Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Transkript

1 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C1102 Mekanik mk, kurs E1 och Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1.a. En partikel med massan m släpps från vila i punkten A på ett strävt lutande plan med lutningsvinkeln! och slungas uppåt planet av det elastiska bandet som är fäst i de två pinnarna på planet på avståndet 2a från varandra. Bestäm partikelns hastighet i punkten B mittemellan de två pinnarna då bandet är horisontellt och ospänt. Bandets naturliga längd är 2a och dess elastiska konstant är k. Friktionstalet mellan partikeln och planet är µ. (2p) 1.b. Hur långt upp på planet kommer partikeln att glida innan den stannar/vänder? (1p) 2. En partikel med massan m sitter fäst i änden på en lätt, tunn, stång med längden l som är friktionsfritt ledad så att vinkeln! kan variera. Konstruktionen roterar runt en vertikal axel enligt bilden med rotationshastigheten. Bestäm vinkeln! om denna är konstant. (3p) 3. Kajsa och Kalle i Volvon från KS1 har nu köpt ny bil: en Toyota Prius. Denna bil, som ju är en elhybrid, har en mätare som visar effekten applicerad på hjulen i realtid. Kalle roar sig därför med att under alla accelerationer i förväg räkna ut vilken konstanta effekt som behövs för att nå en viss hastighet på en viss tid eller sträcka. Efter att Kalle misslyckats med kartläsningen har han placerats vid ratten och Kajsa tagit över kartan. De ska nu ut på motorvägen igen och ska precis åka ut på motorvägen via en påfart med radien # m som vrider sig ett kvarts varv åt höger innan de kommer ut på motorvägen. Kalle står still vid början av denna motorvägspåfart och ska ge gas. Vilken konstanta effekt P måste han släppa loss genom att trycka ner gaspedalen lagom mycket för att komma upp i hastigheten v vid avfartens slut? Bilen, Kalle och Kajsa väger tillsammans m kg. Bortse från luftmotståndet vid denna beräkning. (3p) 4. En partikel med massan m glider friktionsfritt fram och tillbaka under inverkan av tyngdkraften i ett spår format som en cirkelbåge med radien # enligt figuren. Utnyttja att sin! för små vinklar och bestäm perioden för svängningar med liten amplitud. (3p) Lycka till! Fredrik Lösningar kommer att finnas på kurshemsidan strax efter skrivtidens slut.

2 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten i naturliga komponenter. (1p) b) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (2p) 6. a) Definiera arbetet U 1-2 som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r 2. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a) Definiera vad som menas med en konservativ kraft. (1p) b) Härled uttrycket för potentiella energin för den allmänna gravitationskraften. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik

3 Lösningar till Tentamen i kursen 5C1102, Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Uppgift 1.a. C l C l x B b F el A mg N F fr B b A mg F el F fr x Lagen om kinetiska energin ger: U A B = T B T A T A = mv2 A 2, T B = mv2 B 2 Arbetet ges av: där v B är den sökta hastigheten och v A =0. U A B = VA el VB el + VA tk VB tk + U fr A B vilket ger U A B = k(2a 2p a 2 + b 2 ) 2 2 mgb sin bµn = Till slut: =2k(2a 2 + b 2 2a p a 2 + b 2 ) mgb sin bµmg cos = =2k(2a 2 + b 2 2a p a 2 + b 2 ) mgb cos (µ + tan ). mv 2 B 2 = U A B ) v B = s 4k m (2a2 + b 2 2a p a 2 + b 2 ) 2gb cos (µ + tan )

4 Uppgift 1.b. Lagen om kinetiska energin ger: U B C = T C T B T C = mv2 C 2, T B = mv2 B där v B är berknad i 1.a. och v C =0. 2 Arbetet ges av: U A B = VB tk VC tk + U fr B C vilket ger Till slut: U B C = mgl sin lµn = = mgl cos (µ + tan ). mv2 B 2 = U B C ) l = 2k(2a2 + b 2 2a p a 2 + b 2 ) 2gb cos (µ + tan ) mg cos(µ + tan )

5 Uppgift 2. z r S mg Inför cylindriska koordinater enligt figuren och ställ upp kraftekvationen i r- och z-led: e r : m( r r µ 2 )= S sin e z : m z = S cos mg där µ =!, r = l sin samt r = 0 och z = 0. Detta ger: ml! 2 cos mg = 0 och = cos 1 q om!> g/l. För mindre! är = 0 det stabila läget. Svaret ovan räcker dock för full poäng. Uppgift 3. g l! 2 v B r A Inför cylindriska koordinater enligt figuren. Radien r är konstant och lika med ½, samt v = ½ µe µ. Kraften som motorn ger upphov till r riktad rakt

6 fram, dvs F = F e µ. Betrakta bilens e ekt: P = F v = F e µ ½ µe µ = F½ µ ) ma µ = P ½ µ. Vi har också(eftersom r är konstant: och får: Multiplicera med dµ: a µ = ½ µ m½ µ = P ½ µ ) µ = µdµ = d µ dµ dµ = dt dt d µ = µd µ ) µd µ = P m½ 2 µ. P m½ 2 µ dµ ) m½2 µ2 d µ = P dµ. Integrera detta från A till B (v A = 0 ger µ A = 0, v B = v ger µ B = v/½ samt µ A = 0 och µ B = ¼/2): Z v/½ m½ 2 µ2 d µ Z ¼/2 = P dµ ) mv ½ = P ¼ 2. Slutligen: Uppgift 4. P = 2mv3 3½¼. r N mg Inför cylinderkoordinater enligt figuren. Kraftekvationen i µ-led ger (r är konstant): e µ : m½ µ = mg sin µ.

7 Approximationen sin µ ¼ µ ger: ½ µ + gµ =0. Detta är en svängningsekvation med! n = q g och perioden ½ = 2¼ s ½ ) =2¼! n g.

8 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C1102 Mekanik mk, kurs E1 och Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer. Ange tydligt vilka lagar som används. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1. Det är den 9 juli. Det står 1-1 med fyra minuter kvar i finalen mellan Brasilien och Sverige. Sverige får en frispark på avståndet L från närmsta stolpen. Ljungberg torkar av bollen och lägger den på plats. Den brasilianska muren ställer upp på avståndet l från bollen (se figur). Då ringer din mobil. Det är Lagerbäck: Hur ska han skjuta för att sätta den rakt i närmsta krysset?. Vad förbundskaptenen menar är: vilken fart v 0 och vinkel! mot horisontalplanet ska bollen ha för att gå i en (uppifrån sett) rak bana som går precis över muren (som får höjden h när de hoppar) och sen in under ribban vars undersida har höjden H? Inför ett lämpligt koordinatsystem och bestäm v 0 och!. (Fotbollsreglerna ger att L>16,5 m, l=9,15 m och H=2,44 m. Ett rimligt värde på h torde vara c:a 2,3 m.) Tyngdaccelerationen är g. Bortse från luftmotståndet. 2. En fyrhjulsdriven bil kör med konstant hastighet i en cirkulär bana med radien r. Kraften som uppstår pga bilens luftmotstånd (och som motorn arbetar mot) är kv 2 där k är en konstant som beror på bilens form och storlek. Vilken är den högsta fart bilen kan ha utan att slira om friktionen mellan hjulen och marken är µ och bilens massa är m. Tyngdaccelerationen är g.

9 3. Ett gäng glada badare står på en flotte och gungar. Låt oss för enkelhetens skull kalla den axel vilken flotten gungar runt för z. Bestäm den frekvens flotten gungar med om det moment som uppstår kring z-axeln när flotten vridit sig från horisontalen är M z =-k och flottens tröghetsmoment (inklusive gänget) är I z. (Minns att rörelsemängdsmomentets z-komponent H z = I z # där # är tidsderivatan av och räknas positiv motsols.) Bortse i en första approximation från dämpningen. 4. Vid en bungyjump-anläggning används en elastisk lina med elasticitetskonstant k. Linans obelastade längd anpassas efter varje hoppares vikt så att hopparen precis snuddar vid vattenytan som ligger h under plattformen från vilken hoppen sker. Bestäm hur mycket lina som ska matas ut för en hoppare med massan m. Tyngdaccelerationen är g. Lycka till! Fredrik Lösningar kommer att finnas på kurshemsidan strax efter skrivtidens slut.

10 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten i naturliga komponenter. (1p) b) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (2p) 6. a) Definiera arbetet U 1-2 som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r 2. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a) Definiera vad som menas med en konservativ kraft. (1p) b) Härled uttrycket för potentiella energin för en fjäderkraft. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik

11 Lösningar till Tentamen i kursen 5C1102, Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Uppgift 1 y önskad bollbana A B v 0 h H x l L Newtons andra lag, kraftekvationen, projicerad på x- och y-riktningarna ger: e x : mẍ =0 e y : mÿ = g vilket tillsammans med begynnelsevillkoren x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = v 0 cos samt y(t = 0) = 0, ẏ(t = 0) = v 0 sin ger: x =(v 0 cos )t y =(v 0 sin )t gt2 2 De två efterfrågade storheterna v 0 och bestäms av de geometriska villkoren: x(t A )=l Detta ger: x(t B )=L y(t A )=h y(t B )=H t A = l v 0 cos

12 och t B = L v 0 cos l h = v 0 sin v 0 cos g l 2 2v0 2 cos 2 L H = v 0 sin v 0 cos g L 2 2v0 2 cos 2. De två sista ekvationerna kan skrivas som: L 2 h = L2 l sin cos gl2 L 2 2v 2 0 cos 2 l 2 H = l2 L sin cos gl2 l 2 2v 2 0 cos 2. Di erensen mellan de två ekvationerna ovan ger: L 2 h l 2 H =(L 2 l l 2 L) tan vilket ger: = atan " L 2 h l 2 # H L 2 l l 2 L För att få v 0 skriver vi: Lhv 2 0 cos 2 = Llv 2 0 sin cos gll2 2 lhv 2 0 cos 2 = llv 2 0 sin cos gll 2 2 och tar di erensen mellan ekvationerna, vilken ger: v 2 0 cos 2 [hl Hl]= gll 2 L l. Vi bryter ut v 0 och sätter in enligt ovan: v v0 2 gll(l l) = 2(hL Hl) cos 2 ) v u 0 = t gll(l l) 2(hL Hl) cos 2 [atan((l 2 h l 2 H)/L 2 l l 2 L)]) Dessa uttryck för och v 0 är väldefinierade för rimliga värden på h, H, l och L.

13 Uppgift 2. F lm F m r F n F Inför naturliga koordinater. Tangentialriktningen är då i bilens rörelseriktning och normalriktningen är riktad in mot cirkelns centrum. Friktionskraften F µ är riktad snett framåt och kan delas upp i två komposanter enligt figuren: F m som verkar i tangentiell ledd och bestäms av den kraft med vilken motorn driver bilen framåt mot luftmotståndet samt F n som är den kraft som håller kvar bilen i sin cirkelbana enligt figuren. Detta ger att q F µ = Fm 2 + Fn. 2 I horisontalplanet verkar även kraften från luftmotståndet, F lm riktad rakt bakåt. När hastigheten är konstant är a t = 0 och a n = v2 (ges av accelerationen i r naturliga koordinater). Då blir F m = F lm och F n = m v2 e r n. Friktionslagen ger även att F µ mgµ. Följdaktligen blir: F µ = Friktionsvillkoret ger nu: q m 2 v 4 /r 2 + k 2 v 4 ) F µ = v 2q m 2 /r 2 + k 2. mgµ qm 2 /r 2 + k 2 v2 ) v max = v u mgµ tqm 2 /r 2 + k. 2

14 Uppgift 3. z För att lösa denna uppgift använder vi momentlagen kring z-axeln: Med H z = I z µ och Mz = kµ fås: Ḣ z = M z. I z µ = kµ ) µ + k I z µ =0. Lösningen till svängningsekvationen ovan oscillerar med vinkelfrekvensen! = s k I z. Eftersom f =!/2¼ blir den efterfrågade frekvensen: f = 1 s k. 2¼ I z

15 Uppgift 4. A: m B: l h l+ l B y Lagen om kinetiska energin ger: ty v A = v B = 0. Arbetet ges av: U A B = T B T A ) U A B =0 U A B = VA el VB el + VA tk VB tk där V el = k l 2 /2 står för det elastiska bandets energipotential och V tk = mgy för den energipotential den modiga hopperskans besitter tack vare tyngdkraften. Geometrin ger att Detta ger tillsammans: l + l B = h. 0 = 0 k l 2 B/2+mgh 0 ) k(h l) 2 =2mgh

16 eller l 2 2hl + h 2 2mgh k Andragradsekvationens lösningar är: =0. s 2mgh l = h ±. k Den sökta roten är (eftersom l måste vara kortare än h): s 2mgh l = h. k Stort k ger snabb uppbromsning och l nära h vilket är korrekt.

17 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för Open1 Läsåret 06/07 Tentamen i 5C1102 Mekanik mk, kurs Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1. Du står på Gröna Lund och funderar på att satsa en femkrona i ett spel där det gäller att skicka iväg en boll från en uppskjutningsanordning så att den skjuts in i ett rör enligt figuren. För att den ska komma in i röret krävs att bollbanans vinkel är mycket nära! när bollen är vid rörets mynning. Uppskjutningsvinkeln och hastigheten v 0 kan väljas vid uppskjutningsanordningen. Bortse från luftmotståndet och gör en första uppskattning av vilka värden på och v 0 som får bollen att hamna i röret. (3p) 2. Vid en bungyjump-anläggning används en elastisk lina med elasticitetskonstant k. Linans obelastade längd anpassas efter varje hoppares vikt så att hopparen precis snuddar vid vattenytan som ligger h under plattformen från vilken hoppen sker. Bestäm hur mycket lina som ska matas ut för en hoppare med massan m. Tyngdaccelerationen är g. (3p) 3. Pippi, en glad flicka med massan m P, åker ner för en kälkbacke som efter en sträcka som lutar övergår i en horisontell del. Precis när hon kommer ner till denna del, och har uppnått hastigheten v P, så krockar hon med den stillastående Tommy, en glad pojke med massan m T som inte såg sig för innan han korsade backen. Tommy faller så att han åker med Pippi och kälken tills hela ekipaget stannar efter sträckan L. Krocken är att betrakta som en inelastisk stöt. Bestäm friktionsfaktorn mellan kälken och snön. (3p) 4. Panik! Du arbetar vid en tillverkare av moraklockor som sponsrat rymdstationen ISS med en moraklocka. Bara några timmar innan rymdfärjan ska lyfta inser ni att pendeln inte kommer att pendla ombord på ISS pga. avsaknaden av gravitationskraft. Du hoppas att detta går att lösa genom att montera pendeln vid en s.k. torsionsfjäder. En torsionsfjäder är en stång som, om ena änden vrids vinkeln #, ger ett moment med amplituden M=k# runt stången. Momentet strävar efter att motverka vridningen. Du måste nu snabbt beställa en torsionfjäder med lämpligt värde på k. Du inser att du först måste bestämma svängningsperioden för en pendel som består av en stång och en vikt fästade vid en torsionfjäder enligt figuren. Denna period är är vad som efterfrågas i denna uppgift. Observera att det inte finns någon gravitation. (3p)

18 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten i naturliga komponenter. (1p) b) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (2p) 6. a) Definiera arbetet U 1-2 som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r 2. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a)!ställ upp svängningsekvationen för en fri odämpad svängning och bestäm uttrycket för vinkelfrekvensen n i detta fall. (1p) b) Ställ upp svängninsekvationen för en fri dämpad svängning och definiera dämpningsfaktorn. (1p) c) Ange villkoret på dämpnings!faktorn för stark, svag respektive kritisk dämpning. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik Lösningar till problemdelen kommer att läggas ut på kurshemsidan under eftermiddagen.

19 Första version av lösningar till Tentamen i kursen 5C1102, Mekanik mindre kurs för Open1 OBS att dessa lösningar till viss del inte är kompletta vad avser definitioner och figurer Uppgift 1 v 0 h l Newtons andra lag, kraftekvationen, projicerad på x- och y-riktningarna ger: e y : e x : mẍ =0 mÿ = mg vilket tillsammans med begynnelsevillkoren x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = v 0 cos samt y(t = 0) = 0, ẏ(t = 0) = v 0 sin ger: x =(v 0 cos )t y =(v 0 sin )t gt2 2 De två efterfrågade storheterna v 0 och bestäms av de geometriska villkoren: x(t B )=l

20 Detta ger: eller: y(t B )=h ẏ(t B) ẋ(t B ) = tan t B = l v 0 cos h = v 0 sin l v 0 cos gl 2 2v 2 0 cos 2 tan = v 0 sin v 0 cos gl v0 2 cos 2 h = tan l tan = tan Vi förenklar algebran genom att införa: T = tan gl 2 2v 2 0 cos 2 gl v 2 0 cos 2. vilket ger: Vi får: vilket ger oss dvs V = v 2 0 cos 2 h = Tl gl2 2V tan = T gl V. V = tan = T T = 2h l gl 2 2(Tl h) 2(Tl h) l tan.

21 Med definitionen av V och T ger detta: = tan 1 " 2h l tan # v u v 0 = t gl 2 2 cos 2 [l tan h] Uppgift 2. A: m B: l h l+ l B y Lagen om kinetiska energin ger: ty v A = v B = 0. Arbetet ges av: U A B = T B T A ) U A B =0 U A B = VA el VB el + VA tk VB tk

22 där V el = k l 2 /2 står för det elastiska bandets energipotential och V tk = mgy för den energipotential den modiga hopperskans besitter tack vare tyngdkraften. Geometrin ger att Detta ger tillsammans: l + l B = h. 0 = 0 k l 2 B/2+mgh 0 ) k(h l) 2 =2mgh eller l 2 2hl + h 2 2mgh =0. k Andragradsekvationens lösningar är: s 2mgh l = h ±. k Den sökta roten är (eftersom l måste vara kortare än h): s 2mgh l = h. k Stort k ger snabb uppbromsning och l nära h vilket är korrekt. Uppgift 3. Rörelsemängden bevaras över stöten/kollisionen vilket ger: v PT = m P v P m P + m T där v PT är den gemensamma hastigheten efter kollisionen. Till stoppet uträttar friktionskraften arbetet: U µ L = (m P + m T )gµl. Lagen om kinetiska energin ger att: vilket leder till: T L T 0 = U µ L (m P + m T )vpt 2 = (m P + m T )gµl. 2 Bryter vi ut µ får vi: m 2 P vp 2 µ = 2gL(m P + m T ) 2

23 Uppgift 4. M=k l m För att lösa denna uppgift använder vi momentlagen kring en z-axel i vridningspunkten (z-axelns riktning ges av definitionen på µ och den ut ur papperet): Ḣ z = M z. Med H z = ml 2 µ och Mz = kµ fås: ml 2 µ = kµ ) µ + k ml 2 µ =0. Lösningen till svängningsekvationen ovan oscillerar med vinkelfrekvensen! = s k ml 2. Eftersom = 2¼/! blir den efterfrågade perioden: s ml 2 f =2¼ k.

24 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för Open1 Läsåret 06/07 Tentamen i 5C1102 Mekanik mk, kurs Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1. Beloppet av den bromsande kraften på en långsamt glidande båt kan antas vara proportionell mot beloppet på hastigheten, dvs F=kv där k är en konstant. Båten stannar på sträckan l från hastigheten v 0. Bestäm sträckan båten glider innan den stannar om hastigheten är 2v 0. (3p) 2. Pelle ska hoppa iland från en båt med massan M (inkl Pelle) och hastigheten V rakt framåt. Vilken hastighet relativt båten ska Pelle hoppa med rakt framåt för att båten efter hoppet ska stå till. Pelle har massan m. (3p) 3. Pelle och Lisa ska segla under en bro och funderar över hur hög deras mast kan tänkas vara.för att få klarhet i detta hissar de upp en tunn lina i masttopeen och fäster en vikt längst ner i linan, som då hänger precis ovanför däcket. De sätter pendeln i svängning och mäter hur lång tid 10 pendlingar fram och tillbaka tar, denna tid benämner vi T. Visa hur Pelle och Lisa med hjälp av denna mätning kan bestämma masttoppens höjd över däcket. Sambandet sin!! för små vinklar kan/bör användas. (3p) 4. En gps-satellit (gps är ett satellitbaserat navigationssystem) skall placeras i en cirkulär bana med radien 2R kring jorden. Satelliten uppsjuts från punkten P längs en elliptisk bana. Punkterna P och A är perigeum respektive apogeum på den elliptiska banan. Bestäm satellitens uppskjutningshastighet i P. Hastigheten skall uttryckas med hjälp av tyngdaccelerationen vid jordytan, g samt jordens radie R. (3p)

25 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i naturliga komponenter. Längden och riktningen av e n måste härledas. b) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten i cylinderkoordinater. 6. a) Definiera arbetet U 1-2 som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r 2. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a) Definiera kraftmomentet M 0 av kraften F angripande i A med avseende på O. (1p) b) Definiera rörelsemängdsmomentet för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik Lösningar till problemdelen kommer att läggas ut på kurshemsidan under eftermiddagen. (2p) (1p)

26 Lösningar till Tentamen i kursen 5C1102, Mekanik mindre kurs för Open1 Uppgift 1 Newtons andra lag, kraftekvationen, projicerad på x-riktningen ger: e x : Tillsammans med sambandet: dv fås: eller Integrering ger: dt = dv dx mẍ = kẋ. dx dt = dv dxẋ m dv dx v = kv dv dx = k m. v = k m x + C. Fall 1 : Båten stannar på sträckan l från farten v 0. Detta ger: v(x = 0) = v 0 v(x = l) = 0 vilket ger: C 1 = v 0 k = v 0m. l Fall 2 : Båten stannar från farten 2v 0. I detta fall blir: v = k m x + C 2. där k = v 0 m/l. Villkoret v(x = 0) = 2v 0 ger C 2 =2v 0 och sträckan s till stopp ges av ekvationen: eller 0= k m s + C 2 = v 0m lm s +2v 0 s =2l.

27 Uppgift 2. Antag att hoppet sker momentant. Under denna förutsättning bevaras rörelsemängden i horisontell led under hoppet (energin bevaras inte eftersom Pelles muskler under hoppet omvandlar kemisk energi tilll rörelseenergi. Rörelsemängdens bevarande ger: e x MV = mv dvs v = MV m. Pelles hastighet relativt båten efter hoppet måste alltså vara: v P = MV m e x (Relativt båten kan även tolkas som Pelles hastighet efter hoppet relativt båtens hastighet före hoppet. I så fall blir svaret v P = ³ MV m V e x. Uppgift 3. Newtons andra lag, kraftekvationen, projicerad på µ-riktningen ger (ṙ = 0): e µ : mr µ = mg sin µ där r är den sökta längden. Approximationen sin µ ¼ µ ger svängningsekvationen: µ + g r µ. L/ osningarna till denna ekvationen har vinkelfrekvensen r g! = r och perioden dvs = 2¼!, =2¼ s r g

28 och r = g 2 4¼ 2. Om tio svängningar tar tiden T är masthöjden h: Uppgift 4. Rörelsemängdsmomentet är konstant: vilket ger Energiekvationen ger: h = gt 2 400¼ 2 v P R = v A 2R v P =2v A. T P + V P = T A + V A eller 1 2 mv2 P G mm R = 1 2 mv2 A G mm 2R vilket efter lite algebra ger: s gr v A = 3. Med hjälp av det tidigare sambandet: v P =2 s gr 3

29 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för Open1 Läsåret 07/08 Tentamen i SG1102 och 5C1102 Mekanik mk, kurs Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem 1. Två partiklar passerar samtidigt origo, A med hastigheten v A =(1,0) m/s och B med hastigheten v B =(0,1) m/s. Partikel A påverkas av den konstanta kraften F A =(0,1) N och partikel B med en konstanta kraften F A =(1,0) N. Bestäm var partiklarna kolliderar om de har samma massa m. (3p) 2. Du står och gungar ett barn som plötsligt vill stanna. Du måste nu bestämma vilken kraft med konstant belopp F (riktningen ändras så att den hela tiden är tangentiell) du måste ansätta från högsta läget till lägsta för att gungan och barnet ska stanna längst ner. Antag att gungan och barnet har massan m, att linorna som gungan är fäst i har längden l samt saknar massa och inte ger något luftmotstånd. Kraften ansätts i övre vändläget när vinkeln! är. (3p) 3. En partikel med massan m rör sig med hastigheten v rakt emot en fjäder. När den kommer till fjädern fastnar den i kroken och svänger fram och tillbaka med vinkelfrekvensen #. Bestäm fjäderns maximala utslag under kompressionsfasen. Försumma dämpning och friktion. Ledning: Börja med fjäderkonstanten. (3p) 4. Du vill uppskatta hur stor den vertikala kraften mellan fotsula och underlag är vid gång respektive löpning. Uppskatta denna kraft som funktion av a, den del av tiden som foten är i marken (a=1: foten är i marken hela tiden, a=0,1: foten är i marken 10% av tiden). Du får gärna anta att den vertikala rörelsen upp och ner är mycket liten under ett steg även om foten inte är i marken hela tiden, att kraften är konstant under markkontakten samt att underlaget är horisontellt. (3p)

30 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (2p) b) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). OBS: För att detta ska bli komplett krävs att kinetiska energin och arbetet definieras. (1p) 6. a) Definiera kraftmomentet M 0 av kraften F angripande i A med avseende på O. (1p) b) Definiera rörelsemängdsmomentet för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 7. a)!ställ upp svängningsekvationen för en fri odämpad svängning och bestäm uttrycket för vinkelfrekvensen # n i detta fall. (1p) b) Ställ upp svängninsekvationen för en fri dämpad svängning och definiera dämpningsfaktorn. (1p) c) Ange villkoret på dämpnings!faktorn för stark, svag respektive kritisk dämpning. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik Lösningar till problemdelen kommer att läggas ut på kurshemsidan efter skrivtidens slut.

31 Första version av lösningar till Tentamen i kursen SG1102/5C1102, Mekanik mindre kurs för Open1 OBS att dessa lösningar till viss del inte är kompletta vad avser figurer Uppgift 1 Newtons andra lag, kraftekvationen, ger för de två partiklarna: m r A = F A m r B = F B tillsammans med begynnelsevillkoren: r A (t = 0) = (0, 0) ṙ A (t = 0) = (1, 0) r B (t = 0) = (0, 0) ṙ B (t = 0) = (0, 1). Integrering och insättning av F A = (0, 1) och F B = (1, 0) ger: (x A,y A )= (0, 1)t2 2m + (1, 0)t

32 och (x B,y B )= x A = x B och y A = y B ger oss: dvs. t =0 (1, 0)t2 2m t 2 2m = t t =2m. + (0, 1)t. Detta innebär att x A = x B och y A = y B då t = 0 (utgångsläget) och då t =2m, dvs partiklarna kolliderar när t =2m, positionen är då: r A,B (t =2m) = (2m, 2m) Uppgift 2 Detta är en tillämpning av lagen om den kinetiska energin. Eftersom kinetiska energin är noll i vändläget och skall vara noll längst ner måste arbetet som utförs av den pålagda kraften och tyngdkraften tillsammans vara noll. Detta kommer av att U 1 2 = T 2 T 1. Arbetet från tyngdkraften fås av potentialen: U mg = V uppe V nere = mgl(1 cos ). Eftersom den pålagda kraften hela tiden är tangentiell och motriktad rörelsen utför denna arbetet: U F = F l dvs. kraften multiplicerad med vägen. Detta går även att komma fram till utifrån linjeintegralen som definierar arbetet. Vi har redan konstaterat att totala arbetet måste vara noll, och får: U mg + U F = mgl(1 cos ) F l =0 eller F = mg(1 cos ).

33 Uppgift 3 Vi börjar med att bestämma fjäderkonstanten från den givna frekvensen och massan, därefter använder vi energiekvationen för att bestämma kompressionen. För svängningsrörelsen gäller: vilket ger: Energiekvationen ger:! = s k m k = m! 2. T A + V A = T B + V B där A refererar till okomprimerad fjäder och B till fullt komprimerad fjäder. Vi får då: T A = mv 2 /2 V A =0 T B =0 V B = k( x) 2 /2 där x är fj derns komprression, vilket tillsammans ger: dvs. mv 2 2 = k(±x)2 2 x = v!. Uppgift 4 Antag att en komplett stegcykel tar tiden T. För att rörelsen skall vara långsiktigt möjlig måste då följande gälla för rörelsemängden: p(t) =p(t + T )=p(t +2T )=p(t +3T ) dvs att rörelsemängden blir densamma efter varje stegcykel. Impulslagen ger oss då att Z T Fdt =0. 0 I vertikal led (positiv uppåt) verkar på gångaren/löparen krafterna: mg

34 (tyngdkraften neråt) hela tiden, samt F fot uppåt under den tid foten är i marken. För att impulsen över en stegcykel ska bli noll krävs: mgt + F fot at =0 vilket ger: F fot = mg/a

35 KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för Open1 Läsåret 07/08 Tentamen i SG1102 och 5C1102 Mekanik mk, kurs Open Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer och motivera lösningarna väl. Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper Problem I vissa av uppgifterna har siffervärden lagts in. Svaren skall dock ges på symbolisk form. 1. I LKABs gruva i Kiruna lyfts malmen från 725 m nivån med s.k. skipar. Varje skip lyfter malm med massan m malm och går i hastigheten v. Bestäm skipens effekt när den går med konstant hastighet. Siffervärden för den vetgiriga: m=40 ton, v=17 m/s. (3p) 2. Tågen mellan Kiruna och Narvik består av N st vagnar. Varje vagn har (inklusive pelletslasten) massan m.antag att man vill kunna flytta tåget sträckan l på tiden t på horisontellt underlag. Efter sträckan l kommer tåget att röra sig framåt med konstant hastighet. Vilken är den minsta kraft som kopplingen mellan loket som drar igång tåget och den första vagnen måste klara av? Siffervärden för den vetgiriga: N=68, m=130 ton (varav 100 ton pellets). (3p) 3. Skipen i uppgift 1 (massa m, hastighet v uppåt) stannar plötsligt pga maskinhaveri. Den kommer då att fortsätta uppåt, bromsas av gravitationen och sedan vända neråt, fångas upp av hissvajern och bromsas upp igen. Bestäm när, relaterat till stoppögonblicket, kraften i hisslinan är som störst och hur stor denna kraft är. Antag att hisslinan har fjäderkonstanten k. (3p) 4. Mellan anrikningsverket (där malmen slås sönder och sorteras i mer eller mindre malmhaltiga bitar) och pelletsverket (där de malmbitar som innehåller malm formas till pellets) skulle man kunna låta malmen glida ner för ett lutande plan (längd l, vinkel! mot horisonten) som sedan blir plant. Bestäm hur långt malmen glider på det raka planet om malmen startar från stillastående högst uppe på det lutande planet som lutar vinkeln!. Antag att friktionsfaktorn mellan malmbitarna och underlaget är µ. (3p)

36 Teori 5. a) Rita en figur och härled uttrycket för hastigheten och accelerationen i cylinderkoordinater. (2p) b) Bestäm accelerationen för ett barn som springer rakt ut från centrum med hastgheten v på en karusell som roterar med vinkelhastigheten w. (1p) 6. a) Definiera arbetet U 1-2 som kraften F uträttar vid förflyttning från r 1 till r 2. (1p) b) Definiera kinetiska energin för en partikel. (1p) c) Formulera och bevisa lagen om kinetiska energin (sambandet mellan arbetet och ändringen av kinetiska energin). (1p) 7. a) Definiera vad som menas med en konservativ kraft. (1p) b) Härled uttrycket för potentiella energin för en fjäderkraft. (1p) c) Formulera och bevisa momentekvationen (att rörelsemängdsmomentets tidsderivata är lika med kraftmomentet) för en partikel. (1p) 8. a) Definiera vad som menas med en centralkraft. (1p) b) Rita en figur och härled ett uttryck för sektorhastigheten da/dt. (1p) c) Visa att sektorhastigheten är konstant vid centralrörelse. (1p) Lycka till! Fredrik Lösningar till problemdelen kommer att finnas på kurshemsidan, www2.mech.kth.se/fredrik/sg1102

37

38

39

40

41

42

43