H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "H1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic"

Mona Axelsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen aa xx = bb. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen aa xx = bb kallas logaritm av b i basen a och betecknas ( i några böcker a log b eller a-log b ) x = log aa bb [ Anmärkning: Basen a i en logaritm kan inte vara 1 eftersom ekvationen 1 xx = bb har antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar] Exmpel 1. a) log 2 8 = 3 eftersom 2 3 = 8 b) log = 3 eftersom 2 3 = 1/8 c) log 2 2 = 1 eftersom 2 1 = 2 d) log 2 1 = 0 eftersom 2 0 = 1. Logaritmen log aa bb är definierad om a, b är positiva och aa 1 men notera att resultat kan vara negativt, 0 eller positivt; t ex log = 2, log 5(1) = 0 och log 5 (25) = 2 Här följer en formell definition av logaritmen med basen a. Definition. Låt aa och bb vara positiva tal och aa 1. log aa bb = n aa nn = bb Talet nn kallas logaritm av b i basen a ( eller a-logaritm av b ). 1 av 8

2 Med hjälp av definitionen kan man härleda nedanstående logaritmlagar. RÄKNELAGAR: ( Vi antar att aa, xx, yy > 0 och aa 11) log aa (xxxx) = log aa xx + log aa yy log aa (xx/yy) = log aa xx log aa yy log aa (xx nn ) = nn log aa xx log aa (aa nn ) = nn, aa log aaxx = xx log aa aa = 1, log aa 1 = 0 BASBYTE: log aa bb = log ccbb log cc aa ( där a,b,c > 0 och dessutom baserna a,c skilda från 1) Uppgift 1. Beräkna följande logaritmer (utan hjälp av miniräknare) a) log 2 16 b) log 3 27 c) log d) log e) log f) log g) log 31 h) log 1 i) log 10 10, j) log k) log l) log e e ( e 2.7) m) log 3 (3 2 ), n) log 2 (2 5 ) o) log 10 (10 7 ) p) log e (e 11 ) r) log s) log t) log log u) [log log 2 ] 9 v) log 2 + log Lösning för uppgift a) och uppgift u). a) log 2 16 = eftersom 2 = 16 u) [log log 2 ] 9 = [ ] 9 = [ 1 ] 9 = 1 2 av 8

3 Svar: a) b) 3 c) -2 d) -1 e) 3 f) 2 g) 0 h) 0 i) 1 j) 1 k) 1 l) 1 m) 2 {eftersom 3 2 = 3 2 } n) 5 o) 7 p) 11 r) 3 s) -3 t) 0 u) -1 v) 1 =========================================================== Vi använder oftast två typer av logaritmer: 1. logaritm med basen 10, som vi betecknar lg och 2. logaritm med basen ee 2.716, som vi betecknar ln ( den naturliga logaritmen ) Alltså lgxx = log 10 x och lnxx = log e x. T ex lg1000 = log = 3 ln 1 ee = log e 1 = 1 ee Uppgift 2. Beräkna följande logaritmer (utan hjälp av miniräknare) a) lg b) lg c) lg 10 d) lg 10 8 e) lg(1) f) lg( 1/100) g) lg (1/10) h) lg(0.001) i) lg(0.1) Svar: a) ( eftersom 10 = 10000) b) 6 c) 1 d) 8 (eftersom 10 8 = 10 8 ) e) 0 f) 2 g) 1 h) 3 i) 1 3 av 8

4 Uppgift 3. Beräkna (utan hjälp av miniräknare) a) ln ee 8 b) ln ee 6 c) ln ee d) ln(1/ee) e) ln 1 ee 2 Svar: a) 8 ( eftersom ee 8 = ee 8 ) b) 6 c) 1 d) 1 e) 2 ============================================================== Logaritmlagar gäller oavsett vilken bas väljer vi. Vi kan t ex ange räknelagar lagar för basen 10. RÄKNELAGAR för 10-logaritmer: ( Vi antar att xx, yy > 0) lg(xxxx) = lg xx + lg yy lg(xx/yy) = lg xx lg yy lg(xx nn ) = nn lg xx lg(10 nn ) = nn 10 lgxx = xx lg10 = 1, lg1 = 0 BASBYTE (från basen a till 10): log aa bb = lgbb lgaa ( där a,b > 0 och dessutom basen a skild från 1) Uppgift 3. Använd logaritmlagar och utveckla följande uttryck i en linjär combination av lg(a), lg(b), a) lg (aaaaaa) b) lg (aa 3 bb cc 8 dd) c) lg ( aaaaaa ) xxxx d) lg ( aa33 bb 5 xx 15 yy 17) e) lg ( aa3 bb cc 8 Lösning för uppgift e) xx 5 yy 7 zz 5) lg aa3 bb cc 8 xx 5 yy 7 zz 5 = lg(aa3 bb cc 8 ) lg xx 5 yy 7 zz 5 = [lg(aa 3 ) + lg(bb ) + lg(cc 8 )] lg(xx 5 ) + lg(yy 7 ) + lg zz 5 2 = 3lg aa + lg bb + 8lg cc 5 lg xx 7lg yy 5 lg zz 2 av 8

5 Svar: a) lg aa + lg bb + lg cc b) 3lg aa + lg bb + 8lg cc + 1 lg dd c) lg aa + lg bb + lg cc lg xx lg yy d) 33 lg aa + 5 lg bb 15 lg xx 17 lg yy e) 3lg aa + lg bb + 8lg cc 5 lg xx 7lg yy 5 lg zz 2 RÄKNELAGAR för den naturliga logaritmen: ( Vi antar att xx, yy > 0) ln(xxxx) = ln xx + ln yy ln(xx/yy) = ln xx ln yy ln(xx nn ) = nn ln xx ln(ee nn ) = nn ee lnxx = xx lnee = 1, ln1 = 0 BASBYTE (från basen a till e): log aa bb = lnbb lnaa ( där a,b > 0 och dessutom basen a skild från 1) Uppgift 5. Använd logaritmlagar och utveckla följande uttryck i en linjär combination av ln(a), ln(b), a) ln (aa 13 bb cc 8 dd 5 ) b) ln ( aaaaaa ) xxxxxx c) ln ( aa3 bb 9 xx 5 yy 17) d) ln (aa3 bb 1 cc 8 xx 5 yy 15) Svar: a) 13 ln aa + ln bb + 8 ln cc + 5 ln dd b) ln aa + ln bb + ln cc ln xx ln yy ln zz c) 3 ln aa + 9 ln bb 5 ln xx 17 ln yy d) 3 ln aa + 1 ln bb + 8 ln cc 5 ln xx 15 ln yy 2 I några matematiska tillämpningar av logaritmer ( t ex logaritmekvationer) måste vi göra omvänt d v s omvandla en linjär kombination av logaritmer till en logaritm. Uppgift 5. Skriv följande uttryck som en logaritm a) ln aa + ln bb + ln cc ln xx ln yy ln zz b) 2ln aa + 3 ln bb + ln cc 5 ln xx 6 ln yy 7 ln zz 5 av 8

6 c) lg aa + 5 lg bb 11 lg xx 7 lg yy d) 33 lg aa + 5 lg bb 15 lg xx 17 lg yy Lösning d) 33 lg aa + 5 lg bb 15 lg xx 17 lg yy = lg aa 33 + lg bb 5 lg xx 15 lg yy 17 = lg aa33 bb 5 xx 15 yy 17 Svar: a) ln ( aaaaaa xxxxxx ) b) ln ( aa2 bb 3 cc xx 5 yy 6 zz 7) aabb5 c) lg d) lg aa33 bb 5 xx 11 yy 7 xx 15 yy 17 Uppgift 7. Använd formeln för basbyte för att beräkna (approximativt) nedanstående logaritmer (a,b med miniräknare). a) log 3 8, med hjälp av miniräknare b) log 5 23, med hjälp av miniräknare c) log 3 2 ( 8) ( exakt, utan miniräknare) d) log 3 25 ( 5 3 ) ( exakt) Lösning a) : På en avancerad miniräknare kan vi beräkna 10-logaritmen och den naturliga logaritmen ( med basen e). Vi använder formeln för basbyte log aa bb = log ccbb log cc aa och byter t ex till naturliga logaritmer ( c= e i ovanstående formel). Därför log 3 8 = (basbyte) = log ee8 = ln = ( miniräknare) = = log ee 3 ln b) log 5 23 = ln23 ln5 = c) log = (basbyte) = d) 1/2 ln 8 3 = ln 23/ 3 = ln2 ln 2 ln 2 1/3 1 3 ln2 = 9/ =============================================================== 6 av 8

7 VIKTIGT: Enligt logaritmens definition är uttrycket log aa bb definierat (som ett reellt tal) endast om a>0, b>0 och dessutom basen aa 1. Exempel: Följande uttryck, t ex, är INTE definierade lg( 10), ln( 8), log 2 ( 5), log 3 (0), ln(0), log ( 2), log 1 Uppgift 8. Avgör om följande utryck är korrekt definierade: a) log 2 5 b) log 2 ( 1 ) c) log 2( 8) d) log 3 9 e) log 1 5 f) ln(23) g) ln(-2) h) lg(23.) i) lg(-3) j) lg(0) k) ln(0) Svar: a) ja b) ja c) nej d) nej e) nej f) ja g) nej h) ja i) nej j ) nej k) nej Uppgift 9. För vilka x är nedanstående uttryck definierade a) log 2 (x 5) b) ln(3 xx) c ) 3lg( 2xx 3) d) 5lg( xx 3) + 8lg(5 xx) e) 2 + 5ln( xx 2) 2ln (7 xx) Lösning för uppgift e) Följande två villkor måste vara (samtidigt) uppfyllda Villkor 1 x 2 > 0 x > 2 Villkor 2: 7 xx > 0 7 > xx xx < 7 Båda villkor är uppfyllda om 2 < xx < 7 Svar: a) x > 5 b) x < 3 c ) xx > 3 2 d) 3 < xx < 5 e) 2 < xx < 7 Uppgift 10. Beräkna y- värden i tabellen x 1/100 1/ y=lg(x) * * * * * och skissa grafen till funktionen yy = lg(xx). 7 av 8

8 Svar: x 1/100 1/ y=lg(x) y=lg(x) Uppgift 11. Beräkna y- värden i tabellen x 1/8 1/ 1/ yy = log 2 (xx) * * * * * * * och skissa grafen till funktionen yy = log 2 (xx). Svar: x 1/8 1/ 1/ yy = log 2 (xx) yy = log 2 (xx) 8 av 8

Relevanta dokument

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen