Vektorgeometri för gymnasister
|
|
- Gerd Arvidsson
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II
2 Innehåll Repetition: Linjära avbildningar Matrisrepresentation av linjära avbildningar Volymförändring vid linjära avbildningar Sammansättning av linjära avbildningar 8 mars (32)
3 Repetition: Linjära avbildningar En avbildning av rummets (planets) vektorer är en regel F som till varje vektor x i rummet (planet) ordnar en entydigt bestämd vektor F(x), kallad bilden av x genom F. En avbildning av planets vektorer skulle kunna vara Projicera varje vektor ortogonalt på en given rät linje L genom origo (avbildningen P i figuren nedan) Spegla varje vektor i en given rät linje L genom origo (avbildningen S i figuren nedan) Rotera varje vektor ett halvt varv runt origo (avbildningen R nedan). S(x) R(x) 180 O P (x) x L Projektionen, speglingen och rotationen ovan är alla exempel på linjära avbildningar. 8 mars (32)
4 Definition (Linjär avbildning) En avbildning F av rummets (planets) vektorer kallas linjär, om det (i) för alla vektorer x 1 och x 2 i rummet (planet) gäller F(x 1 + x 2 ) = F(x 1 ) + F(x 2 ), (ii) för varje vektor x i rummet (planet) och varje reellt tal λ gäller F(λx) = λf(x). Vi kan ersätta villkoren (i) och (ii) i ovanstående definition, med ett enda villkor: För varje par av vektorer x 1 och x 2 och varje par av reella tal λ 1 och λ 2 gäller att F(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 F(x 1 ) + λ 2 F(x 2 ). Informellt: Linjärkombinationer avbildas på linjärkombinationer. 8 mars (32)
5 Matrisrepresentation av linjära avbildningar Under förra föreläsningen tittade vi på ett antal exempel på linjära avbildningar. Vad de alla hade gemensamt var att de kunde representeras med hjälp av matriser: För en linjär avbildning F visade det sig att bilden y = F(x) av en vektor x kan fås genom att beräkna en matrisprodukt Y = AX, där X och Y är kolonnmatriser som svarar mot x respektive y, och där A är en 2 2- eller en 3 3-matris, beroende på om F är en avbildning av planets eller rummets vektorer. Vi återanknyter till ett par av dessa exempel nedan. 8 mars (32)
6 Exempel (Spegling i en rät linje) För den linjära avbildning S som speglar planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0, så fann vi att S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Sambandet mellan x = (x 1, x 2 ) och S(x) = (y 1, y 2 ) kan skrivas på matrisform: ( ) y1 = 1 ( ) ( ) 5 12 x1. y x 2 Alltså kan S representeras av matrisen A = 1 ( ) S(x) = (y 1, y 2) L O x = (x 1, x 2) 8 mars (32)
7 Exempel (Ortogonal projektion på ett plan) För den linjära avbildning P som projicerar rummets vektorer ortogonalt mot planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0, så är P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. På matrisform: y 1 y 2 = x x 2, 11 y x 3 d.v.s. P representeras av A = n x = (x 1, x 2, x 3) P (x) = (y 1, y 2, y 3) 8 mars (32)
8 Vi konstaterade förra gången att vi har att göra med en linjär avbildning, så fort vi kan representera den med en matris, d.v.s. OM en avbildning kan representeras av en matris, SÅ är den linjär. Det omvända förhållandet visar sig också gälla, d.v.s. OM en avbildning är linjär, SÅ kan den representeras av en matris. Sats För varje linjär avbildning F av rummets vektorer gäller att det i en given bas finns en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att likheten y = F(x) på matrisform motsvaras av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna F(x) respektive x. I boken bevisas denna sats i det fall, då F är en avbildning av rummets vektorer. Vi ska genomföra beviset i fallet då F är en avbildning av planets vektorer. Matrisen A blir då istället av typ mars (32)
9 Bevis av satsen (för planets vektorer). Låt (e 1, e 2 ) vara en bas för planets vektorer. Säg att x = (x 1, x 2 ) och y = F(x) = (y 1, y 2 ) i denna bas, vilket alltså betyder att x = x 1 e 1 + x 2 e 2 och y = y 1 e 1 + y 2 e 2. Även F(e 1 ) och F(e 2 ) är vektorer i planet, så de har också varsin uppsättning av koordinater i den givna basen, säg F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ), vilket är samma sak som att F(e 1 ) = a 1 e 1 + a 2 e 2 och F(e 2 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2. Nu blir y = F(x) = F(x 1 e 1 + x 2 e 2 ) = x 1 F(e 1 ) + x 2 F(e 2 ) = x 1 (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) + x 2 (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = (a 1 x 1 + b 1 x 2 )e 1 + (a 2 x 1 + b 2 x 2 )e 2. Men vi har ju också y = y 1 e 1 + y 2 e 2, och eftersom koordinaterna för en vektor är entydigt bestämda i en given bas, så måste { ( ) ( ) ( ) y1 = a 1 x 1 + b 1 x 2 y1 a1 b = 1 x1. y 2 = a 2 x 1 + b 2 x 2 y 2 a 2 b 2 x 2 ( ) a1 b Därmed representeras F av A = 1, och satsen är bevisad. a 2 b 2 8 mars (32)
10 Om vi studerar beviset mer ingående, ser vi att det ger oss en metod att plocka fram matrisen till en linjär avbildning. Vi ser att vi fick matrisen ( ) a1 b A = 1, a 2 b 2 vars kolonner består precis av koordinaterna för F(e 1 ) = (a 1, a 2 ) och F(e 2 ) = (b 1, b 2 ). Motsvarande gäller också för avbildningar av rummets vektorer. Med andra ord: Sats Om den linjära avbildningen F av rummet representeras av matrisen A i en given bas (e 1, e 2, e 3 ), så utgörs A:s kolonner av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ), d.v.s. bilderna av basvektorerna genom F. Exempel Om en linjär avbildning F av rummets vektorer representeras av matrisen A = i någon bas (e 1, e 2, e 3 ), så är F(e 1 ) = (1, 3, 0), F(e 2 ) = ( 6, 3, 8) och F(e 3 ) = ( 1, 0, 1) i denna bas. 8 mars (32)
11 Exempel (Spegling i en rät linje) Vi ska använda föregående sats för att på nytt plocka fram den matris A som representerar speglingen S av planets vektorer i linjen L: 2x 1 + 3x 2 = 0. Vi behöver då veta koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ), och tar till den formel som härleddes förra gången, d.v.s. S(x) = 2λv x, där v är en riktningsvektor för L och λ = (x v)/ v 2. Som riktningsvektor valde vi v = ( 3, 2) (så därmed blir v 2 = 13). För e 1 = (1, 0) får vi därmed vilket ger λ = e 1 v v 2 = 1 ( 3) = , S(e 1 ) = 2λv e 1 = ( ) ( 3, 2) (1, 0) = ( 13, ). 8 mars (32)
12 Anmärkning Observera att vi måste räkna ut ett nytt värde på λ när vi beräknar S(e 2 ); vi kan inte använda samma värde på λ som när vi beräknade S(e 1 ). Detta beror på att λ i den allmänna formeln S(x) = 2λv x beror av den vektor x som vi stoppar in i S, i och med att λ = (x v)/ v 2. 8 mars (32) På samma sätt får vi för e 2 = (0, 1) att och därmed λ = e 2 v v 2 = 0 ( 3) = , S(e 2 ) = 2λv e 2 = ( 3, 2) (0, 1) = ( 13, 5 13 ). Sammanfattningsvis: S(e 1 ) = ( 5 13, ) och S(e 2) = ( 12 13, 5 13 ). Enligt satsen ovan kan vi nu bilda matrisen A för S i den givna basen (e 1, e 2 ), genom att som kolonner i matrisen välja koordinaterna för S(e 1 ) och S(e 2 ): A = ( 5/13 12/13 12/13 5/13 ) = 1 13 ( )
13 Exempel Vi använder samma metod som i förra exemplet, för att än en gång plocka fram matrisen för projektionen P av rummets vektorer på planet x 1 + 3x 2 x 3 = 0. Den allmänna formeln är här P(x) = x λn, där n är en normalvektor till planet och λ = (x n)/ n 2. Här har vi n = (1, 3, 1) och därmed n 2 = 11. För e 1 = (1, 0, 0) blir vilket ger λ = e 1 n n 2 = ( 1) 11 = 1 11, P(e 1 ) = e 1 λn = (1, 0, 0) (1, 3, 1) = ( 11, 3 11, 1 11 ). 8 mars (32)
14 För e 2 = (0, 1, 0) blir vilket ger λ = e 2 n n 2 = ( 1) 11 = 3 11, P(e 2 ) = e 2 λn = (0, 1, 0) (1, 3, 1) = ( 11, 2 11, 3 11 ), och med samma metod blir P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, ). Matrisen för P i basen (e 1, e 2, e 3 ) kommer att som sina kolonner ha koordinaterna för P(e 1 ) = ( 10 11, 3 11, 1 11 ), P(e 2) = ( 3 11, 2 11, 3 11 ) och P(e 3 ) = ( 1 11, 3 11, ): 10/11 3/11 1/11 A = 3/11 2/11 3/11 = /11 3/11 10/ mars (32)
15 Exempel Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en positivt orienterad ON-bas för rummet. Låt R vara den avbildning, som roterar varje vektor i rummet 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Man kan visa e 3 e 2 att R är linjär; vi söker dess matris. e 1 Vi behöver veta koordinaterna för R(e 1 ), R(e 2 ) och R(e 3 ), eftersom dessa kommer att utgöra matrisens kolonner. Med ledning av figuren ovan ser vi att om e 1 roteras 90 moturs (sett från spetsen av e 3 ), så får vi e 2 som resultat, d.v.s. R(e 1 ) = e 2 = (0, 1, 0). om vi roterar e 2 på samma sätt får vi en vektor som pekar åt rakt motsatt håll som e 1. Alltså är R(e 2 ) = e 1 = ( 1, 0, 0). eftersom e 3 tjänstgör som rotationsaxel, så händer ingenting med denna vektor när den roteras; R(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Detta ger oss matrisen A = mars (32)
16 Exempel Låt I vara den avbildning av rummets vektorer som definieras av I(x) = x för varje vektor x, d.v.s. varje vektor avbildas på sig själv. Trots att denna avbildning gör ingenting, är den nog så viktig och har därför fått ett eget namn: identitetsavbildningen. Det är lätt att se att identitetsavbildningen är linjär. Alla vektorer avbildas ju på sig själva, så därför är I(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = λ 1 I(x 1 ) + λ 2 I(x 2 ). Eftersom I är linjär, kan den representeras av en matris. Hur ser denna ut? 8 mars (32)
17 Låt (e 1, e 2, e 3 ) vara en bas för rummets vektorer. Nu avbildar ju I alla vektorer på sig själva, så speciellt måste I(e 1 ) = e 1 = (1, 0, 0), I(e 2 ) = e 2 = (0, 1, 0) och I(e 3 ) = e 3 = (0, 0, 1). Enligt det sätt på vilken man plockar fram matrisen för en linjär avbildning, måste därmed I representeras av enhetsmatrisen E = Lägg märke till att det inte spelar någon roll hur basen (e 1, e 2, e 3 ) ser ut; matrisen för I blir enhetsmatrisen i vilket fall som helst! (Senare kommer vi att se att en matris för en linjär avbildning i regel ser annorlunda ut, beroende på vilken bas man använder sig av. Men detta gäller alltså inte för identitetsavbildningen.) 8 mars (32)
18 Volymförändring vid linjära avbildningar Låt v 1, v 2 och v 3 vara tre vektorer i rummet. Då spänner dessa upp en parallellepiped (vars volym är noll, om vektorerna råkar v 2 vara linjärt beroende). v 1 Om F är en linjär avbildning av rummet, så spänner även F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 ) upp en parallellepiped i rummet (vars volym blir noll, om dessa tre vektorer är linjärt beroende). Eventuellt F (v 3) ändras även orienteringen; om systemet (v 1, v 2, v 3 ) från början är positivt orienterat, kan (F(v 1 ), F(v 2 ), F(v 3 )) bli F (v 1) negativt orienterat. F (v 2) Kan något sägas om volymen av den parallellepiped som spänns upp av v 1, v 2 och v 3, jämfört med den som spänns upp av deras motsvarande bilder F(v 1 ), F(v 2 ) och F(v 3 )? Och finns ett sätt att avgöra om orienteringen ändras (som den t.ex. gör i figurerna ovan)? 8 mars (32) v 3
19 Vi påminner om att volymfunktionen V (u 1, u 2, u 3 ) anger volymen (sånär som på tecken) av den parallellepiped som spänns upp av u 1, u 2, u 3 (och att V (u 1, u 2, u 3 ) bestäms genom att beräkna den determinant, vars kolonner ges av koordinaterna för u 1, u 2 och u 3 ). Man kan avgöra om systemet (u 1, u 2, u 3 ) är positivt eller negativt orienterat, genom att undersöka ifall V (u 1, u 2, u 3 ) är större eller mindre än 0. Om V (u 1, u 2, u 3 ) = 0 så är u 1, u 2, u 3 linjärt beroende. Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet, och antag att F i någon bas representeras av matrisen A. Låt u 1, u 2, u 3 vara tre vektorer i rummet. Då gäller V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) = deta V (u 1, u 2, u 3 ), d.v.s. volymen av parallellepipeden ändras med en faktor som är lika med determinanten av den matris som representerar F. Anmärkning Observera att om deta < 0, så kommer V (u 1, u 2, u 3 ) och V (F(u 1 ), F(u 2 ), F(u 3 )) att ha olika tecken (såvida inte någon av dem är noll). I så fall ändrar F på orienteringen. 8 mars (32)
20 Exempel Vektorerna u = (1, 2, 1), v = (2, 0, 2) och w = ( 1, 2, 1) spänner upp en parallellepiped med volymen 8, ty med hjälp av Sarrus regel får vi att V (u, v, w) = = 8. Antag att F är en linjär avbildning av rummet som representeras av matrisen A = Vilken volym har den parallellepiped som spänns upp av F(u), F(v) och F(w)? Lösning. Eftersom deta = 6 så ger föregående sats direkt att V (F(u), F(v), F(w)) = 6 ( 8) = 48, d.v.s. volymen är 48. Notera att V (u, v, w) och V (F(u), F(v), F(w)) har samma tecken (båda är negativa), så F ändrar inte på orienteringen. 8 mars (32)
21 Alternativ lösning. En mer omständlig lösning är att först beräkna F(u), F(v) och F(w), och därefter bestämma V (F(u), F(v), F(w)): Om kolonnmatriserna X, Y och Z representerar vektorerna u, v respektive w, så får vi koordinaterna för F(u), F(v) och F(w) genom att beräkna matrisprodukerna AX, AY respektive AZ. Eftersom AX = = 6, så är F(u) = (4, 6, 4). På samma sätt får vi att F(v) = (8, 4, 4) och F(w) = (2, 4, 4). Detta ger att V (F(u), F(v), F(w)) = = 48, med hjälp av Sarrus regel. 8 mars (32)
22 Exempel Antag att P är en projektion (ortogonal eller sned) av rummet på ett givet plan. Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer (d.v.s. de spänner upp en parallellepiped med positiv volym). Vad kan sägas om V (P(u), P(v), P(w)), d.v.s. vilken volym har den projicerade parallellepipeden? u v w 8 mars (32)
23 Eftersom P är en projektion på ett plan, så kommer P(u), P(v) och P(w) alla ligga i detta plan. Dessa tre vektorer blir alltså linjärt beroende, så V (P(u), P(v), P(w)) = 0. P (u) P (v) P (w) Men om P representeras av matrisen A, så vet vi från föregående sats att V (P(u), P(v), P(w)) = deta V (u, v, w). Här är V (u, v, w) 0, ty u, v, w var ju linjärt oberoende. Men vänsterledet är ju noll. Alltså måste deta = 0. Slutsats: En projektion (ortogonal eller sned) av rummets vektorer på ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 0. 8 mars (32)
24 Exempel Vilket samband råder mellan V (u, v, w) och V (S(u), S(v), S(w)), om S är en spegling av rummets vektorer i ett givet plan? w v u S(w) S(v) S(u) 8 mars (32)
25 Volymen av parallellepipeden ändras inte vid en spegling. Däremot ändras orienteringen; om systemet (u, v, w) från början är positivt orienterat, så kommer (S(u), S(v), S(w)) att bli negativt orienterat. Alltså måste V (S(u), S(v), S(w)) = V (u, v, w). Om matrisen A representerar S, så ger formeln därmed att deta = 1. V (S(u), S(v), S(w)) = deta V (u, v, w), Slutsats: En spegling av rummets vektorer i ett plan, representeras alltid av en matris med determinanten 1. Att fundera på: Vad kan sägas om deta, om A är matrisen för en rotation? 8 mars (32)
26 Sammansättning av linjära avbildningar I många situationer har man flera avbildningar som får operera på en vektor i tur ordning: Om vi t.ex. har två avbildningar F och G, och om x är en vektor i rummet, så kan vi först beräkna y = F(x), och därefter z = G(y) = G(F(x)). Den avbildning som avbildar x på G(F(x)) kallas för sammansättningen av F och G, och betecknas G F (vilket uttalas G boll F ). Alltså har vi definitionsmässigt att G F(x) = G(F(x)). Observera att notationen G F läses från höger till vänster, d.v.s först appliceras F, därefter G ( F följt av G ). Ordningen är viktig; i allmänhet är nämligen F G G F. Om både F och G är linjära, så visar sig G F också vara linjär. Alltså kan G F representeras av en matris. Antag att matriserna A, B och C representerar F, G respektive G F. Då motsvaras y = F(x) och z = G(y) av matrisekvationerna Y = AX respektive Z = BY, medan z = G(F(x)) = G F(x) motsvaras av Z = CX. Av Z = BY = B(AX) = (BA)X följer att C = BA. 8 mars (32)
27 Vi har bevisat följande sats: Sats Låt F och G vara linjära avbildningar av rummet, och antag att de i någon bas representeras av matriserna A respektive B. I samma bas representeras då sammansättningen G F av matrisen BA. Exempel Låt S 1 vara speglingen i planet Π 1 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0, medan S 2 är speglingen i planet Π 2 : 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 0. Vi ska bestämma matriserna för de sammansatta avbildningarna S 1 S 2 respektive S 2 S 1. För en spegling i ett plan gäller att en vektor x avbildas på x 2λn, där n är en normalvektor till planet, och där λ = (x n)/ n 2 (se föregående föreläsning). Detta ger alltså S 1 (x) = x 2λ 1 n 1 och S 2 (x) = x 2λ 2 n 2, där n 1 = (1, 2, 3) och n 2 = (3, 2, 1) är normalvektorer till respektive plan, och där λ 1 = (x n 1 )/ n 1 2 och λ 2 = (x n 2 )/ n mars (32)
28 Det visar sig (övning!) att S 1 och S 2 representeras av A 1 = respektive A 2 = Detta ger att S 1 S 2 representeras av A 1 A 2 = , medan S 2 S 1 representeras av A 2 A 1 = Lägg märke till A 1 A 2 A 2 A 1, så S 1 S 2 och S 2 S 1 är inte samma avbildning. (Man kan visa att S 1 S 2 och S 2 S 1 geometriskt kan tolkas som rotationer runt den räta linjen (x, y, z) = (t, 2t, t) med samma vinkel (cos 1 (1/49) 89 ), men åt olika håll (den ena medurs, den andra moturs), sett från spetsen av linjens riktningsvektor (1, 2, 1).) 8 mars (32)
29 Exempel Låt S och P vara en spegling respektive en ortogonal projektion i ett och samma plan. Hur kan vi tolka de sammansatta avbildningarna (a) P P (vi projicerar två gånger efter varandra)? (b) S S (vi speglar två gånger efter varandra)? (c) S P (först projicerar vi, sedan speglar vi)? (d) P S (först speglar vi, sedan projicerar vi)? Lösning (a) Varje vektor som redan ligger i planet projiceras på sig själv. Därför blir P P(x) = P(P(x)) = P(x), d.v.s. P P = P. Om matrisen A representerar P, så betyder detta att A 2 = A. (b) När vi speglar två gånger efter varandra kommer en vektor x att avbildas på spegelbilden av spegelbilden av x, d.v.s. på sig själv: S S(x) = x. Om B är matrisen för S, så blir därmed B 2 = E enhetsmatrisen. 8 mars (32)
30 (c) Alla vektorer som ligger i planet är lika med sin egen spegelbild. Detta ger att S P(x) = S(P(x)) = P(x), d.v.s. S P = P. För motsvarande matriser gäller därmed BA = A. (d) En vektor har samma projektion på planet, som dess spegelbild har, se figuren. x P (S(x)) = P (x) S(x) Alltså är även P S = P, så för motsvarande matriser gäller alltså AB = A. Sammanfattningsvis: Om P är en ortogonal projektion på ett plan och S en spegling i samma plan, så gäller P S = S P = P P = P och S S = I, där I betecknar identitetsavbildningen, som ju är den avbildning som avbildar varje vektor på sig själv; I(x) = x. 8 mars (32)
31 Exempel I ett tidigare exempel från denna föreläsning konstaterade vi att A = är matrisen (i den positivt orienterade ON-basen (e 1, e 2, e 3 )) för den linjära avbildning R som roterar varje vektor runt e 3 med 90 moturs, sett från spetsen av e 3. Om vi multiplicerar A med sig själv, får vi matrisen A 2 = Detta är matrisen för R R; rotation ett halvt varv runt e 3. 8 mars (32)
32 Avbildningen R R R betyder tre på varandra följande rotationer om 90 vardera, moturs runt e 3, d.v.s. sammanlagt en rotation 90 medurs, sett från spetsen av e 3. Dess matris är A 3 = Avbildningen R R R R betyder rotation ett helt varv. Alltså är R R R R = I identitetsavbildningen och följaktligen A 4 = E enhetsmatrisen. 8 mars (32)
Vektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merLinjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.
Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,
Läs mer17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3
192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök
Läs mere = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär
Linjära avbildningar II Förra gången visade vi att givet en bas i rummet, e = (e 1, e 2, e 3 ), kan en godtycklig linjär avbildning F : R 3 R 3 representeras av en matris: Om vi betecknar en vektor u:s
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merLinjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merVeckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT Vi inleder den tredje veckan med att gå igenom begreppen determinant och invers matris som vi inte hann med i vecka, se veckoblad för övningar etc på dessa avsnitt. Därefter
Läs merFöreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt
Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1
Läs mer16. Linjära avbildningar
6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs mer1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.
KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs mer19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN
9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar
Läs merDetta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs mer16. Linjära avbildningar
66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merNovember 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)
Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs mer14. Minsta kvadratmetoden
58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merx 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.
Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten
Läs mer2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs merFacit/lösningsförslag
Facit/lösningsförslag 06-08- Låt l vara linjen med parameterform x, y, z 0 s, mellan planet x y z och planet z 0 och låt l vara skärningslinjen a) Skriv l på parameterform b) Beräkna avståndet mellan l
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merVektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.
Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 9
Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merLinjär Algebra F14 Determinanter
Determinanter Basbyte Linjär Algebra F14 Determinanter Pelle 2016-02-29 Determinanter 2 2-matriser ( ) a11 a A = 12 = (A a 21 a 1 A 2 ) 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = det(a 1 A 2 ) = a 11 a 22 a 12 a
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merLinjär algebra på några minuter
Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen
Läs merStora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)
Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet
Läs merProvräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.
LINK OPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Provräkning, Linjär Algebra, vt 6. Lämna in lösningar för rättning senast 8. onsdagen den 7 april 6. Lämnas in antigen i mitt fack på MaI eller direkt
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs mer