Parabeln och vad man kan ha den till

Transkript

1 Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den kan beskrivas som grafen till ett andragradspolynom. Vi tittar också in på dess geometriska och optiska egenskaper.

2 Parabeln och vad man kan ha den till 1 (5) Introduktion De kurvor som vi får som grafen av ett andragradspolynom brukar kallas parabler, men parabeln är en rent geometrisk konstruktion och beskrivningen som grafen till ett andragradspolynom bara är en konsekvens av dess geometriska definition i ett lämpligt koordinatsystem. I det här dokumentet ska vi titta på vad parabeln egentligen är för något, och vad man kan använda den till. Och varför den kan användas till vad den används till. Vår diskussion kommer att använda den analytiska geometrins metoder, d.v.s. vi kommer att räkna fram de geometriska egenskaperna genom att använda analys på en beskrivning av kurvan i ett väl valt koordinatsystem. Parabelns definition Det finns minst två geometriska definitioner av vad en parabel är. Den enklaste, och kanske ursprungliga, baserar sig på att man ger en linje, kallad styrlinjen, och en punkt, kallad brännpunkten av skäl som vi återkommer till, som inte ligger på linjen. Parabeln som definieras utifrån en sådan linje och punkt består av de punkter i planet som har samma avstånd till punkten som till linjen [1]. styrlinje symmetriaxel brännpunkt Man inser mer eller mindre direkt att en sådan kurva måste vara symmetrisk kring en linje som är vinkelrät mot styrlinjen, en linje som vi kallar parabelns symmetrilinje (streckad i figuren). Dess skärning med kurvan sker i en punkt som kallas parabelns vertex. Basen för vår diskussion är nu att vi härleder en ekvation för parabeln i ett väl valt koordinatsystem. Vi väljer detta så att x-axeln är parallell med styrlinjen och ligger mitt emellan den och brännpunkten. Som y- axel tar vi parabelns symmetrilinje. Parabelns vertex hamnar då i origo, d.v.s. i skärningen mellan koordinataxlarna. Vidare väljer vi skalan så att brännpunkten kommer i punkten (0, 1). När vi gjort det har vi figuren till höger. 1 1 vertex x 2 + (y 1) 2 Villkoret för att punkten (x, y) ska ligga på parabeln blir nu avståndet från (x, y) till (0, 1) ska vara samma som avståndet från (x, y) till (x, 1), alltså att x2 + (y 1) 2 = y (x, y) y + 1 Kvadrerar vi denna likhet får vi den ekvivalenta [2] likheten x 2 + y 2 2y + 1 = y 2 + 2y + 1 y = x2. Detta är det koordinatsystem vi kommer att använda i den kommande diskussionen om parabelns geometriska egenskaper.

3 Parabeln och vad man kan ha den till 2 (5) Låt oss dock notera att om vi väljer en annan skala på axlarna (samma axlar alltså), så att brännpunkten istället hamnar i punkten (0, c) och styrlinjens ekvation blir y = c, så ska vi införa nya koordinater (x, y ) genom x = cx, y = cy. I dessa koordinater gäller då att styrlinjen har ekvationen y = 1 och brännpunkten ligger i (0, 1) och vi har att y = x2 y c = (x /c) 2 = (x ) 2 c 2 y = (x ) 2 c. Slutligen, om vi istället lägger vårt koordinatsystem (vi slänger nu prim:en) så att det nya origo svarar mot punkten (x 0, y 0 ), så får vi ekvationen y y 0 = a(x x 0 ) 2 där a = 1/c. Det betyder att en parabel kan alltid skrivas på ekvationsformen y = ax 2 + bx + d för lämpliga a, b, d om vi väljer vårt koordinatsystem så att x-axeln är parallell med styrlinjen och y-axeln vinkelrät mot den. Omvänt beskriver varje sådan ekvation en parabel eftersom vi har kvadratkompletteringen y = ax 2 + bx + d = a(x + b 2a )2 + d b2 a. Den andra geometriska definitionen av en parabel är som ett kägelsnitt. Vi återkommer till den längre fram i detta dokument. Några geometriska egenskaper hos parabeln Parabeln har en viktig geometrisk egenskap som vi ser i figuren till höger. Parabeln definieras av att de två röda linjesegmenten är lika långa, vilket gör att de bildar två sidor i en likbent triangel. Den viktiga egenskapen är att tangenten till parabeln i topphörnet skär triangelns bas under rät vinkel. brännpunkt För att se att så är fallet, inför vi samma koordinatsystem som tidigare, med brännpunkten i (1, 0) och styrlinje styrlinjen som. Då gäller alltså att parabeln har ekvationen y = x 2 / vilket betyder att tangenten till parabeln i punkten (x, y) kommer att ha riktningskoefficient k = x/2. Men den linje som är basen i triangeln har riktningskoefficient k = 2/x eftersom den är hypotenusa i en rätvinklig triangel med höjd 2 och bas x. Men kk = 1, vilket betyder att de två linjerna (tangenten och basen) är vinkelräta. En annan intressant geometrisk egenskap hos parabeln är att om två tangenter till den skär på styrlinjen, så skär de under rät vinkel. Med samma koordinatsystem som innan har vi då att tangenten till parabeln i punkten (a, a 2 /) har ekvationen y a2 = a (x a). 2 Skärningen (x, y) mellan de två tangenterna i punkterna vars x-koordinat är a respektive b och som skär styrlinjen ska då uppfylla de tre ekvationena

4 Parabeln och vad man kan ha den till 3 (5) y a2 = a (x a) 2 y b2 = b (x a) 2 2 a2 (1 + ) = x a b 2 b (1 + b2 ) = x a a( + a 2 ) = b( + b 2 ) 2 b (1 + b2 ) = x a Det första villkoret definiera vilket samband som måste gälla mellan tangenternas tangeringspunkter, och kan skrivas (a b) = (b a)(b + a). så om a b så gäller att b + a =, dvs b = /a. Men det betyder att tangenten i (b, b 2 /) har riktningskoefficient b/2 = 1/(a/2), vilket betyder att den är vinkelrät mot tangenten i (a, a 2 /), eftersom denna har riktningskoefficient a/2. Ekvationen b = /a talar också om varifrån vi ska dra den andra tangenten för att skärningen ska hamna på styrlinjen. Anmärkning Vi har här använt analytisk geometri för att lösa geometriska problem: vi inför ett lämpligt koordinatsystem så att vi kan ställa upp ekvationer och räkna. Det går naturligtvis att visa påståendet rent geometriskt också det var så de gamla grekerna gjorde. Parabelns optiska egenskap varför heter det brännpunkt? Om P och Q är två punkter på samma sida om en rät linje, hur ska vi välja punkten R på linjen så att summan av sträckorna P R och RQ är så liten som möjligt? Om vi tittar i figuren till höger ser vi att följande konstruktion ger svaret: spegla P i linjen så att vi får punkten P. Dra sedan den räta linjen P Q mellan spegelbilden och Q och kalla dess skärningspunkt med linjen för R. Då gäller för varje annan punkt R på linjen att P R + R Q P R + RQ eftersom P Q är tredje sidan i den triangel som bildas av P R och R Q, och alltså mindre än deras summa (se figuren). P R R Den viktiga konsekvensen av detta är följande geometriska observation: summan P R+RQ är som minst när P vinkeln mellan P R och linjen, och vinkeln mellan RQ och linjen är lika stora, d.v.s. den ingående vinkeln är lika med den utgående vinkeln. Dessa påståenden är ekvivalenta [3]. Vi vet empiriskt [] att för ljus gäller att när det reflekteras i en plan yta är den infallande vinkeln lika med den utgående vinkeln, vilket betyder att ljus färdas den kortaste vägen mellan de två punkterna, när det reflekteras i en linje. Q

5 Parabeln och vad man kan ha den till (5) Vi återvänder nu till parabeln. Jämför figuren till höger med den första i föregående avsnitt. Vi ser då att vinkeln β är lika stor som vinkeln mellan tangenten och den sträckade linjen, eftersom dessa är halva toppvinkeln i en likbent triangel. Men den senare vinkeln är motstående vinkel till vinkeln α i figuren, så vi har att α = β. Det betyder att om vi reflekterar en vertikalt inkommande stråle i tangenten, så kommer den reflekterade strålen att hamna i brännpunkten. Alla vertikalt inkommande strålar reflekteras alltså i samma punkt. Eftersom t.ex. ljus och ljud reflekteras på detta sätt, så betyder det att ljus som kommer in parallellt med symmetriaxeln kommer att reflekteras till brännpunkten. Omvänt, om det finns en ljuskälla i brännpunkten kommer ljuset att lämna parabeln i form av parallella ljusstrålar. Detta är principen bakom både parabolantenner, som samlar upp parallellt inkommande elektromagnetiska vågor till en mottagarhuvud, och bilstrålkastare, där en glödlampa i brännpunkten genererar ljus som reflekteras till parallellt ljus framåt. Naturligtvis är varken parabolantennen eller billyktan en kurva, utan en två-dimensionell yta. För att utnyttja parabelns geometriska egenskaper har man därför konstruerat en rotationsparaboloid, vilken uppkommer genom att vi roterar en parabel längs sin symmetrilinje. Om vi skär denna paraboloid med plan som innehåller symmetrilinjen (som blir rotationsaxel för paraboloiden) så kommer skärningarna mellan plan och paraboloid att vara identiska parabler vilka alla kommer att ha samma symmetrilinje och samma brännpunkt. Allt ljus som kommer in parallellt med rotationsaxeln kommer därför att reflekteras till brännpunkten. β α Parabeln som ett kägelsnitt Det finns som påpekats ovan, en alternativ, geometrisk, definition av vad en parabel är. Nämligen som en av de kurvor vi kan få om vi skär en kon med ett plan. Figuren till höger illustrerar hur sådana skärningar kan se ut, och en parabel får man om man skär konen med ett plan som är parallellt med konens sida. Som sådan ser vi att en parabel utgör en sorts övergång mellan ellipser och hyperbler [5], en sorts degenererad ellips eller hyperbel. För att se att det verkligen är så att vi får en parabel när vi skär en kon med ett plan som är parallellt med konens sida, betrakta figuren på nästa sida. Låt θ vara vinkeln mellan planet och konens axel och inför beteckningar x och y som i figuren (basen på det

6 Parabeln och vad man kan ha den till 5 (5) lila området är alltså 2x och höjden är y). Låt nu θ vara vinkeln mellan skärningsplanet och konens axel och låt r vara konens basradie på den höjd där skärningens högsta punkt ligger. Vi ser då att BM = 2y sin θ och att CM = 2r. Enligt kordasatsen gäller att BM CM = DM EM, vilket betyder att ry sin θ = x 2, och alltså y = 1 r sin θ x2. Här är r, θ konstanter som bara bestäms av konen och planet. Vi ser alltså att i det koordinatsystem vi valt får kurvan ekvationen för en parabel med brännpunkt i (0, r sin θ)t. Noteringar 1. Med avståndet till linjen menas det minsta avståndet. 2. Ekvivalens? Den kvadrerade ekvationen är ekvivalent med att x 2 + (y 1) 2 = ±(y + 1), men här kan vi inte använda minustecknet eftersom y 0. Så uttrycken är ekvivalent under bivillkoret att y Detta kallas Herons problem. empiriskt=erfarenhetsmässigt 5. Ellipser och hyperbler behandlas i kapitlet Om ellipser och hyperbler