Linjär algebra Kurskod: HF1904. Skolår: 2018/ 19. dem. lösningen. EFTER Läraren. bestämmer. hur du ska MAPLE. beräkna. väljer). annat).

Transkript

1 Laboration i Maple, Linjär algebra HF1904. Linjär algebra Kurskod: HF1904 Skolår: 018/ 19 Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic Uppgifterna (1-11) redovisass under enn av de tre schemalagda Redovisningar.. Om du är godkänd på denna laboration får du 3 bonuspoäng som tillgodoräknas på tentamen och omtentamina under ett skolår. ( I detta fall behöver du inte lösa l uppgiftt 3 på tentamen eller omtentamina.) Individuellt arbete. Använd MAPLE för att lösa dina uppgifter (1-11). Konstanternaa p och q i nedanstående uppgifter är de två sista fyra siffrorna i ditt personnummer. Har du t. ex. pn så är p= 4 och q= =8. Du substituerar p och q i dina uppgifterr och därefter löser dem Missa inte de två schemalagda laborationerna där läraren förklarar grundläggande beräkningar med MAPLE REDOVISNING. Du redovisar dina uppgifter (på en dator under schemalaggda redovisningar ) genom att förklaraa för läraren dina lösningar. Du behöver inte lämna in någon pappersversion av lösningen. EFTER REDOVISNING (om du har fått godkänt): Läraren bestämmer hur du ska lämna in dina (godkända) lösningar. (Antingen via eller sparade, under redovisningen, på lärarens USB-minne) ====== ========= ========= ========= ========= ======= MAPLE är ett matematikprogram, som kan används för symboliska, exaktaa och numeriska beräkningar. Man kan använda Maple för att lösa ekvationer, förenkla algebraiska uttryck, beräkna derivator och integraler, rita grafer till funktioner, lösa uppgifter u i linjär algebra, lösa differentialekvationer och mycket mer (exempelvis inom bl. a. partiella differential ekvationer, transformmetoder,, diskret matematik). Programmet t kan utföraa nummeriska beräkningar med extremt hög noggrannhet, (med så många signifikanta siffror som man väljer). Du kan använda Maple i flera tekniska områden för att lösa de problem p somm kräver matematik (exempelvis. rita grafer, lösa ekvationer och ekvationssystem, räkna med vektorer, matriser och determinanter, beräkna derivator och integraler, lösa differentialekvationer och mycket annat). Efter lite träning blir det mer bekvämtt och enklare att använda Maplee än att använda en miniräknare. MAPLE är installerat i datasalarna. Man kan även ladda ner programmet till sin laptopp eller till en hemdator, från KTHs sida: Anmärkning: Meddela om alla upptäckta tryckfel i nedanstående sidor tilll armin@kth.se ====== ========= ========= ========= ========= ========= ========= ======== == Sida 1 av 18

2 VIKTIGT: När du för första gången använder MAPLE i en dator, gör ändringar enligt introduktionen som finns på sidan L0: Before you use maple for the first time, choose these options Då får du samma inställning och samma utseende på skärmen som vi har på dem här sidorna. HUR MAN SKRIVER KOMMANDON I MAPLE Du skriver ett kommando efter tecknet > som finns i början av raden och avslutar med semikolonn ; Du får resultat om du klickar på ENTER. Anmärkning: Om du vill fortsätta skriva en eller flera kommandon i nästa rad i samma cell utan exekvering trycker du samtidigt på SHIFT och ENTER. Efter det sista kommandot klickar du på ENTER för att få svaret från Maple. Anmärkning: Om vi avslutar ett kommando med kolonn : (följd med enter ) då exekveras kommandot, men vi ser inte resultat på skärmen. (Detta är nyttigt om man har stora beräkningar och vill se endast slutresultat.) Vanliga skrivfel: 1. Man glömmer att skriva * i en produkt Till exempel 3a skrivs som 3*a (och inte 3a).. Man glömmer att avsluta ett kommando med ; 3. Antalet vänsterparenteser matchar inte antalet högerparenteser. 4. Man glömmer att klicka på ENTER i slutet av kommandoraden. ELEMENTÄRA BERÄKNINGAR Tips: Innan du fotsätter, läs snabbt följande blad, L1: Basic numerical calculations, eval, subs, Uppgift 1. Öppna ett nytt arbetsblad (välj: File, New, Worksheet mode). Skriv själv (och exekvera) i arbetsbladet alla beräkningar som finns i nedanstående Exempel 1-7. Exempel 1. Öppna ett nytt arbetsblad (välj: File, New, Worksheet mode). Skriv t ex *10+3; (klicka på enter på tangentbordet ) Du får 3 i nästa rad. Automatisk får du en ny kommandocell (som börjar med >) > *10+3; (Klicka på enter efter varje kommando.) Du får 3 Skriv i den nya raden > r^*r^3; ( Klicka på enter.) Du får Sida av 18

3 r 5 Du kan skriva flera kommandon i samma rad och i slutet av raden klicka på enter, exempelvis > *10+3; 3^+1; s^*s^5/s^3; (klicka på enter ) Du kan fortsätta skriva en eller flera kommandon i nästa rad i samma cell utan exekvering om du trycker samtidigt på SHIFT och ENTER. Efter det sista kommandot klickar du på ENTER för att få svaret från Maple. T ex > *10+3; (klicka samtidigt på SHIFT och ENTER ) 3^+1; (klicka samtidigt på SHIFT och ENTER s^*s^5/s^3; (klicka på ENTER för att få resultat för alla tre kommandon) ÄNDRING I ARBETSBLADET Du kan alltid ändra ett redan skrivet kommando överallt i arbetsbladet. Du går med markören till raden där kommandot finns, ändrar och klickar på enter så att kommandot exekveras. Det kan hända att flera kommandot på arbetsbladet påverkas av ändringen. I detta fall är bra att klicka på knappen [!!!] som exekverar alla kommandon från början. Knappen [!!!] finns högst upp i arbetsbladet (i andra raden). SPARA ETT ARBETSBLAD Du sparar ett arbetsblad genom att klicka på File, Save As. Exempel. ( TILLDELNING) Vi tilldelar ett värde med hjälp av := (två tecken: kolon och likhetstecken). > a:=5; b:= 10; (klicka på enter och du får nedanstående resultat) a := 5 b := 10 > c:=*a+3*b; (klicka på enter ) c := 40 > d:=a+c; (klicka på enter ) d := 45 Exempel 3. ( restart ) Kommandot restart suddar minne i programmet. ( Kommandot rensar från minnet alla variabler definierade innan). Det är bäst att börja varje ny uppgift med > (klicka på enter ) > a:=4; b:=4^(1/); (klicka på enter ) Anmärkning. Om man vill rensa värdet av en variabel använder man kommandot unassign('variabel') som i nedanstående exempel: > Sida 3 av 18

4 >a:=; b:=3; > a*b; 6 > unassign('a'); > a*b; 3 a Anmärkning: Om man har skrivit flera kommandon och vill exekvera alla från början, då klickar man på knappen [!!!] som finns högst upp i arbetsbladet (i andra raden). Exempel 4 (EXAKTA och NUMERISKA beräkningar) Som standard beräknar Maple exakta värden av givna utryck. Om man vill få ett numeriskt resultat (ett decimalt tal) använder man kommandot evalf. Notera att konstanten π skrivs i Maple som Pi (stor bokstav P, liten bokstav i) Glöm inte enter efter varje kommando. > (klicka på enter ) >a:=sin(pi/3) ; >evalf(a) ; >b:=sin(pi/4) ; >evalf(b,55) ; # beräknar b med 55 decimaler >c:=a*b ; evalf(pi,00); # beräknar talet π med 00 signifikanta siffror Exempel 5. (SYMBOLISKA beräkningar) Maple hanterar väldigt bra symboliska beräkningar. Exempelvis >x^3*x^4; ger x 7. Ibland behöver vi tvinga Maple att förenkla uttrycket med hjälp av kommandot simplify, exempelvis B1:=(x+1)/(x^-1); simplify(b1); Kommandot expand(a) utvecklar uttrycket A, exempelvis B:=(*x+)*(3*x^+4); expand(b); Flera exempel finns på bladet: L3: Basic symbolic calculations: expand, factor, eval, subs, collect Exempel 6. (Korta KOMMENTARER efter ett kommando) Vi kan skriva några korta förklaringar i kommandoraden, som i nedanstående exempel (glöm inte enter i slutet av kommandon). Notera att konstanten π skrivs i maple som Pi (stor bokstav P, liten bokstav i). > m:=sin(pi/4); # vi beräknar det exakta värdet av sin(pi)/4; Sida 4 av 18

5 m : >evalf(m); # vi beräknar det numeriska värdet av sin(pi/4); >evalf(m,50); # visas 50 signifikanta siffror ; >evalf(/5678, 3); # Numeriskt beräknas / 5678 och visas 3 signifikantaa siffror ; Exempel 7. (TEXTCELL och KOMMANDOCELLL i Maple-arbetsblad). Man kan skriva en längre text i en textcell. En textcell öppnas genom att klicka på knappen T i andra kommandoraden. För att komma till en ny kommandocell klickar du på knappen ( finns i andra kommandoraden bredvid knappen T). RÄKNEOPERATIONER OPERATION adition subbtraktion multiplikation division a upphöjt till b n! n k SKRIVS I MAPLE a+b a-b a*b a/b a^b eller a**b n! binomial(n,k) KONSTANTER 1. Talet π skrivs i maple som Pi (stor bokstav P, liten bokstavv i). Talet e skrivs i maple som exp(1) 3. Den imaginära enheten i skrivs i maplee som I 4. Ett komplext tal a+bi skrivss som a+bi. Sida 5 av 18

6 NÅGRA ELEMENTÄRA FUNKTIONER FUNKTION SKRIVS I MAPLE absolutbelopp, x abs(x) x e exp(x) x ^x x sqrt(x) eller x^(1/) 5 x x^(1/5), eller x**(1/5) ln(x) ln(x) log 10 (x) log[10](x) log 5 (x) log[5](x) trigonometriska funktioner (x är vinkeln i sin(x), cos(x), tan(x), cot(x) radianer) arcusfunktioner arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arccot(x) Anmärkning: (OM RADIANER OCH GRADER) Om vi ska beräkna en trigonometrisk funktion där vinkeln v är given i grader, omvandlar vi v till radianer enligt formeln v*pi/180. Exempelvis beräknar vi sin (60º) som > sin(60*pi/180); Uppgift. (Exakta och nummeriska beräkningar) Beräkna följande uttryck med hjälp av Maple, både exakt och numeriskt ) sin().) 4 3ln(5) 4 lg(100) e.3) 3 4 lg(100) 3 13 lg(10000).4) 3sin( ) cos( ) 5 tan( ) +sin ) 13.5sin( 3º) +4.cos(11º).6) arcsin(0.5) +arctan(1) +arccos(0.5).7) 13.5sin( 3º) +4.cos(11º) 3 3 Lösning till.1) a1:=^8-3^5+5^(1/)+8^(1/3)+5*sin(); #Glöm inte att klicka på enter. simplify(a1); # Förenklar uttrycket, som ibland behövs vid exakta beräkningar. evalf(a1); # Beräknar numeriska värdet av uttrycket. Sida 6 av 18

7 plot(x^3-4*x, x=-3..3, y=-5..5); Laboration i Maple, HF1904, Linjär algebra. DEFINIERA NYA (SAMMANSATTA) UTTRYCK OCH FUNKTIONF NER Vi kan använda ovanstående elementära funktioner för att definiera ett uttryck. För att beräkna värdet av uttrycket f i en given punkt x=a använder vi kommandot subs(x= =a, f). Exempel 8. f1:= ( + sin(x) )/x; (klicka på enter efter varje kommando) A:=subs(x=1,f1); # substituerar x=1 (radian) i f1 evalf(a); # beräknar det numeriska värdet på A Om vi ska substituera flera x-värden i samma uttryck då är det praktiskt p attt definiera motsvarande funktion med hjälp av syntaxen x -> uttrycket(x). (Notera två tecken i beteckningen -> dvs - (minus) och > ( större s än ). Exempel 9. (klicka på enter efterr varje kommando) g1:=x-> x+x^; g1(1); g1() ; g1(-1); g1( /3) ); g1(-5/4); evalf(g1(-3/15)); RITA GRAFEN TILL EN FUNKTION N Grafen till funktionen y= f(x) i intervallet [a,b] ritar vi med hjälp av kommandot plot(f(x),x=a..b) ( Observera två punkter.. mellan a och b vid beteckning av intervallet.) Maple väljer automatiskt skalan på y-axeln men, om du själv vill v ange intervallet [c,d] på y- axeln, skriver du plot(f(x),x=a..b, y=c..d) Exempel 10 a) Rita y=3sin( x) i intervallet [, ]. Lösning: # suddar minne och därmed värdet på x om det var tidigare definierad. plot(3*sin(*x), x= =-*Pi..*Pi); Du får följande graf Exempel 10 b) Rita Lösning: y x 4x i intervallet [-3..3]. För y-axeln välj intervallet [-5,5 ] 3 Sida 7 av 18

8 Två grafer i sammaa figur får du med plot([(f( (x), g(x)],x= =a..b); På liknande sätt får vi flera grafer i samma figur. Vi anger alla funktioner f inom [ ]. Exempel 10 c) Rita kurvorna y=x, y Lösning: x, y cos 3x i samma figur för x. plot([x, x^, cos( (3*x)], x=-..); # Glöm inte * mellan 3 och o x) Du får Anmärkning: Mer om grafritning kan du finna på sidan Introduction too Maple. Uppgift 3. Rita följande funktioner (gärna i sammaa figur) x y x 1, y och y 1 sin(3x) 3 för 3 x 3. Tips. Se ovanstående exempel. Sida 8 av 18

9 EKVATIONER. Exakta lösningar. Några typer av ekvationer kan vi lösa exakt. För att försöka lösa (exakt) en ekvation med hjälp av Maple använder vi kommandot solve( ekvation, variabel); Exempel 11. # Rensar minne, som är viktigt om x är tidigare definierat. ekv1:= x^-15*x+56=0; solve(ekv1,x); Du får lösningar 8, 7 Ibland är det praktiskt att ge ett namn till lösningsmängden, som i följande exempel (där vi betecknar lösningsmängden med L) Exempel 1. ekv1:= x^3-9*x=0; L:=solve(ekv1,x); Du får L := 0, 3, -3 Då kan du plocka enstaka lösningar, till ex L[]; ger andra lösningen 3 Om Maple inte kan finna någon exakt lösning lämnar Maple ingeting efter kommandot solve. Man ska vara försiktigt med tolkning av resultat efter som man får med kommandot solve, i Maple. Det kan hända att det finns flera lösningar än som vi får med Maple. Detta händer exempelvis om vi löser trigonometriska ekvationer. Maple ger oss oftast högst en lösning, som i nedanstående exempel. Exempel 13. ekv1:= sin(x)=1/; solve(ekv1,x); Vi får endast en lösning. 6 Sida 9 av 18

10 Anmärkning. Vi kan använda lösningen för att själva konstruera mängden av alla 6 lösningar: x k 6 och x ( ) k 6 där k=0,±1,±,. Uppgift 4. Använd kommandot solve för att lösa nedanstående ekvationer a) x ( q 3) x ( q ) 0 ( q är den sista siffran i ditt personnummer) 3 b) x 8x 7 0 c) x 4 x 8 0 Lösning c) ekv:= x^4+*x^-8; #Glöm inte * mellan och x^. solve(ekv, x); Anmärkning. Det är alltid bra att rita grafen och kontrollera antalet lösningar visuellt. Man skriver ekvationen på formen f(x)=0 och därefter plottar grafen med kommandot plot(f(x), x=a..b). Man kan testa grafens utseende i olika intervall. Därefter kan man även lösa numeriskt den givna ekvationen med hjälp av kommandot fsolve som vi förklarar nedan. NUMERISKA LÖSNINGAR (med kommandot fsolve) Många ekvationer som vi använder i matematiken och speciellt i tekniska tillämpningar kan vi inte lösa exakt. För sådana ekvationer använder vi numeriska lösningsmetoder. För att numeriskt lösa en ekvation f(x) = 0 börjar vi nästan alltid med grafen till y= f(x). Från grafen bestämmer vi de intervall som innehåller enstaka rötter till ekvationen. Därefter använder vi en lösningsmetod. I Maple använder vi kommandot fsolve(ekv1, x=a..b); Exempel 14. a) Plotta (=rita) grafen till y= sin(x)+x-0.5 i intervallet [ 0,0] b) Använd fsolve för att bestämma en lösning till ekvationen sin(x)+x-0.5=0 plot(sin(x)+x-0.5, x=-0..0); Vi får grafen Sida 10 av 18

11 Vi ser att ett noll ställe ligger nära 0 men i alla fall mellan exempelvis -5 och 5. ekv1:= sin(x)+x-0..5; fsolve(ekv1,x=-5..5); #( Anmärkning. Vi valde x=-5..5, men vi kan välja vilket intervall som helst som inkluderar nollställen.) Vi får lösningen Uppgift 5. Plotta (=rita) grafen till y= = cos(x)+x- 0.5-q i intervallet [-14,14]. Bestäm en lösning till ekvationen cos(x)+ +x-0.5-q =0 som ligger i intervallet [-14,14]. (Notera att q är den sista siffran i ditt personnummer.) LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Ett linjärt ekvationssystem kan ha i) exakt en lösning ii) oändligt många lösningar iii) ingen lösning Programmet Maple klarar alla tre fall!! För att lösa ett ekvationssystem med n ekvationer ekv1,ekv, ekvn och k obekanta x1,x, xk använder vi kommandot solve({ekv1,ekv, ekvn},{x1,x,,xk}) ( Observera mängdparenteser runt ekvationer och mängdparenteser runt obekanta variabler.) Exempel 15. Använd Maple för att lösa ekvationssystem x+y+z=3 x+y+z=4 x+y+3z=4. Lösning # Först definierar vi ekvationerna: ekv1:=x+y+*z=3; # Glöm inte att skriva * för produkterna och o klicka på enter. ekv:= *x+y+z=4; ekv3:=*x+y+3*z= =4; Sida 11 av 18

12 solve({ekv1,ekv,ekv3},{x,y,z}); Den här gången får vi en lösning (för varje variabel): {x = 1, y =, z = 0} Exempel 16. Använd Maple för att lösa ekvationssystem x+y=3 x+y=6 Lösning ekv1:=x+y=3; ekv:= *x+*y=6; # Glöm inte att skriva * för produkterna. solve({ekv1,ekv},{x,y}); Vi får svaret: {x = 3-y, y = y} Vi har en ekvation y=y som betyder att y kan variera fritt. Med andra ord har systemet oändligt många lösningar. Exempel 17. Använd Maple för att lösa ekvationssystem x+y=3 x+y=5. ( Anmärkning: Det är uppenbart att systemet saknar lösning.) Lösning ekv1:=x+y=3; ekv:= x+y=5; solve({ekv1,ekv},{x,y}); Maple lämnar ingen svar som vi tolkar att detta linjära ekvationssystem saknar lösningar. Uppgift 6. Lös följande linjära ekvationssystem. (Notera att p och q är två sista siffror i ditt personnummer.) x y z p x 3y z p 1 4x y z q 3 i) x y z q 3 ii) x 4 y z p iii) x y z 1 q x y z 7 x 7 y z p 3 6x 3y 3z Tips. Kolla föregående (tre) exempel. Sida 1 av 18

13 MATRISER, DETERMINANTER OCH VEKTORER Om man vill räkna med matriser och determinanter öppnar man ett paket som innehåller väldigt många kommandot i linjär algebra. Vi skriver with (LinearAlgebra): # och som alltid enter i slutet Det är praktiskt att avsluta med kolon (:) men man kan även avsluta med semikolon (;) för att se namn på alla kommandon i paketet LinearAlgebra. Vi definierar en matris ( exempelvis A) som har m rader genom kommandon A:= Matrix([[rad1], [rad],[rad3],, [radm]]); Notera att varje rad skrivs inom hakparenteser, och alla rader igen inom hakparenteser. Exempelvis definierar vi matrisen A genom 1 1 A:=Matrix( [ [ 1, 4, 5,6], [ 3, 3, 3,9], [1,1,,] ] ); Ett element som finns på plats i,j plockar vi med A[i,j]. T ex, för vår matris A[,4]; ger 9. Anmärkning: För att definiera en matris eller en vektor kan man även använda paletten Matrix som finns i vänstra delen av arbetsbladet. Man väljer dimensioner och klickar på insert matrix. ( Läraren kan visa denna metod i salen.) Därefter man fyller platserna i matrisen. RÄKNEOPERATIONER MED MATRISER OPERATION SKRIVS I MAPLE adition, A+B A+B subbtraktion A B A-B multiplikation med tal k*a matrismultiplikation AB A.B (notera vanlig punkt mellan A och B) transponering A T Transpose(A) Notera att 1) additionen A+B och subtraktionen A B är definierade endast om A och B är av smma typ. Sida 13 av 18

14 ) matrismultiplikationen AB, där typ(a)= p q och typ(b)= r s är definierad endast om q r. KVADRATISKA MATRISER Om A är en kvadratisk matris då kan vi, bland annat, beräkna A n, det(a), egenvärden och 1 egenvektorer. Om det(a) 0 kan vi även beräkna inversen A. OPERATION A n det(a) 1 A SKRIVS I MAPLE A^n Determinant(A) A^(-1) Exempel Låt A 5 4 1, 3 0 B 1 1 och C, i) Använd Maple för att beräkna : a) AB b) 15A 5 + 3A 4 c) determinanten det(a) d) inversen A -1 e) C T dvs transponatet till C. f) A[1,]+ B[3,] ii) ) Bestäm X ur ekvationen AX=B iii) Bestäm Y ur ekvationen YA=C Lösning: (Skriv nedanstående kommandon i Maple) with(linearalgebra): # Kolon i slutet för att undvika listan med alla kommandot i paketet A:=Matrix( [ [ 1, 3,1],[ 5,4,1], [7,7,4] ] ); B:=Matrix( [ [,1,,1],[1,,,1 ], [1,1,1,1] ] ); C:=Matrix( [ [,3,0],[0,1,-5] ] ); a:=a.b; # notera punkten för matrismultiplikationen b:= 15*A^5+ 3*A^4; c:= Determinant(A); d:=a^(-1); e:= Transpose(C); f:= A[1,]+ B[3,]; Ainv:=A^(-1); # först bestämmer vi inversen X:= Ainv.B; # notera att ordningen är viktig Y:=C.Ainv; # notera att ordningen är viktig Anmärkning: Svaret till sista kommandot ( om du använder exakt samma matriser) blir Sida 14 av 18

15 Uppgift (5q ) Låt A 5 4 ( 4q), 3 0 B och C, 15 7 ( q 5) där q är den sista siffran i ditt personnummer. i) Använd Maple för att beräkna : a) AB b) CB c) (Försök beräkna) AC. Vad svarar Maple? d) 3A + 5A 4 e) determinanten det(a) f) A -1, dvs inversen till A g) C T dvs transponatet av C. h) A[,]+ B[,3] ii) ) Bestäm X ur ekvationen AX=B iii) Bestäm Y ur ekvationen YA=C Tips: Kolla föregående exempel. EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER Egenvärden och tillhörande egenvektorer, för en kvadratisk matris A, får vi med hjälp av kommandot Eigenvectors(A) (som ligger i paketet LinearAlgebra ). Maple svarar med två objekt: 1) en kolonn som innehåller egenvärden och ) en matris vars kolonner är tillhörande egenvektorer. Exempel 19. Bestäm egenvärden och tillhörande egenväktorer för matrisen Lösning: with(linearalgebra): A:=Matrix([[,3],[3,]]); Eigenvectors(A); 3 A. 3 Du får svaret 1 1 1, Tolkning: Matrisen A har två egenvärden 1 1och 5 ( 1, är element i kolonnen Kolonner i den andra tabellen är egenvektorer, 1 ). 5 Alltså är 1 v 1 en egenvektor som svarar mot egenvärdet Sida 15 av 18

16 1 v en egenvektor som svarar mot egenvärdet 5. 1 Uppgift 8. Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till i) A. ii ) B Tips. Kolla föregående exempel. KOMPLEXA TAL. Den imaginära enheten i betecknas i Maple med I. Därmed skrivs a+bi som a+b*i. Till exempel -5i skrivs i Maple som -5*I. Absolutbeloppet av ett komplext tal z skrivs som abs(z) Uppgift 9. Beräkningar med komplexa tal Använd Maple för att beräkna följande uttryck 1 ( 3i)(1 4i) 3.1) 4 ( 3i) 4 ( 3i) (5 4i) 3.) 3 (1 3i) 3.3) (5 4i) (1 3i) 3 ( i) ( 3i) Tips: Vi helt enkelt skriver utrycket i Maple. Glöm inte * i produkterna! Lösning till 3.3 (5+4*I)^/(1+3*I)^3+(-I)/(+3*I); # Klicka på enter. Vi får I KOMPLEXA TAL. Polära koordinater. För ett komplext tal z=a+bi får vi enkelt polära koordinater Radien = z får vi med kommandot abs(z). Argumentet (=vinkeln mellan radien och den positiva delen av x-axeln) får vi med kommandot argument(z). Sida 16 av 18

17 Exempelvis, om z = i har vi z:=-* *I; # Glöm inte klicka på enter i slutet av varje rad. r:=abs( (z); # Vi får r : v:=argument(z); # Vi får v : 4 Anmärkning: I många fall fårr vi inte en fin vinkel som argument. I sådana fall inkluderar svaret en arctan-funktion (som vi kan (om vi vill) beräkna numeriskt med kommandot evalf.) Till exempel z:=(+3*i); v:=argument(z); # Vi får 3 v : arctan( ) # det exakta värdet vr := evalf(v); # Vi får ett numeriskt resultat för vinkelns storlek s i radianer vg:=evalf(vr*180/ Pi); # Vi får vinkelns storlek i grader Uppgift 10. Polära koordinater för ett komplex tal Bestäm 4.1) 4.) 4.3) polära koordinater (radien och argumentet) till nedanstående komplexa tal 4 4i 1 3i 3 i 1 ( i) 4.4) 1 (1 3i) Tips. Se ovanstående exempel. Lösning till 4.4 z4:=(+ +*I)^1/(1+sqrt(3)*I)^1; z4:=simplify(z4); # förenklar z4, Sida 17 av 18

18 du får z4:=-64 r:=abs(z4); Du får r:= 64 v:= argument(z4); Du får v:= KOMPLEXA TAL. Från potensform till rektangulär form (dvs (a+bi)-form). Kommandot evalc(uttrycket) beräknar komplicerade uttryck, även de som innehåller komplexa tal på potensform (=exponentialform) och ger resultat på formen a+bi. Exempelvis kan vi beräkna z:=(-sqrt(3)+i)^3*exp((pi/4)*i); evalc(z); # Vi får z 4 4I i 3 4 z ( 3 i) e genom att skriva Uppgift 11. Beräkna nedanstående komplexa uttryck med hjälp av kommandot evalc(uttrycket) Beräkna nedanstående uttryck (ange svaret på a+bi form) 5.1) 5.) i 6 ( 1 i) e i ( i) (1 1 e 3i) 5 i 4 3 i Sida 18 av 18