2 Derivator. 2.1 Dagens Teori. Figur 2.1: I figuren ser vi grafen till funktionen. f(x) = x

Transkript

1 Derivator.1 Dagens Teori Figur.1: I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) = x 3 + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7 3 finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10 3 ) Sekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom k = ( 1) = 5 4 ) oc (4, 3 ). Dessutom

2 0 Derivator Men ur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)? Vi ar en intuitiv känsla av att en tangent är en linje som snuddar vid kurvan. Den ar bara en punkt gemensam med kurvan, till skillnaden från sekanten som ar två. Figur.: Här ska vi närma oss en lösning på problemet genom att dra ett antal sekanter. Vi utgår från samma funktion som ovan f(x) = x 3 + oc vill veta riktningskoefficienten till tangenten i punkten (1, 7 3 ). Vi bestämmer successivt riktningskoefficienten till ett antal sekanter oc fyller i denna tabell x 1 x f(x 1 ) f(x ) k När nu x kryper närmare x 1 så måste ju motsvarande sekanten få en riktningskoefficient som mer oc mer liknar tangentens. Så om vi får gissa tangentens k-värde, är ingen dålig gissning. k = 3 Om vi istället för x inför x 1 +, där kommer att anta värdena enligt tabellen ovan kan vi skriva ett mycket viktigt uttryck för att bestämma sekantens riktningskoefficient k = f(x + ) f(x) x + x = f(x + ) f(x)

3 .1 Dagens Teori 1 I vårt försök ar vi låtit bli mindre oc mindre. Vi ar låtit gå mot 0. Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata ett tag oc nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot noll innebär det att uttrycket närmar sig ett gränsvärde, 8. Verkar självklart. För att uttrycka detta skriver man 8 + = 8 Vi uttalar detta: Gränsvärdet för 8 +, då går mot 0, är 8. De flesta gränsvärden vi kommer att syssla den närmaste tiden är självklara. Trots det ska vi lära oss att använda (es), när vi uttrycker gränsvärden. Att alla gränsvärden inte är triviala inser vi då vi till exempel ser Sätter vi in = 0 får vi 0 0 oc vad är det? Genom att successivt sätta in mindre oc mindre, som vi ar övat på alldeles nyligen till exempel = får vi Med ett ännu mindre = får vi Ingen större ändring. Det är tydligt att gränsvärdet är ungefär eller kanske 1 6. Hur som elst är det bara en gissning. Ett annat gränsvärde är x x 1 x 3 x + 3 Skulle vi få för oss att sätta in x = 3 direkt får vi återigen 0 0. Men den är gången kan vi faktorisera täljaren oc få (x 4)(x + 3)) = x 3 x + 3 x 4 = 7 x 3 Hur som elst är dessa två exempel klar överkurs vad gäller gränsvärden i denna kurs. Jag vill bara visa att gränsvärden inte alltid är triviala. Med denna korta introduktion till gränsvärden kan vi övergå till att definiera begreppet derivata. Det gränsvärde som differenskvoten f(a + ) f(a)

4 Derivator ar, då 0 kallas för derivatan av funktionen y = f(x) i punkten x = a oc skrivs f (a) (uttalas f prim a). Nu kan vi skriva detta med på följande sätt f (a) = f(a + ) f(a) Efter denna föreläsning ska du klara av uppgifter liknande Övning.1 Bestäm med jälp av derivatans definition f (3) då f(x) = x Vi ställer upp följande uttryck f f(3 + ) f(3) (3 + ) 3 (3) = = = Svar: f (3) = (6 + ) = = (6 + ) = 6. Lösta problem Övning. (Ej med) I figuren är kurvan y = f(x) ritad. Ange tecknet för a) f ( ) c) f () b) f (0) d) f (7) Vi läser av tecknet os k-värdet för tangenterna till de givna punkterna. a) f ( ) är < 0 c) f () är > 0 b) f (0) är kanske = 0 d) f (7) är < 0

5 . Lösta problem 3 Övning.3 (Ej med) En kropp som faller fritt ar efter t s fallit f(t) m. Vad betyder det att a) f(4) = 78 b) f (4) = 40 a) Efter 4 sekunder ar kroppen fallit 78 m b) Efter 4 sekunder faller kroppen med 40 m/s. Övning.4 (Ej med) Temperaturen i en varmvattenberedare är f(t) C, där t är tiden i timmar räknat från kl 00 : 00. Vad betyder det att a) f() = 60 b) f (5) = 1.0? a) Efter timmar är temperaturen 60 b) Efter 5 timmar sjunker temperaturen med 1 /? Övning.5 (318). Pelle är f(x) cm när an är x år. När an är 14 år är an 16 cm lång oc växer 8 cm/år. Beskriv detta matematiskt med funktionen f(x) Vi ska försöka itta en funktion vars graf går genom punkten (14, 16) oc som då ar tillväxtastigeten 8. Det finns förstås oändligt många sådana funktioner. Här är en: f(x) = 16 14x 6 Som ser ut så är Vi ser direkt att denna funktion inte är realistisk eftersom gossen inte kan vara 50 cm när an föds oc närmare 300 cm när an är 40 år. Men punkten (14, 16) ligger på kurvan oc tangenten ar k = 8

6 Derivator 4 Övning.6 (3131). I en fjällby åller man noga koll på snödjupet, som ändras med tiden enligt f(t). Vad innebär det att f (t) är a) positiv b) negativ? a) Det snöar b) Det töar Övning.7 (Ej med) Låt f(t) m3 vara den vattenmängd som på t runnit ut ur en läcka i en damm. a) Vad betyder det att f 0 (5) = 40? b) Vad skulle det betyda att f 0 (t) < 0? a) Det rinner ut 40 m3 / b) Om utrinningen är negativ som i f 0 (t), så måste det är andla om inrinning. Antingen är läckan tätad samtidigt som det regnar, eller regnar det ganska mycket. Men det beror ju förstås på vilken area dammen ar. Övning.8 (3138). En kalkon tas ur ugnen vid temperaturen 85 C. Grafen till f(x) visar ur temperaturen i C avtar med tiden x min. Bestäm oc tolka värdet på f 0 (60) med jälp av den inritade tangenten. Eftersom det andlar om att bestämma k-värdet för en rät linje grafiskt, kan man änga en rätvinklig triangel var som elst under linjen oc mäta upp y oc x. Jag läste av y = 0.4 x 0 53 Kalkonen svalnar med 0.4 C/min vid tiden 60 minuter. Ju närmare rumstemperatur vi kommer desto långsammare avtar temperaturen. Så småningom blir fågeln till en kall kon.

7 . Lösta problem 5 Övning.9 (3140). Folkmängden i en kommun är f(t) personer t år efter år 000. Vad betyder det att a) f() f(0) = 38 c) f (1) = 0 b) f(4) f(0) 4 = 11 d) f (4) = 4 a) Mellan år 000 oc 00 ar det flyttat in eller fötts 8 personer fler än som ar flyttat ut eller dött. b) Befolkningstillväxten under 001 var 0 personer/år c) Medelbefolkningstillväxten under de 4 (eller är det 5) år ar varit 11 personer/år. d) Befolkningstillväxten var negativ år 004. Befolkningen minskade med en astiget av 4 personer/år. Det är är en ganska underlig uppgift eftersom det troligtvis andlar om relativt få personer oc man mäter personer i eltal. Normalt skulle man använda ett stapeldiagram för att visa befolkningsstatistiken oc då använder man väl inte f (x) för att studera tillväxten. Övning.10 (Ej med) På Internet finns flera sajter där man kan se ur världens befolkning ändras. Den juni 008 gör Valle följande avläsningar på en sajt: kl 1:50: kl 1:5: Vilket ungefärligt värde ger detta på N (t) för t = 1 : 50 : 00, om jordens befolkning vid en viss tidpunkt beskrivs av N(t)? En möjliget är = 138 Jordens befolkning stiger med 138 personer/minut. Hur tillförlitligt detta nu kan vara! Övning.11 (Nästan 3136). Ange en funktion vars derivata alltid är positiv. Det första man kommer att tänka på är y = x eller f(x) = x. En funktion som alltid ar derivatan 1. En annan är f(x) = x 3 + x som figuren visar

8 6 Derivator Figuren i säg är förstås inget bevis, men derivatan är f (x) = 3x + 1, som alltid, för alla x, är > 0. Det kommer att bli lätt att bevisa nästa vecka. Övning.1 (Ej med) För en funktion f(x) vet vi att f(3) = 5 oc att f (x) = för alla x. Lös ekvationen f(x) = 0. Om en funktion ar en konstant derivata, som är, måste funktionen vara en rät linje. Denna räta linje ar är k =. Dessutom går den genom punkten (3, 5). Vi kan bestämma linjens ekvation. Först m som vi får genom ekvationen 5 = 3 + m, m = 11 oc vi är klara. Om vi skriver f(x) = x + 11 eller y = x + 11 spelar ingen roll. Så löser vi ekvationen 0 = x + 11 oc får x = 5.5 Övning.13 (31). Låt f(x) = x + 1 oc bestäm a) f(3) c) f(3 + ) f(3) b) f(3 + ) d) f(3+) f(3) a) f(3) = = 10 c) f(3 + ) f(3) = (3 + ) + 1 (3 + 1) = + 6 = ( + 6) b) f(3 + ) = (3 + ) + 1 = d) f(3 + ) f(3) = (3 + 1) Övning.14 (313). Låt f(x) = x + 3x oc bestäm f (4) så är: a) f(4+) f(4) b) Förenkla kvoten c) Låt 0 = 6 + a) f(4 + ) f(4) b) Förenkla kvoten c) Låt 0 = (4 + ) + 3(4 + ) ( ) (4 + ) + 3(4 + ) ( ) 11 + = 11 Övning.15 (314). Bestäm med derivatans definition a) f (3) om f(x) = 0.8x b) f ( 1) om f(x) = x 3x = 11 +

9 . Lösta problem 7 c) f (0) om f(x) = x 3x a) b) c) 0.8(3 + ) = = 4.8 ( 1 + ) 3( 1 + ) (( 1) 3( 1)) = 5 + = ( 1) (0 + ) 3(0 + ) = 3 = 1 3 = 1 Övning.16 (315). Bestäm f (4) om a) f(x) = 5x + 3 b) f(x) = 30 a) Vi vet att y = 5x är en rät linje med k = 5. Lutning, k-värde oc derivata för räta linjer är samma sak. y = 3 är också en rät linje, parallell med x-axeln oc med k-värdet 0. Är det då framfusigt att påstå att f (x) = = 3. Förresten är ju f(x) = 5x + 3 också en rät linje med k = 5. b) Svaret på denna uppgift ingår väl i förra svaret f (4) = 0. Men om man nu skalle vara strikt: = 0 = 0 Vadå? f(x) = 30 då måste även f(x + ) = 30 oc eller varför inte f(a + b + c + d) = 30. Vad man än stoppar in, så får man alltid ut 30. Övning.17 (Ej med) Bestäm med derivatans definition a) T (10) om T(x) = x 0.1x b) s (a) om s(t) = 3t + t c) g (b) om g(x) = 1 x a) b) (10 + ) 0.1(10 + ) ( ) = = (a + ) + (a + ) (3a + a ) (3 + + a) = = 3+a+ = a+3 a + a

10 8 Derivator c) 1 (b+) 1 b b + b = 1 ( + b) = b Övning.18 (Ej med) Bestäm med derivatans definition f () om a) f(x) = x b) f(x) = x + d) Hur påverkas derivatan om vi adderar en konstant till en funktion? a) b c) (x + ) x x + x = x + = x (x + ) + (x + ) x + = x + x (x + ) + k (x + k) x + = x + x d) Derivatan påverkas som synes inte alls = x = x Övning.19 (318). Anna ar kopplat en generator till sin motionscykel. Energin som generatorn ger ut under de 30 första sekunderna ges av E = 0.5t + 50t, där t är tiden i sekunder oc E energin i joule. Effekt är ett mått på ur snabbt energin ändras. Bestäm cykelns effekt efter 10 sekunder. Här andlar det om förändring i tiden. Till förändring är alltid kopplad en astiget. Hastiget är ett förållande mellan till exempel meter oc tid. Här andlar det dock om ett förållande mellan energi oc tid. Alltså är det derivatan av E(t) vid tiden 10 sekunder som ska beräknas. 0.5(10 + ) + 50(10 + ) ( ) = = 60 Övning.0 (4). Visa med derivatans definition att funktionen f(x) = kx ar en derivata som i alla punkter ar värdet k. k(x + ) kx k = x + x = k Övning.1 (Ej med) Gränsvärdet är derivatan av någon funktion f i punkten a. Bestäm f oc a. a) ( + ) 3 8

11 . Lösta problem 9 b) a) f(x) = x 3 oc a = b) f(x) = x oc a = Övning. (31). Nadia föreslår en egen definition av derivatan: f (a) = f(a) f(a ) Ger även denna derivatans värde? Om man närmar sig x från öger eller vänster spelar för deriverbara funktioner ingen roll. Övning.3 En sekant med lutningen 4 går genom punkterna A oc B på kurvan y = x. Vilka värden ar punkten B om A ar koordinaterna (1, 1) En linje som går genom punkten (1, 1) oc ar k-värdet k = 4 ar ett m-värde 1 = m, m = 3. Detta leder till sekantens ekvation y = 4x Figur.3: Vi ser att sekanten skär kurvan på två ställen oc vi är på jakt efter den andra skärningspunkten. Vi får ett ekvationssystem { y = x y = 4x 3 y är uttryckt på två sätt, vilket leder till andragradsekvationen x = 4x 3, med rötterna x 1 = 1 (ar vi redan) oc x = 3. När x = 3 är y = 9. Punkten vi söker är då (3, 9)