Inledning till Maple
|
|
- Joakim Ek
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Institutionen för matematik KTH Bronislaw Krakus Inledning till Maple > tubeplot([cos(t), sin(t), 0], t = Pi..2*Pi, radius = 0.25*(t - Pi), orientation = [106, 154]); Delar av detta häfte är mer eller mindre kopierade från
2 Allmänt. Maple är ett matematikprogram som förutom numeriska beräkningar även inkluderar symbolisk formelmanipulation ( räkning med bokstäver ) samt två och tredimensionell grafik. När du startar Maple får du fram ett fönster med en prompt > Vid denna prompt skriver du in kommando i form av text, som Maple kan tolka. Alla kommandon måste avslutas med semikolon ; eller kolon :. Kommandon exekveras genom att man trycker på returtangenten. Markören skall då befinna sig i kommandoraden. > 4 + 5; 9 > Om kommandot avslutas med : skrivs inte resultatet ut på skärmen. > 4 + 5: > Beräkningen har utförts men resultatet skrivs inte ut. > > Warning, premature end of input Här har man glömt att avsluta kommandoraden med ;. Detta kan rättas till genom att komplettera antingen den första eller den andra raden med ;. Dvs > 4 + 5; > 9 eller > > ; 9 Flera kommandon (avskilda med kolon eller semikolon) kan skrivas på samma rad > 4 + 5; 4*5;
3 Kommandon kan sträcka sig över flera rader i väntan på ett semikolon. I samband med siffror måste man emellertid använda \ innan man bryter rad. > \ ; Om man använder SHIFT RETURN exekveras inga kommandon utan man kan fortsätta att skriva nya kommandon på en ny rad. > 4 + 5; 6-7; 8*9; 10/11; Normal klipp- och klistringsteknik (copy, cut, paste) kan användas. Numerisk räkning. De aritmetiska operationerna skrivs som brukligt i datorsammanhang: Addition + Subtraktion - Multiplikation * Division / Potens ^ Gruppering av operationer ( ) Den vanliga ordningen mellan operationerna gäller: ^ binder starkare än * och /, som i sin tur binder starkare än + och -. Ordningen modifieras med parenteser: > 5 + 4*3^2; > (5 + 4)*3^2; > ((5 + 4)*3)^2;
4 Heltal, rationella tal och flyttal skrivs på vanligt sätt: > ; > 2/5 + 4/7; Observera att till skillnad från en räknedosa så räknar Maple exakt med rationella tal. Vill man tvinga fram en flyttalsaproximation går det att göra med kommandot evalf(talet) : > evalf(2/5 + 4/7); Antalet siffror som skall skrivas ut kan styras med evalf(talet, antalet siffror). Här beräknas en flyttalsapproximation av med tolv siffrors noggrannhet: 7 > evalf(2/5 + 4/7, 12); Omvänt, ett decimaltal kan approximeras med ett rationellt > convert( , rational); Maple kan också räkna med komplexa tal. Den imaginära enheten tecknas i Maple I. > (1 + 2*I) + (3 + 4*I); I > (1 + 2*I)*(3 + 4*I); > (1 + 2*I)/(3 + 4*I); > (1 - I)^5/(1 + I); I I 4 I 3
5 Några exempel på beräkningar som din räknedosa förmodligen inte klarar. > ifactor( ); ( 2) 8 ( 3) 4 ( 5) 2 ( 7 ) ( 11) Maple har delat upp talet i faktorer dvs = > isprime( ); isprime( ); true false Du har frågat Maple om talen och är primtalen. > ilcm(5, 6, 7, 8, 24); är minsta gemensamma multipeln ( minsta gemensamma nämnaren ) av 5, 6, 7, 8 och 24. > igcd(1212, 3332, ); 4 vilket innebär att 4 är största gemensamma delaren till talen 1212, 3332 och > sum(k/(1 + k^4), k = 2..6); Maple har beräknat summan Behöver du ett allmänt uttryck för summan n 2? > sum(k^2, k=1..n); ( n + 1) ( n + 1) n 1 6 Övningar. 1. Beräkna 2 med 100 decimalers noggrannhet. ( x skrivs i Maple sqrt(x).) 2. Beräkna π med 100 decimalers noggrannhet. Talet π skrivs i Maple Pi. (pi betyder i Maple bokstaven π.) 3. Vilket av de rationella talen 19 6, 22 7 och 25 8 är bäst approximation av π? 4
6 4. Approximera π med ett rationellt tal med 20 decimalers nogranhet. Tips: Du kan ha användning av convert(tal, rational, 20). 5. Verifiera att Maple kan formler för summan av den aritmetiska serien n och den geometriska serien a + a 2 + a a n. De elementära matematiska funktionerna laddas in automatiskt vid starten. Här är en lista över några av dem: exp, ln, log[b] (logaritmen med basen b) sin, cos, tan arcsin, arccos, arctan sqrt, abs, signum Alla dessa måste skrivas med parenteser t ex sin(x) och inte bara sin x. Några exempel: > evalf(sin(pi/9) + 2*cos(Pi/7)); Om man vill använda resulatet av tidigare beräkningar så kan man hänvisa till dessa med hjälp av procenttecken % för senaste resultat % % för näst senaste resultat %%% för näst näst senaste resultat > sin(pi/9) + 2*cos(Pi/7); sin π 2 cos 1 7 π > evalf(%); > sqrt(%%); sin π 2 cos 1 7 π > evalf(ln(%%%), 50);
7 Räkning med symboler ("räkning med bokstäver"). För symboliska beräkningar (men även för numeriska) har man ofta användning av kommandon expand, simplify, combine, factor (med varierande framgång) > simplify(a/b+c/d); ad+ cb bd > simplify(cos(2*x)/(cos(x) - sin(x))); sin( x ) + cos( x) > simplify(exp(x + y)/exp(x - y)); e ( 2 y) > combine(2*cos(x)^2*cos(y) - cos(y) - 2*sin(x)*cos(x)*sin(y)); cos ( y + 2 x) > expand(sin(x + y)); sin( x ) cos( y ) + cos( x ) sin( y) > expand((a + b)^3); a a 2 b + 3 ab 2 + b 3 > factor(a^3 - b^3); ( a b ) ( a 2 + ab+ b 2 ) Övningar. 6. Förenkla e2x + e 2x + 2 e x + e x. 7. Uppdela x 9 + y 9 i faktorer. 8. Uttryck sin 5x med hjälp av sin x och cos x. 9. Uttryck cos 5 x med hjälp av cosinus av multiplar av x (dvs några av cos x, cos 2x osv). 10. Skriv 1 (x + 1)(x + 2) + 1 (x + 2)(x + 3) + 1 (x + 3)(x + 4) + 1 (x + 4)(x + 5) ett bråk. 11. För vilka värden på konstanterna a och b är x3 + ax 2 4 x 2 + x + b = x 2? + 1 (x + 5)(x + 6) som 6
8 2-dimensionell och 3-dimensionell grafik. En kurva på formen y = f(x) där a x b kan ritas med hjälp av ritar Maple kurvan y = sin x, 0 x 3π. x + 1 plot(f(x), x=a..b);. Här > plot(sin(x)/sqrt(x + 1), x=0..3*pi); Man kan rita flera kurvor i samma koordinatsystem > plot({sin(x)/sqrt(x + 1), cos(x), x/5-1}, x=0..3*pi, y=-1..1); Har den sträcka som sammanbinder punkterna (2,2) och (3,6) några gemensamma punktern med den triangel som har hörnpunkterna (2,3), (4,2) och (3,5)? > plot({[[2,2], [3,6]], [[2,3], [4,2], [3,5], [2,3]]}); Kurvor på formen f(x,y) = 0, till exempel cirkeln x 2 + y 2 1 = 0, kan ritas med hjälp av kommandot implicitplot. Detta kommando laddas dock inte automatiskt vid starten utan måste öppnas med hjälp av with(plots) > with(plots): implicitplot(x^2 + y^2-1 = 0, x=-1..1, y=-1..1); 7
9 > implicitplot((x^2 + y^2 + 2*y)^2-4*(x^2 + y^2) = 0, x=-3..3, y=-4..1, grid = [35,35]); Med hjälp av plot3d(f, x=a..b, y=c..d) kan du rita rymdytor vilka ges på formen z = f(x,y), till exempel ytan z = x 2 + y 2 > plot3d(x^2 + y^2, x=-1..1, y=-1..1); > plot3d(x^2 + y^2, x=-1..1, y=-sqrt(1 - x^2)..sqrt(1 - x^2)); Övningar. 12. Låt 3 x 5. Ligger kurvorna y = sin x + 2 x och y = 3 ln x cos x på olika sidor av linjen y = 4? 13. Ligger cirkeln x 2 + y 2 =1 inom triangeln med hörnpunkterna (2,3), ( 3, 1) och (1, 2)? 14. Rita ytorna z = 20 cos x2 + 3y 2 och z = 5 2x 2 y 2, där 3 x 3 och 3 y 3, i ett 1 + x 2 koordinatsystem. 15. Är x ln(x + 1) sin 6x 10 för alla 0 x 5? 16. Rita kurvan y = 3 x för (a) 0 x 1, (b) 1 x 0, (c) 1 x 1. Maple behöver din hjälp! 8
10 Hjälpsystemet Maple innehåller många kommandon och det är naturligtvis omöjligt att komma ihåg alla deras namn. Man lär sig dem som man oftast använder, och vid behov letar man i dokumentationen eter andra. Det mest effektiva sättet att hitta information är att söka i Maples inbyggda hjälpsystem. Information om vad ett speciellt kommando utför får man genom att skriva?kommandotnamnet (och sedan trycka på returtangenten). Genom att bara skriva? får man allmän information om Maple. T ex efter >?expand får man fram ett fönster med information om Maples kommandot expand. Det finns även en hjälpmeny längst till höger på menyraden. Där kan du söka i en systematisk katalog och göra fritextsökning. Du rekommenderas att testa?index och?intro. Observera att understrukna ord är hypertextlänkar som tar dig vidare om du klickar på dem. Övningar. 17. Är x jämnt delbar med x 4 x 3 + x 2 x + 1? Tips:?rem. 18. Hur tolkar du de två nedanstående raderna? > iquo(21,4); 5 Tillordning av namn (variabler) Tillordning eller bindning av namn har stor praktisk betydelse när man arbetar med Maple. Man spar mycken tid på att binda vanligt förekommande deluttryck till lämpliga namn, och sedan använda namnen vid evaluering. Detta görs med tillordningsoperatorn :=. Genom > a := 2; har man till symbolen a ordnad värdet 2, så att det bundna namnet sedan evalueras till respektive uttryck > a + 3; 5 9
11 Vill man sedan ha tillbaka a som en symbol skriver man a := 'a'; eller a := evaln(a); > a := 'a'; a:= a > a + 3; a + 3 Antag att du skall arbeta med funktionen f(x) = x3 + 2x 2 + 3x + 2 och säg att du vill dela upp x 3 + 2x 2 + x + 2 f(x) i faktorer, beräkna värdet av f(3) och rita grafen till f på intervallet 0 x 4. Du kan till symbolen f ordna värdet x3 + 2x 2 + 3x + 2 x 3 + 2x 2 + x + 2 > f := (x^3 + 2*x^2 + 3*x + 2)/(x^3 + 2*x^2 + x + 2); f := x x x + 2 x x 2 + x + 2 och faktorisera > factor(f); ( x + 1 ) ( x 2 + x + 2) ( x ) ( x + 2) beräkna f(3) > subs(x = 3, f); rita kurvan y = f(x) > plot(f, x=0..4); 10
12 Övningar. 19. Förklara varför de slutliga resultaten (q värden) är olika i dessa två kommandorader: > p := 'p': q := 1 + p: p := 2: p := 1: q; 2 > p := 'p': p := 2: q := 1 + p: p := 1: q; En funktion g har definierats så att dess graf fås genom att man flyttar grafen till funktionen f(x) = x4 x 3 +1 två steg till vänster och tre steg upp. Bestäm det allmänna x 2 + x + 2 uttrycket för g(x). Ekvationslösning. Här har man oftast användning av kommandon solve (för att få en exakt lösning) och fsolve (flyttalslösning). De båda kommandon försöker hitta lösningar och man får alltid räkna med att de missar någon eller t o m alla lösningar. Lös ekvationen 6x 3 35x 2 8x + 12 = 0. > solve({6*x^3-35*x^2-8*x + 12 = 0}, x); Skriver du i stället -2 1 { x = },{ x = 6 },{ x = } 3 2 > s := solve(6*x^3-35*x^2-8*x + 12 = 0, x); -2 s :=,, så har du till symbolen s ordnad dessa tre lösningar som du kanske brukar numrera: x 1 = 2 3, x 2 = 6 och x 3 = 1. I Maple kan du numrera de genom s[1], s[2] och s[3]. Du kan nu 2 t ex beräkna summan respektive produkten av rötter > s[1] + s[2] + s[3]; 35 6 > s[1]*s[2]*s[3]; 4 3 (men det viste du kanske utan att räkna något.) 11
13 Här löser vi ett ekvationssystem > ek1 := 2*x - 3*y - 4*z = 1; ek2 := 3*x + 4*y - 5*z = 2; ek3 := 4*x + 5*y + 6*z = 3; ek1 := 2 x 3 y 4 z = 1 ek2 := 3 x + 4 y 5 z = 2 ek3 := 4 x + 5 y + 6 z = 3 > solve({ek1, ek2, ek3}, {x,y,z}); { z =, x =, y = } > solve({ek1, ek2}, {x,y}); 31 { x = +, } 17 z 10 2 y = z 1 17 Ofta kommer det att se ut så här > ekvation := x^5 + 2*x^2 + 1 = 0; losningar := solve(ekvation); ekvation := x x = 0 losningar := RootOf (_Z _Z 2 + 1) och då kan du rädda dig med > allvalues(losningar); , I, I, I, I då du får flyttalslösningar (även icke reella). Ibland hittar inte solve någon lösning alls > solve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0); > Ett sådant svar innebär alltså att antingen finns det inte någon lösning eller att uppgiften var för svårt för solve. Om man kan nöja sig med en flyttalslösning så kan fsolve användas > fsolve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0);
14 Vi får en lösning och vi undrar om det inte finns flera. Vi ritar kurvan y = x sin x 1 > plot(x^2 + 2*sin(x) - 1, x=-infinity..infinity); Kurvan skär x axeln i två punkter (lösningar till ekvationen). Nu får man pröva sig fram och hitta ett intervall som innehåller dessa punkter > plot(x^2 + 2*sin(x) - 1, x=-3..1); Den andra lösningen ligger mellan 2 och 1 och vi får den med hjälp av > fsolve(x^2 + 2*sin(x) - 1 = 0, x=-2..-1); Övningar. 21. För vilka reella värden på konstanten a är x = 3 1 en rot till ekvationen 10x 4 + 2ax 2 + a 3 x = 0? 22. Verifiera att planen 2x + 3y + 4z = 1, 3x + 4y + 5z = 2 och 4x + 5y + 6z = 3 skär varandra längs en rät linje. 23. Bestäm konstanterna a och b så att linjerna (a + b)x + by = 1 och 5ax + 3by = b går båda genom punkten (2,2). 24. Grafen till funktionen f(x) = x4 + 4x 3 + 7x 2 + 6x +1 är symmetrisk med avseende på linjen x 2 + 2x + 2 x = a. Bestäm a. 25. Bestäm skärningspunkterna mellan cirkeln x 2 + y 2 = 4 och parabeln y = x 2 + x 2. 13
15 Derivator och integraler. I Maple deriverar man med hjälp av kommandot diff(funktion, variabel). > f := (sin(x) + 1)/cos(x)^2; sin( x) + 1 f := cos( x) 2 > fprim := diff(f, x); vilket ser bättre ut efter förenklingen 1 fprim := + 2 ( sin( x) + 1 ) sin( x) cos( x) cos( x) 3 > simplify(fprim); cos( x) sin( x) + 2 cos( x) 3 Andra derivatan fås genom diff(f, x, x); eller diff(f, x$2);. Om du har glömt hur man deriverar en kvot g(x) kan du få hjälp av Maple h(x) > simplify(diff(g(x)/h(x), x)); x g( x ) h( x ) g( x) x h( x) h( x) 2 Som du ser är g(x) Maples beteckning för derivatan dg x dx. Kommandot int(f, x); ger den obestämda integralen f(x) dx utan integrationskonstant. > int(f, x); sin( x) cos( x) 1 + cos( x) Du ser att Maple kommer ihåg den tidigare definierade funktionen f(x). Den bestämda integralen av f över intervallet a x b fås genom int(f, x=a..b);. > int(f, x=0..pi/4); 2 14
16 Även generaliserade integraler kan beräknas > int(x/(1 + x^3), x=0..infinity); 2 9 π 3 Om Maple inte kan beräkna en integral ser det ut som här > int(sin(x)/sqrt(1 + x^2), x); sin( x) d 1 + x 2 x dvs Maple svarar med det uttryck det inte kan beräkna. Övningar. 26. Rita grafen till funktionen f(x ) = x3 +1 och dess derivata i samma x 2 + x + 1 koordinatsystem. Med hjälp av grafen avgör vilken kurva är vilken. 27. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2x ln x e 1 x tangenten kurvan i någon annan punkt än tangeringspunkten. i punkten (1, 3). Skär 28. Bestäm största och minsta värdena till funktionen f(x) = 179x cos(2x 5) 1 + x Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna y = x 2 + x + 1 och y = 7x2 1 + x Beräkna volymen av den kropp som uppstår då det ändliga område som begränsas av x axeln och kurvan y = x 3 + (6 3)x 2 + (8 4 3)x 2 3 = 0 roterar ett varv kring x axeln. Varningar. Visst kan man bli imponerad av Maples kraft och om man inte läser matte för nöjes skull (du blir kanske förvånad, men det finns de som inte gör det) så är det lätt att fråga sig: Varför skall jag lära mig alla dessa obegripligheter när Maple klarar allting?. Det enkla svaret är att man inte har någon glädje av Maple om man inte vet vad det skall göra och för detta måste man ha goda mattekunskaper. Det måste man också ha för att kunna bedömma rimligheten i Maples svar eftersom Maple kan göra fel! Några exempel på detta. (Det kan tänkas att i den för tillfället senaste versionen av Maple är de nedanstående felen rättade.) Vi begär att Maple skall lösa olikheten ln(x 3 ) ln( x 2 ) < 0. Olikheten är rena rama nonsens, ty ln( x 2 ) är inte definierad eftersom x 2 0. Man förväntar sig någon slags protest men 15
17 > olikhet := ln(x^3) - ln(-x^2) < 0; solve(olikhet); olikhet := ln( x 3 ) ln( x 2 ) < 0 RealRange ( Open( -1), Open( 0) ) Maple påstår att varje tal 1 < x < 0 är en lösning. Bara för skojs skull ber vi Maple om att det skall lösa ekvationen x2 x är: Alla x > 0.) = 1 (vi vet ju att svaret > solve(sqrt(x^2)/x = 1); x Utan att skämmas svarar Maple alla x. Vet Maple att 3 1 = 1? > a := (-1)^(1/3); Vi förenklar 1 3 a := (-1) > simplify(a); altså 1 = I 3 i (enligt Maple). Det finns ingen punkt (x,y) som satisfierar ekvationen (x 2 + y 2 + 1) 10 = 0, men Maple kan ändå rita denna kurva. (Beroende på plattform kan din bild se annorlunda ut. Ändra 10:a till något annat tal.) > with(plots): > implicitplot((x^2 + y^2 + 1)^10 = 0, x=0..4, y=0..4); 16
18 Några användbara kommandon. solve(f, x); Försöker lösa x ur ekvationen f = 0. Exempelvis tredjegradsekvationer går bra men normalt inte ekvationer av grad fyra eller högre. solve({f1, f2}, {x, y}); Försöker lösa x och y ur ekvationssystemet f 1 = 0, f 2 = 0. fsolve(f, x=a..b); Försöker beräkna x rötter till ekvationen f = 0 i intervallet a x b. Rent numerisk lösning som fordrar att alla andra parametrar än x i f har ett numeriskt värde. eval(f, x = a); Ersätter x med a i uttrycket f. Om a är ett numeriskt värde utförs numerisk evaluation. subs(x = a, f); Ersätter x med a utan efterföljande evaluation. evalf(f); Ger det numeriska värdet (10 siffror) av uttrycket f om sådant finns. evalf(f, n); Ger det numeriska värdet av f med n siffror. simplify(f); Förenklar uttrycket f på ett ospecificerat sätt. normal(f); Kan användas för att förenkla exempelvis rationella funktioner så att gemensamma faktorer divideras bort. expand(f); Utför framförallt alla hopmultipliceringar av parenteser. combine(f); Används som motsatt operation till expand. plot(f, x=a..b); Ritar kurvan y = f på intervallet a x b plot({f, g}, x=a..b); Ritar kurvorna y = f och y = g på intervallet a x b i samma koordinatsystem. 17
19 with(plots): implicitplot(f = 0, x=a..b, y=c..d); Ritar kurvan f = 0 för a x b, c y d. diff(f, x); Utför derivering av f med avseende på x. diff(f, x, x); Ger andraderivatan av f med avseende på x. int(f, x); Ger f:s obestämda integral med avseende på variabeln x utan integrationskonstant. int(f, x=a..b); Beräknar den bestämda integralen av f med avseende på x med gränserna a och b. 18
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Matematik 1. Maplelaboration 2.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. . Kommandon, funktioner och konstanter i denna laboration: expand(uttryck) simplify(uttryck) utvecklar uttrycket. T.ex. expand((x+)*(x-)^);
Läs merMAPLE MIKAEL STENLUND
MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I dina inlämningsuppgifter skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal
Läs merMatematik 1. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Matematik. Maplelaboration. Före laborationen: Bekanta Dig med innehållet på sid 3. Ögna igenom de genomräknade exemplen 8 på sid 4 7. Använd PoP (papper och
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merMatematiska Institutionen, K T H. B. Krakus. Differential- och integralkalkyl, del 2. Maplelaboration 1.
Matematiska Institutionen, K T H. B. Krakus Differential- och integralkalkyl, del. Maplelaboration 1. Exempel 1. Vart tog den lilla sträckan vägen? Maple är utrustad med ett avanserat ritprogram. Programet
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merTexten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp).
Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss
Läs merLABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND
LABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I laborationen skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett
Läs merMatematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS
Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan
Läs merPlanering för Matematik kurs D
Planering för Matematik kurs D Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs D Antal timmar: 9 (7 + ) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att D-kursen studeras på 9 klocktimmar.
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891
KTH Matematik 5B1134 Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari 6 1. a) Bestäm sidlängderna i en triangel med vinklarna 44, 63 73 om arean av triangeln är 64 cm. Ange svaren som närmevärden
Läs mer5B1134 Matematik och modeller
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-11 2 Andra veckan Trigonometri Veckans begrepp enhetscirkeln, trigonometriska ettan trigonometrisk funktion, sinuskurva period, fasförskjutning, vinkelhastighet
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 7 Institutionen för matematik KTH 12 september 2016 Injektiva funktioner En funktion är en regel som till varje tal i definitionsmängden ordnar ett bestämt tal i värdemängden. Injektiva funktioner
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24 och 24-25 25-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C = (5, 1).
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merSidor i boken KB 6, 66
Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en
Läs merKap Inversfunktion, arcusfunktioner.
Kap 3. 3.5. Inversfunktion, arcusfunktioner. 30. (A) Förenkla uttrycken så långt som möjligt a. ln 8 ln + ln 8 ln + ln b. ln 3 log 0 3 log 0 e + 3 ln 3 log 3 e 30. (A) Lös ekvationerna a. e x = e x b.
Läs merHögskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I
Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk
Läs merLinjär algebra med tillämpningar, lab 1
Linjär algebra med tillämpningar, lab 1 Innehåll Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Uppgifterna i denna laboration täcker kapitel 1-3 i läroboken. Läs igenom motsvarande kapitel. Sitt
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004
KTH Matematik 5B4 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den oktober 4. Två av sidlängderna i en triangel är 8 m och m. En av vinklarna är 6. a) Bestäm alla möjliga värden för den tredje
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merIntroduktion till Maple
Introduktion till Maple Allmänt Maple är ett mycket mångsidigt program, och man kan ägna mycket tid åt att utforska dess användningsmöjligheter. Dess mångsidighet gör det samtidigt svårare att använda
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och
KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Inledande matematik, I1, ht10 1 Inledning Detta är en koncis beskrivning av de viktigaste delarna av Matlab. Till en början är det enkla beräkningar och grafik som intresserar
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merTENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor
TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merSF1620 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden
KTH Matematik 1 SF162 (5B1134) Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under tiden 23-26 27-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 Rita upp triangeln ABC med A = (1,
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merMatematisk analys, laboration II. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola
Matematisk analys, laboration II Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola Viktig information om laborationerna I analyskursen ingår tre obligatoriska laborationer. Under laboration används Matlab/GNU
Läs merIntroduktion till Matlab
Introduktion till Matlab Analys och Linjär Algebra, del A, K1/Kf1/Bt1, ht10 1 Inledning Ni kommer använda Matlab i nästan alla kurser i utbildningen. I matematikkurserna kommer vi ha studio-övningar nästan
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005
KTH Matematik B Matematik modeller Lösningsförslag till tentamen den januari. a) I en triangel är två av sidlängderna 7 respektive 8 längdeneter vinkeln mellan dessa sidor är. Bestäm den tredje sidans
Läs merIntroduktion till MATLAB
29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merSymboliska beräkningar i Matlab
CTH/GU LABORATION 6 MVE45-5/6 Matematiska vetenskaper Inledning Symboliska beräkningar i Matlab Verktygslådan Symbolic Math Toolbox i Matlab kan utföra symbolisk matematik. Vi skall se på ett antal exempel
Läs merTechnology Management Mapleövning 1 och 2
Technology Management Mapleövning 1 och 2 Namn: Personnummer: Allmänt Maple är ett kraftfullt program för både symboliska och numeriska beräkningar Att det kan räkna symboliskt betyder i korthet att det
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merBetygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår
Läs merUppgiftshäfte Matteproppen
Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................
Läs mer5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005
KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs merATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson
ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan
Läs merAlgebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln
Bastermin HT, Matematik Högskolan i Halmstad Version 00-08-0/0-08-5 Bertil Nilsson/Mats Gunnarsson Häfte A Algebra Negativa tal, Parenteser, Potenser, Bråk, Kvadreringsreglerna, Konjugatregeln. Förenkla
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merBlandade A-uppgifter Matematisk analys
TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x
Läs merKap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.
Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs mervux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merAttila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel
matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merFri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima
Per Jönsson & Thomas Lingefjärd Fri programvara i skolan datoralgebraprogrammet Maxima I takt med att priserna sjunker utrustar allt fler skolor sina elever med små bärbara datorer. Detta innebär nya och
Läs merExtra datorövning med Maple, vt2 2014
Extra datorövning med Maple, vt2 2014 FMA430 Flerdimensionell analys Denna datorövning är avsett för självstudie där vi skall lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella
Läs merLinjär algebra Kurskod: HF1904. Skolår: 2018/ 19. dem. lösningen. EFTER Läraren. bestämmer. hur du ska MAPLE. beräkna. väljer). annat).
Laboration i Maple, Linjär algebra HF1904. Linjär algebra Kurskod: HF1904 Skolår: 018/ 19 Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic Uppgifterna (1-11) redovisass under enn av de
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs mer6.2 Implicit derivering
6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta
Läs merDatorövning 2 med Maple
Datorövning 2 med Maple Flerdimensionell analys, ht 2008, Lp1 15 september 2008 Under denna datorövning skall vi lösa uppgifter i övningshäftet med hjälp av Maple. Vi skall beräkna partiella derivator,
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merNär vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1
Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna
Läs merKOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................
Läs merLaboration: Grunderna i Matlab
Laboration: Grunderna i Matlab Att arbeta i kommandofönstret och enkel grafik Den här delen av laborationen handlar om hur man arbetar med kommandon direkt i Matlabs kommandofönster. Det kan liknas vid
Läs merMer om funktioner och grafik i Matlab
CTH/GU 2/22 Matematiska vetenskaper Inledning Mer om funktioner och grafik i Matlab Först skall vi se lite på funktioner som redan finns i Matlab, (elementära) matematiska funktioner som sinus och cosinus
Läs merx sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx
TM-Matematik Mikael Forsberg XXX-XXX DistansAnalys Envariabelanalys Distans ma034a ot-nummer 3 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merTMV225 Inledande matematik M. Veckoprogram för läsvecka 4
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV5 016 Chalmers tekniska högskola Läsvecka 4 Examinator: Anders Logg TMV5 Inledande matematik M Veckoprogram för läsvecka 4 Denna vecka kommer vi först att definiera och studera
Läs merSF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009
KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merMVE465. Innehållsförteckning
Lösningar på övningsuppgifter Detta dokument innehåller mina renskrivna lösningar på övningsuppgifter i kursen Linjär algebra och analys fortsättning (). Jag kan inte lova att samtliga lösningar är välformulerade
Läs merGruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans
Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 6, Differential- och integralkalkyl II, del, envariabel, för F. Tentamen torsdag 3 maj 7, 8.-3. Förslag till lösningar.. Ange definitions- och värdemängderna
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 6..019 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram
Läs merMatematiska uppgifter
Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =
Läs merM0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15
M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 38 Repetition Lekt 16 Uppskatta (8.2) 1/3 genom att använda differentialer. Svara på bråkform.
Läs mer20 Gamla tentamensuppgifter
20 Gamla tentamensuppgifter 20.1 Lätta avdelningen Övning 20.1 Beräkna f 0 ( 3) för f(x) = 3x2 2x + 1 med jälp av derivatans definition. Lösning: Här är det allmänna uttrycket för derivatans definition
Läs merf (a) sin
Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan
Läs merx) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014
Läs merTentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLaborationer i kursmomentet Datoranvändning E1. Laboration nr 3: Matematikverktyget Maple
Sid 1 Laborationer i kursmomentet Datoranvändning E1 http://www.etek.chalmers.se/~hallgren/eda/ : Matematikverktyget Maple 1 Introduktion 1992-1997 Magnus Bondesson 1998 och 99-09-16 Thomas Hallgren Syftet
Läs merSF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merTentamen Matematisk grundkurs, MAGA60
MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast
Läs merAllmänt om Mathematica
Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................
Läs merLäsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.
Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.
Läs mer