Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 2018/19. Laboration i Maple, Matematisk analys HF1905.

Transkript

1 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Laboration i Maple, Matematisk analys HF1905. Matematisk analys, Kurskod: HF1905 Skolår: 018/19 Lärare: Klass A: Jonas Stenholm Klass B: Armin Halilovic Klass C: Marina Arakelyan Eaminator: Armin Halilovic Uppgifterna redovisas under en av de tre schemalagda Redovisningar. Om du är godkänd på denna laboration får du bonuspoäng som tillgodoräknas på tentamen och omtentamina under ett skolår. ( I detta fall behöver du inte lösa uppgift på tentamen eller omtentamina.) Individuellt arbete. Använd MAPLE för att lösa nedanstående uppgifter. Konstanterna p och q i nedanstående uppgifter är de två sista fyra siffrorna i ditt personnummer. Har du t. e. pn så är p= 4 och q=8. Du substituerar p och q i dina uppgifter och därefter löser dem Missa inte de två schemalagda laborationerna där läraren förklarar grundläggande beräkningar med MAPLE REDOVISNING. Du redovisar dina uppgifter (på en dator under schemalaggda redovisningar ) genom att förklara för läraren dina lösningar. Du behöver inte lämna in någon pappersversion av lösningen. EFTER REDOVISNING (om du har fått godkänt): Läraren bestämmer hur du ska lämna in dina (godkända) lösningar. ============================================ MAPLE är ett matematikprogram, som kan används för symboliska, eakta och numeriska beräkningar. Man kan använda Maple för att lösa ekvationer, förenkla algebraiska uttryck, beräkna derivator och integraler, rita grafer till funktioner, lösa uppgifter i linjär algebra, lösa differentialekvationer och mycket mer (eempelvis inom bl. a. partiella differential ekvationer, transformmetoder, diskret matematik). Programmet kan utföra nummeriska beräkningar med etremt hög noggrannhet, (med så många signifikanta siffror som man väljer). Du kan använda Maple i flera tekniska områden för att lösa de problem som kräver matematik (eempelvis. rita grafer, lösa ekvationer och ekvationssystem, räkna med vektorer, matriser och determinanter, beräkna derivator och integraler, lösa differentialekvationer och mycket annat). Efter lite träning blir det mer bekvämt och enklare att använda Maple än att använda en miniräknare. MAPLE är installerat i datasalarna. Man kan även ladda ner programmet till sin laptop eller till en hemdator, från KTHs sida: Sida 1 av 1

2 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Anmärkning: Meddela om alla upptäckta tryckfel i nedanstående sidor till armin@kth.se =============================================================== VIKTIGT: När du för första gången använder MAPLE i en dator, gör ändringar enligt introduktionen som finns på sidan L0: Before you use maple for the first time, choose these options Då får du samma inställning och samma utseende på skärmen som vi har på dem här sidorna. Anmärkning: Om du inte har klarat Inlämningsuppgift i Linjär algebra, då kan du, innan du börjar med den här inlämningsuppgiften, först gå genom gjorda eempel som finns i Inlämningsuppgiften för kursen i Linjär algebra. INLEDNING: RÄKNEOPERATIONER OPERATION SKRIVS I MAPLE adition a+b subbtraktion a-b multiplikation a*b division a/b a upphöjt till b a^b eller a**b n! n! n binomial(n,k) k KONSTANTER 1. Talet π skrivs i maple som Pi (stor bokstav P, liten bokstav i). Talet e skrivs i maple som ep(1). Den imaginära enheten i skrivs i maple som I 4. Ett komplet tal a+bi skrivs som a+bi. NÅGRA ELEMENTÄRA FUNKTIONER FUNKTION SKRIVS I MAPLE absolutbelopp, abs() e ep() 5. 5.^ sqrt() eller ^(1/) 5 ^(1/5), eller **(1/5) ln() ln() log 10 () log[10]() log 5 () log[5]() trigonometriska funktioner ( är vinkeln i sin(), cos(), tan(), cot() radianer) arcusfunktioner arcsin(), arccos(), arctan(), arccot() Sida av 1

3 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Anmärkning: (OM RADIANER OCH GRADER) Om vi ska beräkna en trigonometrisk funktion där vinkeln v är given i grader, omvandlar vi v till radianer enligt formeln v*pi/180. Eempelvis beräknar vi sin (60º) som > sin(60*pi/180); DEFINIERA NYA (SAMMANSATTA) UTTRYCK OCH FUNKTIONER Vi kan använda ovanstående elementära funktioner för att definiera ett uttryck. För att beräkna värdet av uttrycket f i en given punkt =a använder vi kommandot subs(=a, f). Eempel 1. f1:= +cos() + sin() ; #(glöm inte * mellan och eller och. Klicka på enter efter varje kommando) A:=subs(=Pi/4,f1); # substituerar =Pi/4 (radian) i f1 evalf(a); # beräknar det numeriska värdet på A log 10( + 1) + ln( + ) Uppgift 1. Låt y = + Beräkna numeriskt, funktionens värde i punkten =18 Tips. Se ovanstående eempel. Om vi ska substituera flera -värden i samma uttryck då är det praktiskt att definiera motsvarande funktion med hjälp av syntaen f:= -> uttrycket(). (Notera två tecken i beteckningen -> dvs - (minus) och > ( större än ). Då kan vi (istället för subs - kommandot) använda enbart f(a). Eempel. (klicka på enter efter varje kommando) g1:=-> (^ +1)/; g1(1); g1() ; g1(-1); g1( 5/); g1(-/4); evalf(g1(-/15)); p + sin() Uppgift. Låt g( ) =. q + + cos() Beräkna eakt och numeriskt g(5); g() ; g(-); g( 5/); g(-/4); Tips. Se ovanstående eempel. Sida av 1

4 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 RITA GRAFEN TILL EN FUNKTION G1) (Eplicit form) Grafen till funktionen y= f() Grafen till funktionen y= f() i intervallet [a,b] ritar vi med hjälp av kommandot plot(f(),=a..b) ( Observera två punkter.. mellan a och b vid beteckning av intervallet.) Maple väljer automatiskt skalan på y-aeln men, om du själv vill ange intervallet [c,d] på y- aeln, skriver du plot(f(),=a..b, y=c..d) Man kan välja eakt skala genom att lägga till i plot-kommandot scaling=constrained. plot(f(),=a..b, scaling=constrained) Eempel. Rita y=sin() i intervallet [ π,π ]. # suddar minne och därmed värdet på om det var tidigare definierad. plot(*sin(*), =-*Pi..*Pi); Du får följande graf Eempel 4 Rita y = 4 i intervallet [-..]. För y-aeln välj intervallet [-5,5 ] plot(^- 4*, =-.., y=-5..5); Eempel 5. Samma som ovan med samma skala på och y-aeln plot(^- 4*, =-.., y=-5..5, scaling =constrained); Sida 4 av 1

5 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Två grafer i samma figur får du med plot([(f(), g()],=a..b); Uppgift. Rita graferna till följande funktioner a) y = p + + cos, 4π 4π b) c) d) ( ) y = ( q + ) e, 1 4 y = + sin y = ( p +1) Flera funktioner i samma figur. På liknande sätt får vi flera grafer i samma figur. Vi anger alla funktioner inom [ ]. Eempel 6. Rita kurvorna y=, y =, y = cos i samma figur för. plot([, ^, cos(*)], =-..); # Glöm inte * mellan och ) Du får Sida 5 av 1

6 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Uppgift 4 a. Rita följande funktioner (i samma figur) y =, y = e och y = för. Uppgift 4 b. Rita följande funktioner (i samma figur) y = log ( ), y = ln(), y = log ( ) y = log 10 ( ) för 1 0. Tips. Kolla i tabellen med elementära funktioner hur man skriver i maple e och logaritmiska funktioner. Anmärkning: Maple hoppar över negativa -värden eftersom log-funktioner är definierade om >0. Anmärkning: Mer om grafritning kan du finna i Maple help (plot options) eller på sidan Introduction to Maple. Du kan rita mer avancerade grafer som i nedanstående eempel. Eempel 7. plot(4*cos(), = 0.. 4*Pi, tickmarks = [spacing((1/)*pi), default], scaling=constrained,gridlines, title = "y=4*cos()",titlefont=[times,bold,0], labels=["values","y-values"], labeldirections = ["horizontal", "vertical"] ); ger G) (Parameterform form) Grafen till en funktion som är given på parameterform =f(t), y= g(t). Funktioner givna på parametrisk form används oftast inom olika tekniska tillämpningar (bl annat för att beskriva rörelse av ett objekt eller en partikel i planet eller i rummet.) För att rita grafen till kurvan som ges av =f(t), y=g(t) använder vi följande synta Sida 6 av 1

7 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 plot([f(t), g(t), t=a..b]); eller (om man vill ha samma skala på - och y-aeln) med plot([f(t), g(t), t=a..b], scaling=constrained ); Eempel 8. Rita kurvan = 5cos( t), y = sin( t), 0 t π plot([5*cos(t), *sin(t), t=0..*pi], scaling=constrained); Vi har fått en ellips (med halvalarna 5 och ). Anmärkning: Man kan läsa om plot-options i Maple help eller på sidan Introduction to Maple för att se olika möjligheter att få mer avancerade grafer Uppgift 5. Rita kurvan som ges på parameterform: = ( p + 1) t cos( t), y = ( p + 1) t sin( t), 0 t 6π. Tips: Du får en spiralkurva. Tips. Kolla i tabellen med elementära funktioner hur man skriver i maple e och G) (Implicit form) För att plotta en funktion som är given på implicit form: F(,y)=G(,y) använder vi följande synta: with(plots): # öppnar ett paket med avancerade plot-kommandon, implicitplot(f(,y)=g(,y),=a..b,y=c..d, scaling=constrained); # plottar kurvan Eempel 9. Rita kurvan (en hyperbel) som ges av y = 1 9 4, Välj intervall = -8..8,y= Sida 7 av 1

8 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 restart: with(plots): implicitplot(^/9- y^/4 = 1,=-8...8,y=-6..6, scaling=constrained); Vi får nedanstående graf (en hyperbel.) Uppgift 6. Rita kurvor som ges på implicitform: a) + y = 1 4 4,, y Tips: Du får en cirkel. b) + y = , 5 5, 5 y 5 Tips: Du får en ellips. Använd tillägg scaling=constrained, annars ser det ut som en cirlkel. c) y = , 5 5, 5 y 5 Tips: Du får en parabel. GRÄNSVÄRDEN, DERIVATOR OCH INTEGRALER Gränsvärden: lim f ( ) a lim f ( ) beräknar vi med kommandot limit(f(),=a); beräknar vi med kommandot limit(f(),=infinity); Ensidiga gränsvärden: Vänstergränsvärdet lim f ( ) beräknar vi med kommandot limit(f(),=infinity, right); a Högergränsvärdet lim f ( ) beräknar vi med kommandot limit(f(),=infinity, right); a+ Sida 8 av 1

9 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Eempel 10. limit((6*^+1)/(*^+4), =infinity); (Du får svaret ) limit(arcsin()/, =0); (Du får svaret 1) limit(1/,=0); (Du får svaret undefined, eftersom vänster- och högergränsvärdet är olika) limit(1/,=0,right); (Du får svaret ) limit(1/,=0,left); (Du får svaret ) Uppgift 7. Beräkna följande gränsvärden a) ln 1 lim, b) lim sin( ), c) lim sin e 1 d) lim 0 e) lim + 0 sin lim + 0 sin Derivator: Derivatorna f (), f ( ) och f () beräknar vi med följande kommandon diff(f(),); diff(f(),,); och diff(f(),,,); ( ) Derivtan f n ( ) av grad n>1 kan vi beräkna med eller med diff(f(),$n); Eempelvis, både diff(^4,,); och diff(^4,$); beräknar andra derivatan av 4. Integraler: f ( ) d beräknar vi med kommandot int(f(),); Eempelvis integralen ( + e ) d beräknar vi med int(^+ep(*),); b a f ( ) d beräknar vi med kommandot Sida 9 av 1

10 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 int(f(),=a..b); Eempelvis integralen 5 ( + e ) d beräknar vi med 0 int(^+ep(*),=0..5); Uppgift 8. Beräkna följande derivator f () om a) sin ln 1 e 1 f ( ) = b) f ( ) = sin( ) c) f ( ) = Uppgift 9. Beräkna integral f ( ) d om a) ln f ( ) = b) f ( ) = arctan c) + 1 f ( ) = 4 Uppgift 10a. Beräkna följande integraler 5 a) ( + + p) d b) ( π + 1) sin d 1 π / 0 Några (till synes enkla) integraler kan vi inte beräkna eakt. Sådana integraler beräknar vi numeriskt genom att använda kommandot evalf. Till eempel, om vi försöker beräkna eakt f:=sqrt(^+sin()); int(f,=1..); + sin( ) d skriver vi 1 Maple kan inte beräkna eakt och svarar genom att upprepa frågan dvs vi får Sida 10 av 1

11 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 + sin( ) d 1 Vi kan på ett enkelt sätt numeriskt beräkna samma integral med hjälp av evalf: f:=sqrt(^+sin()); evalf (int(f,=1..)); Vi får Uppgift 10b. Beräkna arean av det område som begränsas av -aeln, kurvan y = + + cos + sin( ) samt linjerna =1 och =. Tips. Beräkna numeriskt, dvs använd evalf. Uppgift 10c. Beräkna båglängden av kurvan y = + cos 1 Tips: a) Använd formeln för längden av kurvan y = f () a b : b L = 1 + ( f '( )) a d b) Beräkna integralen numeriskt, dvs använd evalf. EKVATIONER. Eakta lösningar. Några typer av ekvationer kan vi lösa eakt. För att försöka lösa (eakt) en ekvation med hjälp av Maple använder vi kommandot solve( ekvation, variabel); Eempel 11. # Rensar minne, som är viktigt om är tidigare definierat. ekv1:= *ln()-1/=0; solve(ekv1,); Du får en lösning 1/ 6 e. Man ska vara försiktigt med tolkning av resultat efter som man får med kommandot solve, i Maple. Sida 11 av 1

12 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Det kan hända att det finns flera lösningar än som vi får med Maple. Detta händer eempelvis om vi löser trigonometriska ekvationer. Maple ger oss oftast högst en lösning, som i nedanstående eempel. Eempel 11b. ekv1:= tan()=1; solve(ekv1,); Vi får endast en lösning π. 4 Anmärkning. Vi kan använda lösningen 4 π för att själva konstruera mängden av alla lösningar: π = + kπ, där k är ett heltal (Notera att tangens har period k π.) 4 Uppgift 11. Använd kommandot solve för att lösa nedanstående ekvationer + a) e = ( q är den sista siffran i ditt personnummer) b) ln( + 1) = 6 NUMERISKA LÖSNINGAR (med kommandot fsolve) Många ekvationer som vi använder i matematiken och speciellt i tekniska tillämpningar kan vi inte lösa eakt. För sådana ekvationer använder vi numeriska lösningsmetoder. För att numeriskt lösa en ekvation f() = 0 börjar vi nästan alltid med grafen till y= f(). Från grafen bestämmer vi de intervall som innehåller enstaka rötter till ekvationen. Därefter använder vi en lösningsmetod. I Maple använder vi kommandot fsolve(ekv1, =a..b); Eempel 1. Bestäm (numeriskt) alla lösningar till ekvationen ( 1) = e. Vi skriver ekvationen på formen f ( ) = 0 dvs Sida 1 av 1

13 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 = 0 ( 1) e. Därefter plottar vi grafen till y=f(): Vi ser att ekvationen har två lösningar. En lösning ligger mellan 0 och 1 och den andra mellan 1 och. 1:= fsolve(f=0,=0..1); # Vi får den lösning som ligger mellan 0 och 1 # och betecknar lösningen med 1. (Vi får 1:= ) := fsolve(f=0,=1..); # (Vi får := ) Uppgift 1. Bestäm numeriskt alla lösningar till ekvationen q ( 5 + ) log10( ) = 0 8 ( q är den sista siffran i ditt personnummer) Tips: Plotta kurvan. Ekvationen har två lösningar. YTOR I D RUMMET För att plotta en yta i D rummet använder vi kommandot plotd(f(,y), =a..b, y=c..d) Sida 1 av 1

14 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Flera varianter (som t e. implicit plot, ytan på parameter form ) kan du finna i Maples help. Eempel 1. Plotta ytan f (, y) sin( y ) plotd(sin(-^-y^), =-.., y=-.., color=); Du får =,, y. Anmärkning. Du kan klicka i grafen och manuellt ändra synvinkeln. Uppgift 1. Plotta ytan ( y ) f (, y) = e + q,, y. PARTIELLA DERIVATOR Partiella derivator beräknar vi på samma sätt som derivator av envariabelfunktioner dvs. med kommandot diff. Eempel 14. Låt f, f, f f y, y, yy. f:=sin(*+*y)+^+y^; f:=diff(f,); # derivatan f fy:=diff(f,y); # derivatan f (, y) + y f = sin( + y) +. Beräkna f y f:=diff(f,,); # andra derivatan fy:=diff(f,,y); # andra derivatan fyy:=diff(f,y,y); # andra derivatan f f y f yy Uppgift 14. Låt f (, y) cos( + y + p) + e f, f, f f f. y, y, yy =. Beräkna Sida 14 av 1

15 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 DUBBELLINTEGRALER y-koordinater b Integralen a d c f (, y) dy d skriver vi i Maple som int( int(f(,y),y=c..d),=a..b); Eempel 15. Beräkna 1 f:=^+*y; int( int(f,y=..4),=1..); Du får svaret 4/4. 4 ( + y) dy d. Uppgift 15. Beräkna följande integraler 4 1 ( d 5 a) ( + y + p) dy d b) + 5 y + q) dy Anmärkning: Om integranden (dvs. funktionen som vi integrerar) är komplicerad kan det hända att eakt lösning saknas och Maple ger inte något svar (utan upprepar frågan, dvs integralen). Då kan vi numeriskt beräkna integralen genom att skriva evalf framför integralen. denna metod fungerar alltid. 4 Eempel 16. Beräkna + y + y + e dy d. 1 Vi försöker med eaktberäkning: f:=sqrt(^+*y + ep(+*y^)); int( int(f,y=..4),=1..); Vi får y e + y + d dy dvs Maple kan inte beräkna integralen eakt. Sida 15 av 1

16 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Vi numeriskt beräknar integralen genom att använda evalf: f:=sqrt(^+*y + ep(+*y^)) evalf(int( int(f,y=..4),=1..)); och får Uppgift 16a. Beräkna 1 4 sin( 5 + y ) dy d Uppgift 16b. Beräkna volymen av kroppen som ligger mellan y-planet och ytan 0 z = + y + y + p, där 1, 0 y Uppgift 16c. Låt D vara det området som begränsas av -aeln, kurvan y = + q + 1 samt linjerna =1 och =. Bestäm a) Tyngdpunkten b) Yttröghetsmoment med avseende på aeln c) Yttröghetsmoment med avseende på y aeln d) Yttröghetsmoment kring origo för området D. Tips: Tips. Kolla eempel 1 i stencilen Tyngdpunkter och tröghetsmoment. ( Några tillämpningar av dubbelintegraler i mekanik) DUBBELINTEGRALER I POLÄRA KOORDINATER Variabelbyte i dubbelintegraler från rektangulära (,y) till polära koordinater (r, θ) Om integrationsområde D är en del av en vinkel då är det lämpligt att beräkna integralen genom variabelbyte från rektangulära (,y) till polära koordinater (r, θ). Samband mellan rektangulära och polära koordinater: = rrrrrrrrrr, yy = rrrrrrrrrr, dddddddd = rrrrrrrrrr (därmed + yy = rr ) ff(, yy)dddddddd = dddd ff(rrrrrrrrrr, rrrrrrrrrr) rr dddd DD θθ θθ1 rr(θθ) rr1(θθ) Sida 16 av 1

17 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Anmärkning: Lägg märke till att dddddddd ersätts med rr dddddddd. Eempel 17. ( + 5)ddy Beräkna dubbelintegral ( y ) + då D är sektorringen i Fig1 D y Fig 1 D 0 1 Lösning (Jämför liknande uppgifter i stencilen om dubbelintegraler i polära koordinater): Från figuren har vi gränserna för θθ och rr: 0 θθ ππ och 1 rr. Vi låter maple byta till polära koordinater = rrrrrrrrrr, yy = rrrrrrrrrr, dddddddd = rrdddddddd f:=(^+y^)^ +5*; # vi byter till polära koordinater och förenklar: g:=simplify(subs({ =r*cos(t),y=r*sin(t)},f); int( int(g*r,r=1..),t=0..pi/); # notera faktorn *r ( enligt formeln för bytet till polära koordinater) Du får ( + ) y)ddy Uppgift 17. Beräkna dubbelintegral 10( y ) + + ( q + då D är sektorringen i Fig1. D Uppgift 18. Området D som definieras av 0, 0 och 0 + y ( p + 1) y. Bestäm: a) Tyngdpunkten b) Yttröghetsmoment med avseende på -aeln c) Yttröghetsmoment med avseende på y-aeln d) Yttröghetsmoment kring origo. Sida 17 av 1

18 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Tips. Kolla eempel 4 i stencilen Tyngdpunkter och tröghetsmoment. ( Några tillämpningar av dubbelintegraler i mekanik) DIFFERENTIALEKVATIONER (DE) Differentialekvationer löser vi med hjälp av kommandot dsolve. Synta: dsolve(ekvation, villkor1, villkor,.., vilkor1 i) För att bestämma den allmänna lösningen till en differentialekvation med obekant y() använder vi följande kommando: dsolve(ekvation,y()) ii) För att bestämma den allmänna lösningen till en differentialekvation med obekant y() med tillhörande villkor: villkor1, villkor,,villkorn använder vi följande kommando: dsolve({ekvation, villkor1, villkor,.., vilkorn}, y()) Alltså skriver vi ekvationen och alla villkor inom { }. dsolve(ode, y(), etra_args) dsolve({ode, ICs}, y(), etra_args) SKRIVSÄTT i Maple dsolve : Matematik Maple y () y () y () diff(y(),) y () diff(y(),,) VILLKOR Matematik Maple y ( a) = b y(a)=b y ( a) = b D(y)(a)=b y ( a) = b D(D(y))(a)=b eller (D@@)(a)=b Eempel 18 Lös differentialekvationen 5. y ( ) + 10y( ) = e Sida 18 av 1

19 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 ekv1:=1*diff(y(),) +10*y()=ep(-5*); sol1:=dsolve(ekv1,y()); #(lösningen kallas sol1) Du får den allmänna lösningen (Notera att Maple använder _C1 för konstanten i lösningen.) Eempel 19a. Använd kommandot dsolve i Matlab för att lösa följande differentialekvation 10 y ( ) + 10y( ) = e, med villkoret y(0)=1. Plotta lösningen i intervallet [0,1]. ekv1:=1*diff(y(),) +10*y()=ep(-10*); # vi definierar ekvationen V1:=y(0)=1; # villkoret sol:=dsolve({ekv1,v1},y()); # vi betecknar lösningen med sol Du får lösningen Vi kan nu plotta lösningen genom att skriva plot((+1)*ep(-10*),=0..1); Som en allternativ kan vi (med hjälp av subs) låta maple först beteckna lösningen, t e med f, och plotta lösningen därefter. Detta är en bra metod om man vill ändra ingående parametrar flera gånger och låta maple göra resten. Detta gör vi enligt följande f:=subs(sol,y()); plot(f,=0..1); Du får och grafen Eempel 19b. Använd kommandot dsolve i Matlab för att lösa följande differentialekvation 10 y ( ) + 10y( ) = e, med villkoret y(0)=1. Plotta lösningen i intervallet [0,1]. Uppgift 19. Lös följande DE (differential ekvation y ( ) + y( ) = cos() med villkoret y(0)=1. Sida 19 av 1,

20 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Plotta lösningen i intervallet [0,10]. På liknande sätt löser vi DE av andra ordningen. Eempel 0a) (DE av ordning ) Lös följande DE y ( ) + 5y ( ) + 6y( ) = sin( ). ekv1:=1*diff(y(),,) +5*diff(y(),) +6*y()=*sin(); dsolve(ekv1,y()); Du får (Notera att Maple Betecknar konstanter i lösningen som _C1 och _C). Eempel 0b) (DE av ordning ) Bestäm den lösning till y ( ) + 5y ( ) + 6y( ) = sin( ) som uppfyller följande villkor: y ( 0) = 1 och y ( 0) =. Plotta lösningen i intervallet 0 0 ekv1:=1*diff(y(),,) +5*diff(y(),) +6*y()=*sin(); V1:=y(0)=1; V:=D(y)(0)=; # Notera att y ( 0) = skrivs som D(y)(0)=; sol1:=dsolve({ekv1,v1,v},y()); # lösningen g:=subs(sol1,y()); plot(g, =0..0); Du får och grafen Sida 0 av 1

21 Laboration i Maple, kurs HF1905, Matematisk analys Skolår: 018/19 Uppgift 0. Lös följande DE y ( ) + y( ) = cos() + sin() med villkoren y(0)=1 och y (0)=. Plotta lösningen i intervallet [0,10]., Uppgift 1. En balk med belastning w() är fast i båda änder. Om ett koordinatsystem med origo i den första punkten inläggs som i ovanstående figuren, satisfierar koordinaterna (,y), för en godtycklig punkt på balken, följande differentialekvation 4 d y w( ) + 4 d EI = 0. a) Använd Maple för att bestämma y() då w( ) = (50 + p)( ), EI y ( 0) = 0, y ( 1) = 0 y ( 0) = 0 och y ( 1) = 0 b) Rita grafen till y(), 0 1 Tips: Kolla uppgift 8 i stencilen Differential ekvationer. Introduktion Lycka till. Sida 1 av 1