftekvationen, som blir F 0, ser vi att den relativa analysen inte är användbar i detta Anmärkning: I detta fall är den absoluta accelerationen noll så att a rel = a sp a Cor