Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Transkript

1 Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003

2 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer Talet e Den naturliga logaritmen Logaritmlagarna logaritmer 5 4 Användningsområden Exponentialfunktioner med basen e Invers basen e Kontinuerlig exponentiell ökning och minskning Ränta på ränta Dags- och framtidsvärde Dubblerings- och halveringstider Användning av dubblerings- och halveringstider Bibliografi 11 1

3 Kapitel 1 Introduktion Materialet för den här rapporten om logaritmer kommer i största del från läroboken Applied Calculus Second Edition. Vi i gruppen fick själva välja ett ämne. Vi valde logaritmer för att vi tidigare jobbat med dem, och vi blev då intresserade av att fördjupa oss ytterligare i ämnet. Vi fann under arbetets gång att det var ett spännande ämne att utforska. Under det här projektarbetet inför seminariet kommer vi gå igenom och debattera naturliga logaritmer, exponentialfunktioner, talet e samt användningsområden för dessa. Texten kommer förklaras med hjälp av exempel och grafer. Gruppen har valt att skriva denna rapport i L A TEX. Detta för att vi vill lära oss hur programmet fungerar och även hur man skriver rapporter på högskolenivå. 2

4 Kapitel 2 Naturliga logaritmer 2.1 Talet e Exponentialfunktioner, f(x) = a x, där a > 0 är lite speciella, då grafen av deras derivata i stort sett ser ut som grafen av funktionen själv. Oavsett värdet på a, kommer denna funktion alltid att skära y-axeln i punkten {0, 1}. Derivatan av funktion kommer dock, med ett enda undantag, att skära y-axeln i en annan punkt. Om vi har funktionerna f(x) = 2 x och g(x) = 3 x så ser derivatan ut på följande sätt: d dx (2x ) = f (x) (0.693)2 x d dx (3x ) = g (x) (1.0986)3 x Dvs., f (0) skär y-axeln vid {0,0.693} och g (0) vid {0,1.0986}. Som vi kan se så ligger grafen av derivatan av 2 x något under grafen av den ursprungliga funktionen, medan derivatan av 3 x ligger något över. Finns det då något värde som får grafen av derivatan att skära punkten {0,1}? Vad vi letar efter är med andra ord det värde som ger följande resultat: d dx (ax ) = a x Om vi räknar lite kommer vi till slut att komma närmare och närmare ett korrekt tal. Det talet är ungefär , dock kan vi inte fastställa det exact. 3

5 Detta tal, som har ett oändligt antal decimaler, betecknas e. Talet e har den egenskapen, att en funktion på formeln f(x) = e x, faktiskt är sin egen derivata! Detta betyder, att skulle vi försöka derivera funktionen skulle vi finna att d dx (ex ) = e x Det visar sig även att värdena vi fick när vi deriverade 2 x och 3 x faktiskt är de naturliga logaritmerna för 2 respektive 3. Därmed så kan vi skriva om derivataformeln för f(x) = a x på följande sätt: d dx (ax ) = ln(a)a x 2.2 Den naturliga logaritmen Logaritm betyder exponent, den vanligaste och mest användbara är den naturliga logaritmen. För naturliga logaritmer (ln) gäller att lnx är det värde som e måste upphöjas till för att få x. Därför kan vi säga att lnx = c betyder e c = x. Till exempel kan vi skriva lne 3 = 3. Den naturliga logaritmen kan även skrivas på formen log e x. Den naturliga logaritmen kan inte tas på talet x om x 0, då e upphöjt till valfritt tal aldrig kan bli mindre än eller lika med 0. Till exempel så är resultatet av ln( 3) odefinierat. Naturliga logaritmer kan användas för att lösa okända exponenter. Exempel: Lös ut a för 24 = 4e 3a Logaritmlagarna 6 = e 3a ln 6 = ln ( e 3a) ln 6 = 3a a = ln ( 6 3) 0,5972 När man räknar med logaritmer kan man skriva om sina ekvationer enligt vissa lagar. Logaritmlagarna är som följer: 1.ln(AB) = lna + lnb 2.ln ( A B) = lna lnb 3.ln (A p ) = plna 4.ln e x = x 5.e ln x = x Vidare gäller att ln 1 = 0 eftersom e 0 = 1, samt att lne = 1 eftersom e 1 = e. 4

6 Kapitel 3 10-logaritmer 10-logaritmen kallas den logaritmen med basen 10. Skillnaden mellan den naturliga logaritmen är att 10-logaritmer bygger på basen 10 och istället för e. 10-logaritmen förkortas lg eller log, på miniräknaren är tangenten betecknad [lg] eller [log]. 10-logaritmen Definieras enligt följande: 10-logaritmen för x är det tal som 10 ska upphöjas till för att bli x. Logaritmer som är bra att kunna utan miniräknare = 10 3 lg 1000 = = 10 2 lg 100 = 2 10 = 10 1 lg 10 = 1 1 = 10 0 lg 1 = 0 0,1 = 10 1 lg 0,1 = 1 10-logaritmen följer samma regler som den naturliga logaritmen. T.ex: lg(15) = lg(3 5) = lg(3) + lg(5) lg(42) = lg(2 3 7) lg(81) = lg(3 4 ) = 4 lg(3) lg(0,5) = lg ( 1 2) = lg(1)lg(2) = lg(2) lg(0,75) = lg ( 3 4) = lg(3)lg(4) 5

7 Kapitel 4 Användningsområden 4.1 Exponentialfunktioner med basen e En exponentialfunktion med basen a har formeln: För a gäller att: P = P 0 a t Om a > 1 har vi en exponentiell ökning. Om 0 < a < 1 har vi en exponentiell minskning. a = (1 + r) där faktorn r är en decimal representation av den procentuella förändringen. Om r > 0 har vi en exponential ökning. Om r < 0 har vi en exponential minskning. Den här funktionen kan skrivas om till en funktion med basen e. För alla positiva nummer a, kan vi skriva a = e k, där k = lna. k kallas den kontinuerliga ökningseller minskningshastigheten. Därför kan exponentialfunktionen skrivas om som: P = P 0 e kt Om k > 0 har vi en exponentiell ökning. Om k < 0 har vi en exponentiell minskning. Exempel: Funktionen P = 800(1,14) t skall konverteras till P 0 e kt. P 0 = 800 och vi skall lösa k med: 800(1,14) t = 800 ( e k) t 1,14 = e k k = ln(1,14) 0,1310 P = 800(1,14) t ger oss samma värde som form P = 800e 0,1310t. Således har vi fått veta att en tillväxt av 14% per tids enhet är likvärdig med en kontinuerliga tillväxt av 13,1%. 6

8 4.2 Invers basen e Figur 4.1: y = e x ger en invers y = lnx. Grafisk illustration av kurvorna y = lnx,y = e x och den räta linjen y = x. Funktionerna y = e x och y = lnx är inverser, där rätlinjen y = x reflekterar på deras förhållande mellan resp. y och x värden. y = e x lny = xlne lny = x y = lnx 4.3 Kontinuerlig exponentiell ökning och minskning Många förändringar i naturen och vårt samhälle är exponentiella ökningar eller minskningar. Man kan ställa upp en generell formel för en sådan förändring, en exponentialfunktion med basen e: P = P 0 e kt Här är P 0 det initiala värdet, k är den kontinuerliga ökningen/minskningen och t är tiden under vilken den här förändringen pågår. När t = 0 får man P = P 0 eftersom e 0 = 1, dvs initial värdet är det värdet vi har när t = 0. 7

9 4.4 Ränta på ränta Om man sätter in pengar på ett bankkonto, hur mycket pengar har man efter ett år om räntan är 6%? Det beror helt på hur ofta räntan räknas ihop och betalas in på bankkontot. Sker detta årligen så har man t.ex. ökat värdet på sitt bankkonto från 100 kr till 106 kr. Gör man däremot samma sak 2 gånger under samma år, en gång efter 6 månader och en efter 12, så får man 3% ränta vid båda tillfällena. Gör man detta så tjänar man lite pengar, eftersom räntan för de 6 sista månaderna tas på beloppet efter första ränteberäkningen, dvs 3% av 103 kr istället för 6% av 100 kr. Gör man det här fler gånger tjänar man ännu lite mer. Det som händer om man gör det här oftare och oftare är att förtjänsten närmar sig en viss punkt. Detta inträffar nämligen när basen i exponentialfunktionen närmar sig e. Årlig ränta: P = P 0 (1 + r) t P = 100( ) 1 = 106kr Halvårs ränta: ( P = P 1+r ) nt 0 n P = 100 ( ) t 2 = kr Kontinuerlig ränta: P = Pe kt P = 100e 0.06 = kr 4.5 Dags- och framtidsvärde I affärsvärlden läggs ofta betalningar i framtiden. Man kan t.ex. köpa bilar på kredit och betalningen sker över en viss tidsperiod. Att få t.ex. 100 kr idag är mycket bättre än att få dem 1 år senare. En stor anledning är räntan, som man går miste om för att man inte har pengarna tidigare. Med en årsränta på 2% har man då förlorat 2 kr. Vi kallar de 100 kr för dagsvärdet och de 102 kr för framtidsvärdet. Relationen mellan B och P är enligt följande: B är framtidsvärdet av P och P är dagsvärdet av B. Om räntan r är årlig i t år då är: B = P(1 + r) ( ) t t P = B (1+r) Om räntan istället är kontinuerlig ser relationen mellan B och P ut såhär: B = Pe rt P = B e rt = Be rt 8

10 Exempel: Man sätter in kr på ett bankkonto, räntan är kontinuerlig, hur lång tid tar det innan man har kr på bankkontot om räntan är 8% per år? P = P 0 e kt = 10000e 0.08t 1.5 = e 0.08t ln(1.5) = 0.08t ln(1.5) 0.08 = t t = 5,07 Det tar 5,07 år för kontots värde att öka till kr. 4.6 Dubblerings- och halveringstider En mycket användbar egenskap för de exponentiella förändringarna är att de har så kallade halveringstider om de är minskningar och dubbleringstider om de är ökningar. Med dubbleringstiden menar man tiden det tar för en funktion att uppnå dess dubbla värde. Med halveringstid menar man på samma sätt den tiden det tar för en funktion att uppnå dess halva värde. Om man tar exponentialfunktionen P = P 0 a t. För alla värden a där a > 0, finns det ett positivt värde på d som ger a d = 2. Vi visar att d är dubbleringstiden. Om P är populationen vid tiden t, så är populationen vid t + d: P 0 a t+d = P 0 a t a d = (P 0 a t )(2) = 2P Oavsett vilket värde man har för P 0 eller för t, fördubblas P efter tiden d. Exempel: För att räkna ut halveringstiden eller dubbleringstiden där k är känt använder man sig av logaritmen och löser ut t ur ekvationen: P 0 2 = P 0 e kt 1 2 = ekt ln( 1 2 ) = kt ln( 1 2 ) k = t 4.7 Användning av dubblerings- och halveringstider Dubblerings- och halveringstiderna kan man använda i många sammanhang. Halveringstiderna används t.ex. när man räknar på radioaktivt sönderfall. Ett sådant sönderfall är det man använder för att ta reda på hur länge sedan en organism, t.ex. ett djur eller en människa, dog. Det man gör är mäta hur mycket kol-14 det finns i t.ex. ett dinosaurieskelett som man vill datera. Man kan med hjälp av att veta halveringstiden på kol-14 ta reda på ganska exakt hur länge sedan dinosaurien levde. 9

11 Exempel: Mängden Q, av radioaktivt kol-14 som återstår t år efter att en organism har dött är given av formeln: Q = Q 0 e t a. Hur många procent kol-14 finns det kvar hos en död organism efter 3400 år? b. Hur lång tid det tar innan det bara är 15% kol-14 kvar hos en död organism? c. Vad är halveringstiden på kol-14? a. Det finns 58.86% kol-14 kvar. b. Q = Q 0 e Q = Q 0 e Q = Q 0 ( ) Q = Q 0 e t 0.15 = e t ln(0.15) = t ln(0.15) = t t Det tar år innan kol-14 har sönderfallit till 15% av dess ursprungliga kvantitet. c. Q 0 2 = Q 0 e t 1 2 = e t ln( 1 2 ) = t ln( 1 2 ) = t t 5728 Halveringstiden för kol-14 är ca 5728 år. 10

12 Kapitel 5 Bibliografi Applied Calculus 2:nd ed. - Hughes-Hallet, Gleason, Lock, Flath, et al. ISBN Mathematics-Calculus, Volume 1. 11