H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic"

Daniel Mats Fredriksson
för 6 år sedan
Visningar:

1 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 Absolutbeloppet av x är lika med det motsatta talet om x är negativt ( om själva x är negativt då är x ett positivt tal) T ex 5 ( 5) 5 Detta anger vi i nedanstående definition: x om x Definition x x om x =================================================== =============================================== Geometrisk tolkning: i) På en reell tallinje är x lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och 0 ii) På en reell tallinje är x y om x y x y ( x y) y x om x y lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och y [oberoende av vilket av talen x och y är störst] Exempelvis om x 4 och y 6 har vi x y =0 =avståndet mellan 4 och 6 Avståndet =================================================== Egenskaper: A x A x om och endast om x A x y x y, x y x y I A gäller likhetstecken om och endast om x och y har samma tecken Exempelvis, om x = och y= 5 då gäller x y 8 x y, medan för x = och y= + 5 gäller x y x y 8 Sida av 9

2 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic A4 x x A5 x y y x A6 x x xn x x xn (I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla x k har samma tecken) A7 x y x y Vi kan skriva tillsammans A och A7 på följande sätt: A8 x y x y x y Exempel ( a ) a ( a ) om ( a ) dvs om a om ( a ) dvs om a Exempel Uttrycket x 0 för alla x ( eftersom x ) T ex för x = 5 blir (-5) 5 5 Alltså x x endast om x medan x x om x Viktigt: I allmänt gäller x x x x om x om x Exempel (x - 4) x 4 x 4 ( x om x 4 om x 4 Grafen till funktionen x om x y x eller y har vi nedan x om x om Eftersom kan vi rita grafen till funktionen om y genom att först rita grafen till y f (x) och därefter spegla i x axeln den delen av grafen som ligger under x-axeln (här gäller ) Uppgift Rita grafen till följande funktioner a) y x 4 b) y x 4 c) y x 4 Svar: Sida av 9

3 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic a) b) c) ========================================================== EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP Några enkla ekvationer av följande typ: a där a är en konstant kan vi lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet) a) Ekvationen x a där a har lösningar x a a) x x a) Ekvationen x a där a har ingen lösning a4) Ekvationen a där konstanten a ä är ekvivalent med två ekvationer a a5) a6) Ekvationen a där konstanten a har ingen lösning Uppgift Lös följande ekvationer a) x b) x c) x 5 d) x e) x 5 f) x 8 g) x 8 Lösning: a) x b) x c) ingen lösning d) x x x x,två lösningar x, x e) x 5 x 5 x 5 x 5 Härav x 5 x 4 och x 5 x Alltså, två lösningar x 4, x f) x 8 x 8 x 4 g) ingen lösning ============================================================ Några enkla olikheter av följande typer: a, där a är en konstant: a, a a och Först några olikheten om a (vanligt fall): Sida av 9

4 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic b) Olikheten x a där a har lösning a x a x a a {På samma sätt har olikheten a x a där a lösning a x a } b) Olikheten x a där a satisfieras av alla x som uppfyller x a eller x a x a x a x a a a Några exempel med a eller a : b) Olikheten x har ingen lösning ( eftersom x ) b4) Olikheten x satisfieras av alla reella x b4) Olikheten x har exakt en lösning x= Uppgift Lös följande olikheter a) x b) x c) x 5 d) x 5 e) x 9 Lösning: a) Svar: x Alternativt skrivsätt: Intervall [-,] b) Svar: x eller x Alternativt skrivsätt: (, ] [, ) c) Lösning: x 5 x 5 5 x 5 Vi har faktiskt två enkla olikheter 5 x och x 5 som vi kan lösa separat och därefter bestämma gemensam lösning Men, den här gången, löser vi båda ekvationer samtidigt: 5 x 5 ( addera ) x 8 (dela med ) x 4 Svar: x 4 Alternativt skrivsätt: Intervall (, 4) d) Svar: x eller x 4 Alternativt skrivsätt: (, ] [4, ) e) Lösning: x 9 x 9 Ingen lösning eftersom x för alla x Svar: Ingen lösning ============================================================ ALLMÄNT FALL Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex av typen g( x) eller g( x) h( x) ) löser vi genom att först analysera varje absolutbelopp för sig Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när x varierar från till Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp Sida 4 av 9

5 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ( Anmärkning Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer) Uppgift 4 Lös följande ekvationer a) x x 4 b) x x 8 Lösning: Lösning a) Vi har x ( x ) om x och x ( x ) om x Därför betraktar vi två fall Fall x och Fall x Fall Om x blir ekvationen ( x ) x 4 x x 4 x (Vi måste kontrollera om x uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning) Eftersom x= satisfierar villkoret A, x, så har vi en lösning x Fall För x kan ekvationen skrivas ( x ) x ingen lösning i andra fallet Svar a) x Svar b) x 6, x 0 / Uppgift 5 a) Lös följande ekvation x x 4 b) Rita grafen till funktionen x x 4 Lösning a) Vi har x ( om x och x ( om x Därför betraktar vi två fall A) x och B) x A) Om x blir ekvationen ( x 4 x x 4 x x Eftersom x satisfierar villkoret A, x, så har vi en lösning b) För x kan ekvationen skrivas ( x 4 x x 7 Detta är omöjligt för x Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en lösning ( från fallet A) Sida 5 av 9

6 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Svar a) x Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen x x 4 och därefter rita grafen i) För x har vi x ( och därför x x 4 ( x 4 x ii) För x har vi x ( och därför x x 4 ( x 4 x 7 Alltså x x 7 för för x x Grafen till x x 4 : Uppgift 6 Lös följande ekvationer a) x x 5 b) x x Lösning a) Vi har två uttryck med absolutbelopp ) x ( om x och x ( om x ) x 5 ( om x 5 och x 5 ( om x 5 Alltså har vi 5 x ( 5 ( 5) x ( x 5 ( x ( x 5 ( Därför betraktar vi tre fall A) x, B) x 5 och x 5 Sida 6 av 9

7 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic A) Om x då gäller x ( och x 5 ( Ekvationen kan skrivas ( ( 5 Ingen lösning för x B) Om x 5 då gäller x ( och x 5 ( Ekvationen kan skrivas ( ( x 4 Eftersom x 4 ligger i intervallet x 5 har vi en lösning, x 4, för fallet B C) Om x 5 då gäller x ( och x 5 ( Ekvationen blir ( ( 5 Ingen lösning för x Svar a) En lösning, x 4 Svar b) En lösning, x Uppgift 7 Lös följande olikheter a) x x 4 b) x 6 x Lösning a) Vi har två uttryck med absolutbelopp ) x ( x ) om x och x ( x ) om x ) x 4 (x om x och x 4 (x om x Alltså har vi - x ( x ) x 4 (x 4) x ( x ) x 4 (x x ( x ) x 4 (x Därför betraktar vi tre fall A) x, B) x och x A) Om x då gäller x ( x ) och x 4 (x Sida 7 av 9

8 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Olikheten kan skrivas ( x ) (x x 6 Detta är inte möjligt om x Ingen lösning för x B) Om x då gäller x ( x ) och x 4 (x Olikheten blir ( x ) (x x x Eftersom x får vi x för fallet B C) Om x då gäller x ( x ) och x 4 (x Olikheten blir ( x ) (x 6 x x 6 Eftersom x får vi x 6 för fallet C B och C tillsammans ger x 6 Svar a) x 6 5 Svar b) x 7 Uppgift 9 Rita grafen till funktionen x x Lösning x Först i) x x ( x x) om ( x x) dvs om x eller x ( Se grafen till y x x ) ii) x x ( x x) om ( x x) dvs om 0 x Därmed blir x ( x x) x f x) x ( x x) x ( om x x eller x om 0 x Sida 8 av 9

9 H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic eller x x x x Grafen till f(x): om x om 0 x x Sida 9 av 9

Relevanta dokument

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt