A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

Transkript

1 SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober Låt A = [ ] (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T (3 p) Lösningsförslag a) Vi ställer upp systemets utvidgade matris och för den till trappstegsform: R 2 2R Vi ser att sista kolumnen visar att x 3 är en fri variabel och inför parametern t = x 3 som ger att x 2 = 4t och 4x 1 = 2x 2 7t, dvs x 1 = 1(2 4t 7t) = 1t 4 4 Alla lösningar ges alltså av x 1 = 1t, 4 x 2 = 4t, där t R x 3 = t b) På motsvarande sätt som i deluppgift a får vi här ( R 2 2R Inför vi även här t = x 3 som parameter får vi att x 2 = 7 + 4t och 4x 1 = 5 + 2x 2 7t, dvs x 1 = 1 (9 + t) Alla lösningar ges alltså av 4 x 1 = 9 + 1t, 4 4 x 2 = 7 + 4t, där t R x 3 = t 2 Låt V vara skärningen mellan de två hyperplan i R 4 som ges av { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 1 x 2 x 3 x 4 = (a) Bestäm en bas för delrummet V (3 p) (b) Hitta ett ekvationssystem vars lösningar utgör delrummet W = V (3 p) Lösningsförslag (a) Skärningen mellan de två hyperplanen består av alla punkter (x 1, x 2, x 3, x 4 ) som tillhör båda planen, dvs uppfyller planens ekvationer { x1 + x 2 + x 3 + x 4 =, x 1 x 2 x 3 x 4 = )

2 3 Låt Detta är ett linjärt ekvationssystem som vi kan lösa med gausseliminering, R 2 R R R 1 R Från slutschemat ser vi att vi kan införa exempelvis s = x 3 och t = x 4 som parametrar och hela lösningsmängden kan då uttryckas som x 1 x 2 x 3 = s t s = s t 1 (s, t parametrar) x 4 t 1 Från detta kan vi avläsa att alla lösningar (vektorerna i V ) kan skrivas som linjärkombinationer av vektorerna u 1 = (, 1, 1, ) och u 2 = (, 1,, 1), dvs en bas för V är {(, 1, 1, ), (, 1,, 1)} (b) I deluppgift (a) konstaterade vi att vektorerna i delrummet V alla kan skrivas som linjärkombinationer av u 1 = (, 1, 1, ) och u 2 = (, 1,, 1), dvs su 1 + tu 2 där s och t är skalärer Om en vektor w är ortogonal mot u 1 och u 2, dvs w u 1 = w u 2 =, så är w även vinkelrät mot alla vektorer i V eftersom w (su 1 + tu 2 ) = s w u 1 + t w u 2 = s + t = Detta gör att delrummet W består av alla vektorer w = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) som uppfyller { w u1 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (, 1, 1, ) = x 2 + x 3 =, där a är en reell parameter w u 2 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (, 1,, 1) = x 2 + x 4 = A = 3 a 4 1, 2 5 (a) Bestäm egenvärdena till A och egenrum till varje egenvärde (3 p) (b) För vilka val av a är A diagonaliserbar? (2 p) (c) Bestäm för a = en inverterbar matris P och en diagonal matris D sådana att A = P DP 1 (1 p) Lösningsförslag (a) Egenvärdena får vi genom att lösa den karakteristiska ekvationen: (3 λ) a det(a λi) = (4 λ) 1 2 (5 λ) = (3 λ)(λ 2 9λ + 18) = (3 λ)(λ 3)(λ 6) =

3 Alltså har matrisen A två egenvärden, λ 1 = 6 och λ 2 = 3 (dubbelrot till ekvationen) Låt E λ beteckna egenrummet som hör till egenvärdet λ Egenrummet som hör till λ 1 = 6 dvs E 6 bestämmer vi genom att lösa (A 6I) u = dvs Detta ger systemet Härav 3 a x + ay = 2y + z = 2y z = x y z = 3x + ay = 2y + z = = Därmed x y z = t a 3 6 E λ1 = span( a 3 6 ) Egenrummet som hör till λ 2 = 3 dvs E 3 bestämmer vi genom att lösa (A 3I) u = dvs a 1 1 x y = 2 2 z Detta gör systemet Två fall: a och a = ay = y + z = 2y + 2z = z + y = ay = = Om a får vi y =, z = och x = t Härav x y = t 1 Därmed E λ2 = span( 1 ) z om a Notera att dim(e λ2 ) = 1 i det här fallet Om a = har vi systemet Därmed E λ2 = span( 1 z + y = = = Härav x = t, y = s och z = s dvs x y = t 1 + s 1 om a = z 1, 1 ) om a = Notera att dim(e λ2 ) = 2 i det här fallet 1 (b) En matrisen av typen n n är diagonaliserbar om och endast om k dim(e λ k ) = n I vårt fall är dim(e λ1 ) + dim(e λ2 ) = 3 endast om a = Enligt a-delen är matrisen diagonaliserbar endast om a =

4 (c) Matrisen P består av tre linjärt oberoende egenvektorer; D har på diagonalen motsvarande egenvärden Exempelvis P = och D = Låt A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 vara en 3 3-matris Skriv A ij för determinanten av den 2 2-delmatrisen där man har strukit rad i och kolonn j Visa att följande formel alltid gäller: a 33 det(a) = A 11 A 22 A 12 A 21 Lösningsförslag Utveckling av höger led ger A 11 A 22 A 12 A 21 = a 22 a 23 a 32 a 33 a 11 a 13 a 31 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 12 a 13 a 32 a 33 = (a 22 a 33 a 23 a 32 ) (a 11 a 33 a 13 a 31 ) (a 21 a 33 a 23 a 31 ) (a 12 a 33 a 13 a 32 ) = a 11 a 22 a a 13 a 23 a 31 a 32 a 11 a 23 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 33 a 12 a 21 a 2 33 a 13 a 23 a 31 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 33 = a 33 (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ) a 11 a 12 a 13 = a 33 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Den sista likheten följer av definitionen av en 3 3 determinant 5 En reflektionen i R 3 är en linjär avbildning r u ( x) = x 2( u x) u, där u är en normalvektor av längd 1 till reflektionsplanet Låt x = (6 p) (a) Bestäm en vektor u av längd 1 sådan att r u ( x) är en positiv multippel av e 1 = [ 1 ] T (4 p) (b) Visa att standardmatrisen till en reflektion alltid är en ortogonal matris (2 p) Lösningsförslag a) Eftersom reflektioner bevarar längder av vektorer så ser vi att den sökta reflektionen måste avbilda x på x e 1 = [ 3 ] T Vi inser geometriskt att reflektionen vi söker är reflektionen genom planet som halverar vinkeln mellan x och e 1 och har normalvektor x x e 1 :

5 Detta ger normalvektorn = Vi delar vektorn genom dess längd och får normalvektorn u = Vi verifierar att vi har räknat rätt: r u ( 1 2 ) = = = b) Vi kan skriva r u ( x) = I x 2( u)( u x) = I x 2( u u T ) x = (I 2 u u T ) x Därav ges standardmatrisen till r u som I 2 u u T, en symmetrisk matris Dessutom gäller för alla reflektioner f u (f u ( x)) = x Alltså har vi att MM T = MM = I, vilket innebär att M är ortogonal 6 En matris A kallas för skevsymmetrisk om A T = A Antag att A är en skevsymmetrisk n n-matris Bestäm alla vektorer v i R n så att (A v) v = (6 p) Lösningsförslag Om vi betraktar vektorn v som en kolumnvektor så kan skalärprodukterna (Av) v och v (Av) skrivas i matrisform som (Av) v = (Av) T v = v T A T v, v (Av) = v T Av, för alla vektorer v Använder vi att A är skevsymmetrisk, dvs A T = A, så har vi att (Av) v = v T A T v = v T ( A)v = v T Av = v (Av) = (Av) v där vi använt att skalärprodukten är kommutativ, dvs u v = v u, i den sista likheten Adderar vi (Av) v till båda led i sambandet (Av) v = (Av) v får vi att 2(Av) v = och detta visar att vi har att (Av) v = för alla vektorer v