17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

Transkript

1 MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER Innetemperaturen för a =1, 2och3. Om vi har yttertemperatur Y och startinnetemperatur I kan vi med samma kalkyl beräkna innetemperaturen till µ t I Y a b T (t) =(I Y ) + Y, I Y t timmar efter strömavbrottet. Här antar vi att temperaturen har sjunkit a grader efter b timmar. Översättningar: svenska matematiska tid t temperatur vid tiden t i C T (t) innetemperatur I(eller 20C ) utetemperatur U(eller 10C ) temperatursänkning a proportionalitet T 0 (t) =k(t (t)+10) Rekommenderade övningar (ledningar på sid. 832): 8.73 (antag d dt T = T 0 (x) φ A, där T är temperaturen) Hydrodynamik: vattenflöden Antag att vi har en vattentank (som ett badkar) och tömmer ut vattnet med en öppning i botten. Man kan fråga sig: strömmar vattnet ut fortare när det är mycket vatten kvar än när det är mindre? Svaret är ja. Trycket i vatten beror enbart på vattendjupet

2 17.10 HYDRODYNAMIK: VATTENFLÖDEN 825 (om man bortser från tryckfluktuationer, som ljud som fortplantar sig). Torricellis lag kvantifierar sambandet mellan utströmmningshastighet och vattendjup. Den säger att utströmmningshastigheten är proportionell mot roten ur vattendjupet. Detta kan verifieras experimentellt, eller på mer teoretiska sätt härledas från samband för strömningen av inkompressibel vätska. Med lägre djup har vi då långsammare utströmningshastighet, som väntat. Med lagen kan vi, genom att lösa en differentialekvation, räkna ut precis hur djupet beror på tiden, minut för minut, sekund för sekund Vattenhöjd i en cylindrisk vattentank Betrakta exempelvis en cylindrisk vattentank med höjd 3 m och radie 4 m. Beräkna vattenhöjden som funktion av tiden om vi tömmer en full tank, avtappningen sker givetvis i botten. Utströmningshastighet vid full vattenhöjd är 200 l/min. Hur lång tid tar det till tanken är tom? Lösning: Vi kan börja med att uppskatta tiden. Om vi hela tiden har samma utflöde som i början så kommer det att ta π =4π timmar. Men vi vet att utflödet minskar med minskande vattendjup. Så tiden att tömma tanken bör vara större än 12.6 timmar. Antag att vattendjupet efter t minuter är v(t) dm. Vi räknar i denna uppgift med minuter och decimeter, det är konsistent med liter som är dm 2. Notera att utströmningshastigheten är den hastighet som vattenvolymen ändras. Vid en cylindrisk tank har vi volymen V = πr 2 v, och d dt V (=utströmningshastigheten)= πr2 v 0 (t). Torricellis lag säger då att πr 2 v 0 (t) =k p v(t) utströmningshastigheten är proportionell mot kvadratroten av vattendjupet Utströmningshastighet vid full vattenhöjd är 200 l/min ger genast i översättning (full vattenhöjd betyder att v =) 200 = k, så k = 200. Eftersom r =40får vi v 0 k p (t) = v(t) πr 2 = 200 p 1 v(t) = π1600 8π p v(t).

3 MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER Differentialekvationen är separabel: dv = dt 8π p v(t) kan skrivas som dv p = v(t) 8π dt, (integration) 8π t = Z dv p v(t) =2 p v(t)+c. Vi fick 8π t =2p v(t)+c Vi bestämmer konstanten C med villkoret v(0) =. Det ger genast Vi har således lösningen 8π 0 = 2 + C, dvs C = 2. 8π t = 2p v(t) 2, dvs 1 v(t) = ( 16π t ) 2 µ 2 1 = 480π t. Således är tanken tom då 1 480π t 2 =0, dvs efter t =480π minuter. I timmar blir det t = 480π 60 =8π 25.1 timmar. Det tar alltså precis dubbla tiden jämfört med om strömningen hela tiden var lika stor som i början Vattenhöjd i en konisk vattentank Höjden beror på mängden vatten på ett annat sätt om vattentanken har en annan form. Antag att vi har en vattentank med samma volym och höjd som i den förra uppgiften, men här är dess form konisk. Vi tappar ut vattnet i konens spets som är nedåt. Lösning: VisågiKapitel14attvidsammahöjdmåsteenkonhaenfaktor 3 större radie jämfört med en cylinder för att de två kropparna ska innehålla samma volym. Därmed är den koniska tankens höjd 3 m och dess radie är 4 3 m. Vi antar även här v(0) = dm och att utströmningshastigheten vid full vattenhöjd är 200 l/min. Eftersom utströmningshastigheten är densamma vid full höjd som i föregående problem, så vi har fortfarande proportionalitetskonstanten k = 200. Konens volym

4 17.10 HYDRODYNAMIK: VATTENFLÖDEN 827 med höjd v och radien r är V = πvr2 3. Till skillnad från i det cylindriska fallet är här radien r beroende av djupet. Vid djup v har konen radie r = v = 4 3 v (ty v =0ger då radie =0och v =ger radie = 40 3), så volymen som funktion av höjden är V (v) = πv( 4 3 v) 2 = 16π 3 9 v3. Det betyder att volymen som funktion av tiden (via funktion av höjden, vi har en sammansatt funktion, se Kapitel 3) är V (v(t)) = 16π 9 v(t)3. Så volymens förändring som funktion av tiden, dvs utströmningshastigheten uttryckt i vattendjupet v, är dess derivata med avseende på t. Kedjeregeln ger d 16π V (v(t)) = dt 3 v2 v 0 (t). Torricellis lag med samma proportionalitetskonstant som i förra problemet säger att 16π 3 v2 v 0 (t) = 200 p v(t). volymförändringen är proportionell mot kvadratroten av vattendjupet Även denna differentialekvation är separabel. Vi får: v dv = 4π dt 5 Z 4π t = v 3 2 dv = 2 5 v C. Vi fann sambandet 5 4π t = 2 5 v C. Villkoret v(0) = ger nu C: 0 = C, som ger Vi fick C = π t = 2 5 v ,

5 MATEMATISK MODELLERING: DIFFERENTIALEKVATIONER Löser vi ut v(t) får vi v =( π t ) π Så då t 0 =288π minuter är tanken tom. Det är = 15.1 timmar. Det är betydligt snabbare än de 25 timmarna med en cylindrisk tank Vattendjup med tiden: cylinder (heldragen), kon (streckad), uppskattning (prickad). Figurens uppskattning (prickad linje) är den tänkta situationen där utströmningshastigheten är konstant: den minskar inte med minskande vattendjup. Kurvan för den koniska vattenavtappningen har en annorlunda form. Det beror på att den kvarvarande volymen här minskar mycket snabbt med vattendjupet. Det gör att avtappningen, som funktion av vattendjupet och inte mängden, går snabbast i slutet Betydligt förenklad metod Att utströmningshastigheten för den cylindriska tanken i detta fall är precis det dubbla i förhållande till den förenklade modellen väcker en fråga. Gäller detta alltid? Antag att vi har en tank som är formad som ett prisma (se Kapitel 14), dvs vattenvolymen är proportionell mot djupet. Är då alltid totala utströmningshastigheten dubbelt så stor som den skulle vara om utströmningshastigheten inte skulle minska med djupet? I så fall skulle vi ju ha ett mycket lättare sätt att beräkna tiden att tömma tanken. Svaret på denna fråga är ja. Ovanstående lösningsmetod leder alltid till en lösning av formen v(t) =c(t a) 2 för vissa tal a och c. Det är en andragradskurva med vertex (se Kapitel 2) på x-axeln. Detta ger ett rent geometriskt problem. Betrakta en andragradskurva som har vertex på x-axeln, säg i punkten x = a. Tagengodtyckligannanpunktx = b, och konstruera

6 17.10 HYDRODYNAMIK: VATTENFLÖDEN 829 tangenten till parabeln i denna punkt. Vi vill visa att tangentens skärning med x-axeln inträffar precis mellan a och b, dvs i punkten a+b 2. Ivårtfallärb =0(tangeringspunkten är på y-axeln). Vi visar egenskapen för ett godtyckligt b. I denna geometriska formulering byter vi namn på variabeln från t till x, och från v till f. Ett andragradsuttryck som har vertex på x-axeln kan skrivas som f(x) = c(x a) 2. Funktionen har derivatan I punkten x = b är lutningen f 0 (x) =2c(x a). f 0 (b) =2c(b a). Tangentens ekvation är då (generellt: y f(b) =f 0 (b)(x b),sekapitel8) y c(b a) 2 =2c(b a)(x b). Vi har skärning med x-axeln då y =0. Vi kallar denna punkt x 0. Insättning av y =0 och x = x 0 ger 0 c(b a) 2 =2c(b a)(x 0 b). Löser vi ut x 0 ur denna ekvation får vi mycket riktigt x 0 = a + b 2. Vi har beräknat vattenutströmning ur en vattentank genom att lösa en differentialekvation. Det gav ett rent geometriskt problem för parabler. Att det centrala problemet är ett konkret men inte studerat geometriskt problem händer ganska ofta i matematisk forskning. Här behövde vi en egenskap för parabler som vi inte kände tidigare. Differentialekvationslösningen ledde indirekt till att vi avslöjat ännu en egenskap för parabler. Den uppskattning av tömningstiden som vi gjorde i början av denna undersökning, med det förenklade och ganska grovt antagandet att hastigheten är oberoende avdjupet, ledde således till ett åtskilligt lättare sätt att beräkna den exakta tiden till tanken är tom. Notera att vi inte hade funnit detta enklare sätt om vi endast hade räknat exakt. Så tiden till tanken är tömd, om tanken är prismaformad (exempelvis en cylinder), är dubbla tiden av den förenklade uppskattningen. Vi kan också bestämma vattenhöjden för vilken tid t som helst utan att lösa en differentialekvation, vi behöver endast bestämma c i v(t) =c(t a) 2. Emellertid beror denna differentialekvationsfria metod på vår differentialekvationslösning ovan. Man kan säga att vi löste alla differentalekvationeravdennatyppåengång.