Linjär algebra kurs TNA002

Transkript

1 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt ifrån betraktas som ett läromedel bara ett dokument med stödord vilka hjälper oss att minnas vad som tagits upp under lektionstid... Peter Holgersson

2 Lektion 12 Forts. linjär avbildning Spektralsatsen Exempeluppgift 1 Verifiera Spektralsatsen för matrisen. Lösning Allmänt om spektralsatsen Enligt spektralsatsen är reella symmetriska matriser (såsom matrisen ) diagonaliserbara enligt ; egenvektorerna bildar kolonnerna i matrisen tillhörande egenvärden bildar diagonalen i diagonalmatrisen. Om egenvektorerna i matrisen dessutom är ortonormerade gäller att. Egenvärden Egenvärden är de faktorer som egenvektorer alltså högfärdiga vektorer vilka behåller sin riktning skalas med under linjär avbildning. Dessa bestäms med hjälp av sekularekvationen: Egenvektorer (egenrum) eller Egenrum bestäms alltså av vektorer vilka behåller sin riktning Det första egenrummet är endimensionellt (egenvektorerna en linje):

3 Det andra egenrummet är tvådimensionellt (egenvektorerna spänner upp ett plan): Oortogonala basvektorer till egenvektorerna (egenrummen) Basvektorerna i det tvådimensionella egenrummet är inte ortogonala men dessa båda basvektorer är däremot ortogonala mot det endimensionella egenrummet (kontrolleras med hjälp av skalärprodukten = 0). Därför måste en av basvektorerna i planet ersättas med en annan vektor inom samma plan. Detta kan ske med hjälp av Gram Schmidts ortogonaliserings-metod men också genom vektorprodukt ty problemet löses i : Vektorprodukten ger en en trippel med tre ortogonala vektorer Våra egenrum med tidigare basvektorer: Våra egenrum (samma) men ortogonala basvektorer:

4 Normering ger ON-bas matriserna Våra egenrum med ortonormerade basvektorer fås genom division med hjälp av vektorernas norm: Matrisen byggs nu upp med hjälp av ON-basen, skrivna i positivt orienterad riktning. Samma ordning som vektorprodukten gjordes i ger lämplig ordning: Vill man kontrollera att ordningen i matrisen ovan är lämplig gör man det enklast genom att beräkna matrisens determinant se att den är positiv, i detta fall exakt +1 tack vare att vektorerna dessutom bildar ON-bas. Diagonalmatrisen med egenvärden skapas: Matrisen byggs nu upp med hjälp av basvektorernas tillhörande egenvärden i samma ordning som egenvektorerna: Verifiering av sambandet Verifiering av sambandet sker nu genom matrismultiplikation: Vänsterledet: A Vänsterledet: Kontroll visar att Vänsterledet Högerledet

5 Kvadratisk form Exempeluppgift 2 Identifiera grafen till funktionen med tillhörande extrempunkter alltså punkterna närmast längst bort från origo. Lösning Inledning Att identifiera skissa upp elliptiska kurvor med kryssprodukttermer ( -termer) är svårt i det ordinarie koordinatsystemet detta p.g.a. att ellipsen är sned. Svårt är exempelvis att finna ellipsens extrempunkter; de yttersta innersta punkterna. Lämpligen genomförs ett basbyte så att man kan beskriva funktionen med en matris på kanonisk form (utan kryssprodukttermer ). På så vis hamnar kurvans extrempunkter på basvektorernas axlar. Skissande av graf + beräkning av intressanta punkters koordinater blir då klart enklare. De nya basvektorerna skapas m h a matrisens egenvektorer vilka är orienterade i extrempunkternas riktning (kan visas). Med fördel väljs egenvektorerna i form av ortonormerade vektorer Funktion en med hjälp av matris Funktionen skrivs med hjälp av matris så att man därefter kan söka egenvärden egenvektorer: Som synes en symmetrisk matris egenvektorerna kommer att vara ortogonala Egenvärden Sekularekvationen ger egenvärden:

6 Egenvektorer (egenrum) Egenvektorer bestäms alltså högfärdiga vektorer vilka behåller sin riktning om linjär avbildning skulle sker m h a matrisen ovan Den första egenvektorn: Den andra egenvektorn: Matrisen T med ortonormerade basvektorer Egenvektorerna är redan ortogonala (kontrolleras lätt m h a skalärprodukten = 0) dessa normeras nu genom division med vektorernas norm: En matris T med ortonormerade egenvektorer i kolonnerna samt en matris skapas nu. Lämpligt vald ordning av egenvektorerna (det T = +1) är: Diagonalmatrisen D med egenvärden: Matrisen byggs nu upp med hjälp av ON-basen, skrivna i positivt orienterad riktning. Det kan exempelvis vara den ordning som vektorprodukten skrevs i:

7 Kontroll Matrisen är nu (ortogonal-) diagonaliserad enligt kontroll visar att VL = HL: De nya basvektorerna Om man orienterar ett nytt koordinatsystem med hjälp av egenvektorerna ovan som basvektorer så pekar koordinataxlarna i riktning mot ellipsens extrempunkter. x 2 y 1 y 2 x 1 Den nya ekvationen Den kvadratiska formens, skriven på kanonisk form, har en graf som är enklare att skissa tack vare att skärningspunkterna med de nya axlarna utgör extrempunkter i den nya basen: x 2 y 1 y 2 x 1 Extrempunkterna Insättning av respektive ger sedan extrempunkternas koordinater avstånd från origo Extrempunkterna är respektive