Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Transkript

1 Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas

2 Diagonalisering Definition 8. Den kvadratiska nxn- matrisen A är diagonaliserbar om det finns en ickesingulär (d.v.s inverterbar ) matris P och en diagonal matris D så att: D=P AP (Jmf med A f =P A e P) Sats 8.5 Den kvadratiska nxn- matrisen A är diagonaliserbar omm matrisen har en uppsättning av n stycken egenvektorer e = (e e 2 e 3 e n ) som är linjärt oberoende. Den matris P som vars kolonner består av dess egenvektorers koordinater ( i standardbasen) är den efterfrågade diagonaliserande matrisen och diagonalmatrisen D byggs upp av motsvarande egenvärden. Sats 8.6 Om matrisen A är av typen nxn har n st olika egenvärden så är den diagonaliserbar. Sats 8.7 (Diagonaliseringssatsen) till varje symmetrisk nxn-matris, A, kan man finna en ON-matris och en diagonal matris så att: D=P t AP A=PDP t

3 Diagonalisering Exempel: Diagonalisera A = 2 0. Sök egenvärden: λ 2 λ = λ2 λ 2 = λ 2 λ +, d v s λ = och λ 2 = 2 Sök egenvektorer: f = f 2 = 2 Basbytarmatrisen/ diagonaliserande matrisen: P = 2, P = 3 2 A är diagonaliserad enligt: A = PDP = = =A

4 Vad är kvadratisk form?

5 VAD? Peter FrejdJonas Bergman Ärlebäck Bild: SVT EIMI

6 VAD? Peter FrejdJonas Bergman Ärlebäck Figur: Duk Cirkel Ellips Hyperbel

7 Varför är kvadratiska former intressanta? Dyker upp i tillämpningar som tex uttryck som definierar kurvor eller ytor uttryck för energi, spec. rotationsenergi då en kropp roterar kring fix axel max/min undersökningar för funktioner av flera variabler etc, etc,... och de är tacksamma att studera då de kan transformeras till enkel form och därmed är de ett bra exempel på användning av egenvärdesteori

8 Matrisbeskrivning av kvadratiska former Samma kvadratiska form kan definieras av olika matriser A Exempel. Ange tre matriser A, B och C föratt beskriva den kvadratiska formen Q: Q u = Lösning: t.ex. Svar: A= 4 Q u = = 0 2 Q u = = 2 Q u = = 3 4 B= 2 C= OBS! Endast B är symmetrisk

9 kvadratiska former Sats 8.8 Till varje kvadratisk form Q hör en entydigt bestämd symmetrisk matris S sådan att Q x = X t SX Exempel. Betrakta Q och ange S: Q x = x x 3 4 x 3 = = + + 4x x 3 + x x 3 = x Samma uppställning i färg: Q x = x 3 4 x 3 Då Q x = X t SX där den symmetriska avbildningsmatrisen i detta fall är: x 3 S = 2/2 8/2 2/2 3 4/2 8/2 4/2 5 =

10 Diagonalisering av kvadratiska former Betrakta Q x = Q,, x 3 = a 2 + a a 33 x a 2 + 2a 3 x 3 + 2a 23 x 3 = X e t SX e där x är x 3 = X e X e Koordinater för x i standardbasen e för R 3 Låt nu (f, f 2, f 3 ) var en annan ON bas för R 3 så att x är y y 2 y 3 X f = X f Koordinater för x i basen f Antag att det råder ett samband (f, f 2, f 3 ) = (e, e 2, e 3 ) f e Dvs f=ep p p 2 p 3 p 2 p 22 p 23 p 3 p 32 p 33 P P är en ON-matris med koordinater för f (kolonn ), f 2 (kolonn 2), f 3 (kolonn 3)i basen e

11 Diagonalisering av kvadratiska former Så gäller x=ex e =fx f = / f=ep / =epx f Alltså är X e = PX f Q x = Q,, x 3 = X t e SX e =(PX f ) t S PX f =Räkneregel transp= X t f P t S PX f = X f t (P t S P)X f = (y y 2 y 3 ) (P t S P) y y 2 y 3 Sats 8.7 (Diagonaliseringssatsen) till varje symmetrisk nxn-matris, A, kan man finna en ON-matris och en diagonal matris så att: D=P t AP A=PDP t De nya basvektorerna ska väljas som dess egenvektor, där diagonal matrisen består av egenvärdena. Q x =(y y 2 y 3 ) (P t S P) y y 2 y 3 =(y y 2 y 3 ) D y y 2 y 3 =(y y 2 y 3 ) λ λ λ 3 y y 2 y 3 =λ y 2 + λ 2 y λ 3 y 3 2 Kanoniska form

12 Kvadratiska former Sats 8.9 (Huvudsatsen för kvadratiska former) Låt Q(x) vara en kvadratisk form och Q x = X e t SX e, där S är en symmetrisk matris. Låt {f,, f n } vara en ON-bas av egenvektorer till P. Då är Q x = X f t DX f = λ y λ n y n 2 Kanoniska formen där λ i är egenvärde till f i och f = ep, x = ex e = fx f dvs X e = PX f

13 Andragradskurvor Exempel. Diagonalisera Q(x)= Ange också variabelbytet som överför den kvadratiska formen till diagonal form Lösning = X e t SX e, där A = 2 2 Egenvärden: det A λi = λ λ 3 = 0 ger λ =, λ 2 = 3, alltså = X e t SX e = X f t DX f = y 2 + 3y 2 2 =, där D = λ = 2 2 = 0 0 f = 2 λ 2 = = 0 0 f 2 = 2 X e = PX f ger variabel bytet = 2 y y 2

14 Andragradskurvor Huvudtyperna (med medelpunkterna i origo): Ellips: a 2 + b 2 = Hyperbel: a 2 b 2 = (eller = ) Parabel: = a 2 eller = a 2 Ett par av korsade linjer: 2 k 2 2 = 0

15 Andragradskurvor Exempel. Ange kurvtyp, axelriktningar samt halvaxlarna till kurvan = Lösning = X e t SX e, där A = 2 2 Egenvärden: det A λi = λ λ 3 = 0 ger λ =, λ 2 = 3, alltså = X e t SX e = X f t DX f = y 2 + 3y 2 2 =, där D = Följaktligen är kurvtyp en ellips y 2 + y = där halvaxlarna är resp. 3 Symmetriaxlarna fås som egenriktningar f 2 λ = 2 2 = 0 0 f = 2 f λ 2 = = 0 0 f 2 = 2