Kontrollskrivning i Linjär algebra ,

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: KTR Kontrollskrivning i Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. På uppgift skall endast svar ges. Varje rätt svar ger poäng, fel svar poäng. Uppgift och 6 ger tre poäng vardera; fullständiga och välmotiverade lösningar krävs. Minst poäng tillgodoräknas som tre poäng på uppgift på tentamen. Minst 6 poäng ger ytterligare en bonuspoäng på tentamen. Rätten att tillgodoräkna sig bonus består under läsåret -. Resultatet meddelas via e-post. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på uljan/kurser/tata/ Om inget annat sägs, är alla koordinater för vektorer i planet och rummet givna relativt en högerorienterad ON-bas.. Ange lösningsmängden (kalla variablerna x,x,x,x,x ) till ekvationssystemet som ges av totalmatrisen.. Betrakta matriserna A =, B = 6. Beräkna den/de av de nedan angivna operationerna som är definierade: A+B, A t B, AB.. Låt u =e +e, u = e +e och v=e +e. Skriv v som linjärkombination av u och u.. Rita ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem (höger ON) och låt fem rutor svara mot en längdenhet.låtevaraenon-basdäre pekaridenhorisontellakoordinataxelns riktningoche idenlodrätaaxelnsriktning.ritaidettakoordinatsystem in,såexakt ( ) ( som möjligt, vektorerna u = e, v = e u på v och den ortogonala projektionen av v på u. ), den ortogonala projektionen av. Låt P = (,) och Q = (, ). Ange, på parameterform, den linje som går genom punkten (,) och som är vinkelrät mot vektorn PQ.

2 6. Låt L vara linjen genom (,,) med riktningsvektor e + e e. Bestäm avståndet mellan L och punkten (,,). 7. Bestäm en enhetsvektor som är ortogonal mot u = e och v = e. 8. Vilken punkt i planet Π: x y +z = ligger närmast punkten (,, ). 9. För vilket/vilka värden på λ saknar ekvationssystemet nedan lösningar { x + λy = λx + y = 6?. Bestäm skärningspunkten (om sådan finnes) mellan linjerna x L : e y = e +te, t R och z L : e x y z = e 9 +te, t R.. Dela upp v = e e + e i komponenter så att v = v + v där v ligger i planet med ekvation x y +z = och v är ortogonal mot samma plan.. Låt a,b R. Beräkna determinanten a b a b a b.. LåtLvaralinjengenompunkten(,,)medriktningsvektor e +e +e.bestäm ekvationen på normalform för planet som innehåller L och punkten (,, ).. Lös matrisekvationen X t +X t A = B där ( ) A = och B = ( ). (p) (p). En ljusstråle genom punkten P = (,,) speglas i planet Π : x y +z = och går sedan genom punkten Q = (,, 6). I vilken punkt träffar ljusstrålen planet? 6. Betrakta underrummet U = [(,,,),(,,,),(,6,, ),(,,, )] R. Beskriv U med så få vektorer som möjligt. Avgör om vektorerna v = (,,,) och v = (,,,) tillhör U eller inte.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra,. x x x x x = +s +t : s,t R. Den enda som inte är definierad är AB ( ) ( ) A t B = =, 6 A+B = + = v = 7 u + 7 u. v e u e v u u v ( ) ( ) ( ) x. e = e +te, t R y Tex e 8. (, /, /) 9. λ =. (/, /, 7/). v = e, v = v n = e

4 . ab(a+b). x+7y 6z = ( ). X =. Se figur nedan L P N v Q v s P s Q O P s Låt L vara den linje som den infallande ljusstrålen genom P följer. Beräkna P:s spegelpunkt P s. Den reflekterade strålen kommer då att ha samma riktning som vektorn P s Q. Drag den normal N till Π som går genom P och sätt in dess parameterform i ekvationen för Π. N: e x y z = e +te t ( t)+(+t) = t+ = t =., t R, Π : x y +z = Då vi är i P för t =, i planet Π för t = så är vi i P s för t =. Insättning i parameterformen för N ger = OP s = e e = e, dvs P s = (,,). Beräkna P s Q, skriv upp ekvationen på parameterform för linjen L s som den reflekterade ljusstrålen följer och sätt in denna i ekvationen för Π för att beräkna skärningspunkten R: P s Q = OQ OP s = e e 6 = e 9 9 = e 6 =

5 L s : e x y z = e +te, t R = = ( +t) ( t)+( t) = t 9 = t = 6 = = = OR = e + e = 8 9 e +e 9 = e, 6 6 dvs skärningspunkten R = (/,/, ). 6. Lös beroendeekvationen och utse med ledning därav, löjliga element. Enligt Satsen om löjliga element, sats..6, sid kan dessa strykas ur definitionen av höljet utan att höljet ändras. Kalla de genererande vektorerna u,u,u,u. λ u +λ u +λ u +λ u =... = e 6 r +r r +r r 6 +r r 6 r +r r r = = s λ λ λ λ = +t λ λ λ λ λ +λ = s t s+t = s t λ +λ = s+t s t, s,t R. λ = = = Låt s =, t = och sätt in den lösning till beroendeekvationen som detta ger i beroendeekvationen. Vi får då På samma sätt ger s =, t = att u +u +u = u = u u. u +u +u = u = u u. Därmed har både u och u uttryckts som linjärkombinationer av u och u, dvs u = (,,,)ochu = (,,, )kanutses till löjliga element. Satsen om löjliga element, sats..6, sid ger då att U = [(,,,),(,,,),(,6,, ),(,,, )]= [(,,,),(,,,)]

6 Återstår två genererande vektorer. Om de är linjärt beroende måste de vara parallella. Eftersom (,,,) och (,,,) inte är parallella är de linjärt oberoende och därmed finns inga fler löjliga element eftersom existens av löjligt element är ekvivalent med linjärt beroende enligt sats.., sid. Slutligen för att kolla om v och v tillhör U eller inte bildar vi en linjärkombination av u och u och sätter lika med v respektive v, λ u +λ u = v, v. Vi behandlar båda ekvationerna samtidigt. Uppställningen blir precis som i inledningen fast utan u och u och med koordinaterna för v och v i högerledet istället för. Vi får (observera att vi gör exakt samma radoperationer som i inledningen) r +r r +r r r +r r +r r r Urdettaserviattekvationenλ u +λ u = v inteärlösbarochattλ u +λ u = v är lösbar, dvs v tillhör inte U och v tillhör U..