KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN"

Simon Sundqvist
för 9 år sedan
Visningar:

1 KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN PERMUTATIONER (Ordnade listor med n element, så kallade n- tipplar) 1. (permutationer av n olika element) Vi betraktar ordnade listor med n olika element,,, Varje bestämd ordning av givna element kallas en permutation. Antalet permutationer av n olika element ( där varje element förekommer exakt en gång) betecknas med P(n) och beräknas enligt följande ( För första platsen väljer vi bland n element. För andra platsen väljer vi bland (n-1) o s v.) Uttrycket betecknas kortare n! ( utläses en fakultet ) 1!=1 2!=2, 3! =3 2 1=6, 4!= =24 5!= =120 6!= =720. Som vi ser, gäller även n!=n (n-1)! Anmärkning: 0! ( Av praktiska skäll definieras 0!=1 ) Uppgift 1. a) Hur många permutationer ( dvs olika ord ) kan vi skriva med bokstäver A, B, C och D där varje bokstav används exakt en gång? b) Ange alla permutationer a) Antalet permutationer = b) Alla (24) permutationer : ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA. 2. Antalet permutationer av n element där är av samma typ1, är av samma typ2, där, beräknas enligt följande,,,!!! Uppgift 2. a) Hur många permutationer kan vi skriva med bokstäver A, A, B, B och B där A förekommer 2 gånger och B 3 gånger? b) Ange alla sådana permutationer. Lösning till a delen: 1 av 5

Antalet permutationer av n olika element ( där varje element förekommer exakt en gång) betecknas med P(n) och beräknas enligt följande 1 2 2 1 ( För första platsen väljer vi bland n element.

2 5! ! 3! Uppgift 3. Hur många permutationer av bokstäverna i ordet KOMBINATORIK börjar till vänster med KOMB? Om bokstäverna KOMB finns i början av ordet då permuterar vi faktiskt de bokstäver som finns i INATORIK ( Anm I förekommer 2 gånger i ordet ). Därför 8! ! 2 1 VARIATIONER. Ordnade k- tipplar valda bland n element (Ordnade dellistor med k element valda bland n-element, kallas också permutationer, delpermutationer, ) i) Antalet variationer med k element valda, utan upprepning, bland n element är ii) Antalet variationer med k element valda, med upprepning, bland n element är Uppgift 4. Hur många tvåsiffriga naturliga tal kan vi skriva med siffrorna 2,4,6 och 8 a) utan upprepning b) med upprepning Ange alla sådana tal. a) Utan upprepning 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. b) Med upprepning 22, 24, 26, 28, 42, 44, 46, 48, 62, 64, 66, 68, 82, 84, 86, Uppgift 5. I Sverige används bilskyltar med tre bokstäver på första 3 platser och 3 siffror i slutet, till exempel BCB344. Hur många olika bilskyltar kan man få om man använder endast 23 bokstäver och alla 10 siffror? Svar: = av 5

Ordnade k- tipplar valda bland n element (Ordnade dellistor med k element valda bland n-element, kallas också permutationer, delpermutationer, ) i) Antalet variationer med k element valda, utan

3 KOMBINATIONER ( delmängder) En delmängd med k element valda bland n element utan hänsyn till ordning kallas en kombination. Antalet kombinationer med k element valda bland n element betecknas och beräknas enligt följande formel [Anmärkning: Vi kan härleda ovanstående formel med hjälp av formeln för antalet variationer och sambandet ] Uttrycket betecknas ofta med,(utläses n över k) och kallas binomialkoefficient. Anmärkning: 0 Exempel: Beräkna ! 2! 4! Om vi i uttrycket förkortar har vi där både täljaren och nämnaren innehåller k st. faktorer. Exempel: Beräkna av 5

av formeln för antalet variationer och sambandet ] Uttrycket betecknas ofta med,(utläses n över k) och kallas binomialkoefficient.

4 Uttrycket (**) användas för att definiera då a är ett reellt tal (inte nödvändigtvis ett helt positivt tal): där a är ett reellt tal och k= 1, 2, 3,. och 0 1. Exempel: Beräkna EGENSKAPER för binomialkoefficienter: 1, 1,,, (symmetri ) Uppgift 6. Beräkna a), b) c) d) e) f) g) Lösning a) 10 Svar b) 6 c) 7 d) 7 e) 1 f) = 100 g) 1 Uppgift 7. På hur många sätt kan vi välja ( utan hänsyn till ordning) 2 studenter bland 10. Eftersom vi väljer utan hänsyn till ordning, handlar det om kombinationer: 10 ( förkortning med 8!) av 5

4375 3 1 2 3 6 EGENSKAPER för binomialkoefficienter: 1, 1,,, (symmetri ) Uppgift 6.

5 Svar: 45 BINOMIALSATSEN Följande formler kan man härleda direkt ( genom att multiplicera parenteser på vänsterledet): Med hjälp av matematisk induktion eller kombinatorik kan man bevisa följande formel som kalas oftast binomialsatsen. Med hjälp av tecken kan vi skriva binomialsatsen på kortare sätt. Uppgift 8. Använd binomialsatsen för att bestämma Uppgift 9. Använd binomialsatsen för att utveckla Uppgift 10. Vad är koefficient för x 8 i polynomet Koefficient c 8 för x 8 får vi för k=2. c 8 = 2 =45 2 =180 Uppgift 11. Koefficient för x 7 i polynomet är Bestäm den reella konstanten a Koefficient c 7 för x 7 får vi för k=3. c 7 = = 120. Nu har vi som ger a= 3. 5 av 5

Använd binomialsatsen för att bestämma. 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 10 10 5 Uppgift 9. Använd binomialsatsen för att utveckla. 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 10 10 5 Uppgift 10.

Relevanta dokument

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOMBINATORIK I kombinatoriken sysslar man huvudsakligen med beräkningar av antalet sätt på vilket element i en given lista kan arrangeras i dellistor. Centrala frågor i kombinatoriken är: " Bestäm antalet..."