Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID:

Transkript

1 Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: Förfrågningar: Ivar Gustafsson Lösningar: Anslås på institutionen efter tentamen Resultat: Anslås på institutionen senast 5 september Tentan kan hämtas i mottagningsrummet dagligen mellan.3-3 Betygsgränser: 3, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras LYCKA TILL! Uppgift. En kvadratisk matris A är skevsymmetrisk om A T = A. a) Visa att mängden av skevsymmetriska matriser är ett linjärt rum. (p) b) Bestäm dimensionen av rummet i a)-uppgiften. (p) c) Visa att om T är en ortogonal matris och T +I är inverterbar, så är A = (T I)(T +I) skevsymmetrisk. (4p) Uppgift. Låt F vara avbildningen som deriverar polynom av grad 3, dvs F(p(t)) = p (t), p P 3. a) Visa utgående från definitionen att F är en linjär avbildning. (p) b) Bestäm nollrum och värderum för avbildningen F. (3p) c) Bestäm matrisen M för avbildningen F i standardbasen {, t, t, t 3 } (p)

2 Uppgift 3. a) Låt u och v vara två vektorer i ett linjärt rum med skalärprodukt sådana att u = v = u v. Bestäm vinkeln mellan u och v. (3p) b) Bestäm en kompakt QR-faktorisering av matrisen A = c) Ange med hjälp av b)-uppgiften en ON-bas för Col(A). (p). (4p) Uppgift 4. a) Lös följande system av differentialekvationer med diagonaliseringsmetoden: (4p) x (t) = x (t), x () = x (t) = 4x (t) 4x (t), x () = 3 x 3 (t) = x (t) 3x 3 (t), x 3 () = b) Vad blir det för problem med diagonaliseringsmetoden om första ekvationen ändras till x (t) = 4x (t)? (p) c) Undersök om problemet i a-uppgiften är stabilt. (p) d) Antag att du vill använda Eulers framåtmetod för att lösa problemet i b-uppgiften. Ge ett villkor på steglängden h så att metoden blir stabil. Vad gäller för motsvarande villkor om du använder Eulers bakåtmetod i stället? (3p) x + x x 3 + = Uppgift 5. Betrakta ekvationssystemet x 3 x 4x + x 3 =. x + x x x 3 3 = a) Gör en iteration med Newtons metod med start i origo. (4p) b) Det visar sig att efter fem iterationer enligt a-uppgiften är felet x (5) x.3 och roten x är reguljär. Hur många ytterligare iterationer kan du förväntas få göra innan felet x (k) x? (p) Uppgift 6. Betrakta en kvadraturformel för approximativ beräkning av en intgral: b f(x) dx n a i= α if(x i ). a) Visa att n i= α i = b a för en rimlig kvadraturformel. (p) b) I Simpsons regel gäller för intervallet (a, b) = (, ) att n = 3, x =, x =, x 3 =, α =, α 6 = 4, α 6 3 =. Visa att Simpsons regel är identisk med trapetsregeln följd av 6 ett stegs Richardsonextrapolation med steglängderna och. (4p) Uppgift 7. Betrakta problemet att minimera funktionen f(x, x ) = 3x + x 6 utan bivillkor, med känd lösning x = (, ). a) Ange formeln för Steepest Descent-metoden för att lösa problemet, tala speciellt om vad som är sökriktning och vad som är steglängd. (p) b) Gör en iteration från x () = (, ). Bestäm steglängden exakt genom att använda aktuell formel för kvadratisk objektfunktion. (4p) c) Ta fram en startpunkt x () x, som ger lösningen med en iteration av Steepest Descent-metoden på aktuellt problem. (p) Ledning till c)-uppgiften: Nivåkurvor.

3 Uppgift 8. Betrakta begynnelsevärdesproblemet y = y + ty, y() =. a) Anta att du vill använda Eulers bakåtmetod och steglängd h =. för att bestämma en approximation till y(.). Skriv upp den andragradsekvation som du får att lösa. (3p) b) Man kan slippa att lösa andragradsekvation om man använder Eulers framåtmetod som prediktor och gör fixpunktsiteration i Eulers bakåtmetod (korrektorn). Gör två fixpunktsiterationer på problemet i a)-uppgiften. (4p) 3

4 Institutionen för Matematik Göteborg F - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 6 augusti 5 a) A och B skevsymmetriska ger (A + B) T = A T + B T = A B = (A + B) dvs summan är skevsymmetrisk, c skalär ger (c A) T = c A T = c ( A) = (c A) dvs skalär gånger matris är skevsymmetrisk, speciellt är nollmatrisen skevsymmetrisk. b) En skevsymmetrisk matris är kvadratisk med nolldiagonal och är entydigt bestämd av värdena i strikt övre triangulära delen, som har n(n )/ element för en n n-matris. Dimensionen är alltså n(n )/. c) A = (T I)(T + I) = ( I + I + T)(T + I) = (T + I) + I och A T = (T T + I) (T T I) = {T T T = I} = [T T (I + T)] [T T (I T)] = (I + T) (T T ) (T T )(I T) = (I + T) (I T) = (I + T) ( I + I + T) = (I + T) I = A. a) För p och q i P 3 gäller F((p + q)(t)) = (p + q) (t) = p (t) + q (t) = F(p(t)) + F(q(t)) och med c skalär gäller F((cp)(t)) = (cp) (t) = cp (t) = cf(p(t)). b) Nollrummet är alla polynom som deriveras till nollpolynomet, dvs nollrummet är alla polynom av grad =, dvs P. Derivatan av ett polynom i P 3 är ett polynom av grad dvs i P. Vidare har varje polynom i P en primitiv funktion i P 3, alltså är värderummet av F rummet P. c) F() =, F(t p ) = pt p, p =,, 3. Matrisen blir M =. 3 3a) u v =< u v, u v >= u + v < u, v >, dvs < u, v >= u + v u v = u = u v (enligt givna förutsättningar). Definition av vinkel ger nu cos(θ) = <u,v> = u v =, dvs θ = π. u v u v 3 b) De två första kolonnerna är ortogonala. Gram-Schmidt på tredje ger (,,, ) T (,,, )T (,,, 5 )T = (,,, 5 4)T. Med normerade kolonner får vi matrisen / Q = / 5 / 5 / / 5 / 5, R = QT A = c) Kolonnerna i Q utgör ON-bas för Col(A) / / 5/ 5 / 5 / 5

5 4a) Egenvärden och egenvektorer beräknas. Egenvärdena är på diagonalen, λ =, λ = 4 och λ 3 = 3 med egenvektorer, som fås genom lösning av resp. homogent ekvationssystem (A λ i I)v i = : v = (,, ) T, v = (,, ) T och v 3 = (,, ) T. Lösningsformeln är sedan x = c e λt v + c e λt v + c 3 e λ3t v 3 = c e t + c e 4t + c 3 e 3t Koefficienterna c, c och c 3 bestäms från begynnelsevillkoren genom ekvationssystemet c c = 3, med lösning c =, c =, c 3 =. c 3 Lösningen blir alltså x = e t e 4t + e 3t 4b) Egenvärdena blir nu λ = 4, λ = 4 och λ 3 = 3. Det dubbla egenvärdet λ = 4 har egenvektor (,, ) T, som spänner rum av dimension = < = multipiciteten hos egenvärdet. Matrisen är då inte diagonaliserbar. 4c) Alla egenvärden har realdel, alltså är problemet stabilt. 4d) Stabilitetområde för Eulers framåtmetod är: +hλ. Egenvärdet λ = 4 ställer högst krav och ger stabilitetsvillkoret h. Eulers bakåtmetod är A-stabil och ställer inget stabilitetsvillkor på h. x + x x x 3 x 5a) f = x 3 x 4x + x 3 J = 3x x 4 + x 3 x + x x x 3 3 x x 3 3 3x 3x x =, f =, J = Ekvationssystem J s = f x = x s = s =., x = x J \f s = b) Det krävs tre iterationer ytterligare ty kvadratisk konvergens och a) En rimlig kvadraturformel bör vara exakt för den triviala integranden f(x) =. Sätter man in den så får man villkoret n i= α i = b a. 6b) T() = f() + f(), T() = f() + 4 f() + f(). Richardsonextrapolation ger 4 då: T( ) + T( ) T() = T() T() = f() f() + f() f() f() = f() f() + f() som är Simpsons formel. 6 4.

6 { x 7 a) Sökmetod: (k+) = x (k) + α k d (k) d (k) = f(x (k). Här är d ) (k) sökriktning och α k steglängd. [ ] [ ] b) f = 3x + x 6x 6 6, f =, H =. 4x 4 För första iterationen har vi x () = (, ) T, f(x () ) = (6, 4) T, d () = ( 6, 4) T, Hd () = ( 36, 6) T. Optimal steglängd enligt formel: α = f(x() ) T d () = 5 = 3. d ()T Hd () 8 7 Första iterationen blir alltså: x () = x () + α d () = (, ) T + 3( 6, 7 4)T = ( 4, 35 9)T. 7c) Nivåkurvorna är ellipser centrerade kring origo med halvaxlarna längs koordinataxlarna. Om man startar någonstans på halvaxlarna så pekar negativa gradienten till origo och en iteration krävs. Man kan t.ex. starta i x () = (, ) T. 8a) Eulers bakåtmetod ger: y = y +.( y +.y ) =.y +.y dvs andragradsekvationen.y +.99y =. b) Eulers framåtmetod ger y () = +.( + ) =.8. Två successiva fixpunktsiterationer korrektorn (Eulers bakåtmetod) ger nu: y () = +.( ) =.88 y () = +.( ) =