Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR"

Frida Sundström
för 7 år sedan
Visningar:

1 ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt ( om själva är negativt då är ett positivt tal) T e 5 ( 5) 5 Detta anger vi i nedanstående definition: om Definition om < Geometrisk tolkning: i) På en reell tallinje är lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) och ii) På en reell tallinje är y om y y ( y) y om < lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) och y [oberoende av vilket av talen och y är störst] Eempelvis om 4 och y 6 har vi y avståndet mellan 4 och 6 Avståndet Egenskaper: A A om och endast om A + y + y, y + y I A gäller likhetstecken om och endast om och y har samma tecken Eempelvis, om och y 5 då gäller + y 8 + y, medan för och y + 5 gäller + y < + y 8 Sida av 9

2 A4 A5 y y A n n (I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla k har samma tecken) A7 y + y Vi kan skriva tillsammans A och A7 på följande sätt: A8 y + y + y Eempel ( a ) a ( a ) om ( a ) dvs om a om ( a ) < dvs om a < Eempel Uttrycket för alla ( eftersom ) T e för 5 blir (-5) 5 5 Alltså endast om medan om < Viktigt: I allmänt gäller om om < Eempel ( 4 4 ( om 4 om < 4 Grafen till funktionen om y eller y har vi nedan om < y - y f ( ) om f ( ) Eftersom f ( ) kan vi rita grafen till funktionen f ( ) om f ( ) < y f ( ) genom att först rita grafen till y f () och därefter spegla i aeln den delen av grafen som ligger under -aeln (här gäller f ( ) < ) Uppgift Rita grafen till följande funktioner a) y 4 b) y 4 c) y + 4 Svar: Sida av 9

3 a) b) c) EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP Några enkla ekvationer av följande typ: f ( ) a där a är en konstant kan vi lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet) a) Ekvationen a där a > har lösningar ± a a) a) Ekvationen a där a < har ingen lösning a4) Ekvationen f ( ) a där konstanten a > ä är ekvivalent med två ekvationer f ( ) ± a a5) f ( ) f ( ) a6) Ekvationen f ( ) a där konstanten a < har ingen lösning Uppgift Lös följande ekvationer a) b) c) 5 d) e) 5 f) 8 g) + 8 Lösning: a) ± b) c) ingen lösning d) ± ±,två lösningar e) 5 5 ± 5 ± 5 Härav Alltså, två lösningar 4 f) g) ingen lösning Några enkla olikheter av följande typer: f ( ) a, där a är en konstant: f ( ) < a, f ( ) > a f ( ) a och Sida av 9

4 Först några olikheten om a > (vanligt fall): 4 b) Olikheten < a där a > har lösning a < < a < a a {På samma sätt har olikheten a a där a > lösning a a } b) Olikheten > a där a > satisfieras av alla som uppfyller < a eller > a > a < a > a a a Några eempel med a < eller a : b) Olikheten < har ingen lösning ( eftersom ) b4) Olikheten satisfieras av alla reella b4) Olikheten har eakt en lösning Uppgift Lös följande olikheter a) b) c) 5 < d) 5 e) + 9 Lösning: a) Svar: Alternativt skrivsätt: Intervall [-,] b) Svar: eller Alternativt skrivsätt: (, ] [, ) c) Lösning: 5 < 5 5 < < 5 Vi har faktiskt två enkla olikheter 5 < och < 5 som vi kan lösa separat och därefter bestämma gemensam lösning Men, den här gången, löser vi båda ekvationer samtidigt: 5 < < 5 ( addera ) < < 8 (dela med ) < < 4 Svar: < < 4 Alternativt skrivsätt: Intervall (, 4) d) Svar: eller 4 Alternativt skrivsätt: (, ] [4, ) e) Lösning: Ingen lösning eftersom för alla Svar: Ingen lösning ALLMÄNT FALL Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t e av typen f ( ) g( ) eller f ( ) + g( ) < h( ) ) löser vi genom att först analysera varje absolutbelopp för sig Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när varierar från till + Sida 4 av 9

5 5 Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp ( Anmärkning Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer) Uppgift 4 Lös följande ekvationer a) + 4 b) Lösning: Lösning a) Vi har ( ) om < och + ( ) om Därför betraktar vi två fall Fall < och Fall Fall Om < blir ekvationen ( ) (Vi måste kontrollera om uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning) Eftersom satisfierar villkoret A, <, så har vi en lösning Fall För kan ekvationen skrivas ( ) ingen lösning i andra fallet Svar a) Svar b) 6, / Uppgift 5 a) Lös följande ekvation + 4 b) Rita grafen till funktionen f ( ) 4 Lösning a) Vi har ( ) om < och + ( ) om Därför betraktar vi två fall A) < och B) A) Om < blir ekvationen ( ) Eftersom satisfierar villkoret A, <, så har vi en lösning b) För kan ekvationen skrivas + ( ) Detta är omöjligt för Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en lösning ( från fallet A) Sida 5 av 9

6 6 Svar a) Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen f ( ) 4 och därefter rita grafen i) För < har vi ( ) och därför f ( ) 4 ( ) 4 ii) För har vi + ( ) och därför f ( ) 4 + ( ) 4 7 Alltså f ( ) 7 för för < Grafen till f ( ) 4 : Uppgift 6 Lös följande ekvationer a) 5 b) + + Lösning a) Vi har två uttryck med absolutbelopp ) + ( ) om och ( ) om < ) 5 + ( 5) om 5 och 5 ( 5) om < 5 Alltså har vi 5 ( ) 5 ( 5) + ( ) 5 ( 5) + ( ) 5 + ( 5) Sida 6 av 9

7 Därför betraktar vi tre fall A) <, B) 5 och > 5 7 A) Om < då gäller ( ) och 5 ( 5) Ekvationen kan skrivas ( ) ( 5) 5 Ingen lösning för < B) Om 5 då gäller + ( ) och 5 ( 5) Ekvationen kan skrivas + ( ) ( 5) 4 Eftersom 4 ligger i intervallet 5 har vi en lösning, 4, för fallet B C) Om > 5 då gäller + ( ) och 5 + ( 5) Ekvationen blir ( ) ( 5) 5 Ingen lösning för > Svar a) En lösning, 4 Svar b) En lösning, Uppgift 7 Lös följande olikheter a) + > 4 b) 6 < + Lösning a) Vi har två uttryck med absolutbelopp ) + + ( + ) om och + ( + ) om < ) 4 + ( om och 4 ( om < Alltså har vi - + ( + ) 4 ( + + ( + ) 4 ( + + ( + ) 4 + ( Därför betraktar vi tre fall Sida 7 av 9

8 A) <, B) och > 8 A) Om < då gäller + ( + ) och 4 ( Olikheten kan skrivas ( + ) > ( > 6 Detta är inte möjligt om < Ingen lösning för < B) Om då gäller + + ( + ) och 4 ( Olikheten blir ( + ) > ( > > Eftersom får vi < för fallet B C) Om > då gäller + + ( + ) och 4 + ( Olikheten blir ( + ) > ( 6 > < 6 Eftersom > får vi < < 6 för fallet C B och C tillsammans ger < < 6 Svar a) < < 6 5 Svar b) < < 7 Uppgift 9 Rita grafen till funktionen f ( ) + Lösning Först i) + ( ) om ( ) dvs om eller ( Se grafen till y ) ii) ( ) om ( ) < dvs om < < Därmed blir Sida 8 av 9

9 9 Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR < < + + om ) ( eller om ) ( ) ( f eller < < + om om ) ( f Grafen till f(): Sida 9 av 9

Relevanta dokument

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om