Binomialtal. Olof Bergvall. Algebra och Kombinatorik Stockholms Universitet 1 / 13

Transkript

1 1 / 13 Olof Bergvall Algebra och Kombinatori Stocholms Universitet

2 2 / 13 Definition: Antalet sätt att välja en delmängd med element ur en mängd med n element betecnas. Talen ( n ) allas binomialtal eller binomialoefficienter. Exempel: Låt M = {1, 2, 3, 4, 5}. Delmängderna av M med 2 element är {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. Alltså är ( 5 2) = 10.

3 3 / 13 Sats: Låt n och vara heltal sådana att 1 n. Då gäller ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. 1 Bevis: Låt M = {1, 2..., n}. Om N M så gäller (i) Antingen är n ett element i N, (ii) eller så är n inte ett element i N. Fall (i): Vi måste nu välja 1 element bland de n 1 återstående. Det an göras på ( n 1 1) sätt. Fall (ii): I detta fall måste vi välja stycen element bland elementen 1, 2,..., n 1. Det an göras på ( ) n 1 sätt. Enligt additionsprincipen får vi nu att ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. 1 }{{}}{{}}{{} totalt Fall (i) Fall (ii)

4 4 / 13 Sats: Låt n och vara heltal sådana att 0 n. Då gäller n! =! (n )! Bevis: Låt M = {1, 2,..., n}. Välj ett element i M. Det an göras på n sätt. Välj ett av de återstående. Det an göras på n 1 sätt. Fortsätt tills du har en sevens med element. Enligt multipliationsprincipen finns det n! n (n 1) (n + 1) = (n )!, sådana sevenser. Sevenserna är ju doc ordnade. Mängder är oordnade. Det finns! sätt att ordna en mängd med element. Alltså måste vi dela med! för att få rätt svar: = n! (n )!! = n!! (n )!.

5 5 / 13 Exempel (oordnade val utan återläggning): På en annan äng finns tio sorters blommor. På hur många sätt an Madicen välja sju olia blommor att lägga under udden? Lösning: Madicen sa helt enelt välja en delmängd med sju element ur en mängd med tio element. Det an göras på ( ) 10 10! = 7 7! (10 7)! = = 120, 3 2 sätt.

6 6 / 13 Oordnade val med repetition Oordnade val med repetition Tidigare har vi sett hur man beränar antalet ordnade val utan repetition, antalet ordnade val med repetition samt antalet oordnade val utan repetition. Vi sa nu se hur man beränar antalet oordnade val med repetition.

7 7 / 13 Oordnade val med repetition Exempel: Olle får öpa 3 burar läs. Affären har apelsinläs (a), bananläs (b) och citronläs (c). Hur många valmöjligheter har Olle? Lösning: Till ett val av läs an vi associera en sevens med 3 ettor och 2 nollor. Exempelvis: a, a, c svarar mot Antalet ettor innan första nollan svarar mot antalet a, antalet ettor mellan första och andra nollan svarar mot antalet b och antalet ettor efter andra nollan svarar mot antalet c. Hur många sevenser av fem tecen med tre ettor och två nollor finns det? För att få en sådan sevens an vi helt enelt välja vila av de fem positionerna som sa vara ettor. Alltså blir svaret: ( ) 5 = 10. 3

8 8 / 13 Oordnade val med repetition Sats: Låt n och vara positiva heltal. Om upprepning är tillåten är antalet sätt att välja element bland n element + 1. Bevis: Vi an se till att alla element av en viss typ ommer först, följt av alla element av en annan typ och så vidare. Sedan sapar vi en sevens av ettor och nollor sådan att antalet ettor innan första nollan svarar mot antalet element av första typen, antalet ettor mellan första och andra nollan svarar mot antalet element av andra typen och så vidare. Vi behöver alltså stycen ettor och n 1 stycen nollor. Problemet är alltså evivalent med att i en sevens av + n 1 tecen välja som sa vara ettor. Alltså är antalet möjliga val ( ) + n 1.

9 9 / 13 Oordnade val med repetition Vi har nu beränat antalet möjliga val med och utan hänsyn till ordning och med och utan återläggning. Antalet sätt att välja element bland n element är Med ordning Utan ordning Med repetition n ( n+ 1 ) ( n! Utan repetition n (n )! )

10 10 / 13 Binomialsatsen Binomialsatsen Sats: Låt n vara ett positivt heltal och låt x och y vara två variabler. Då gäller (x + y) n = x n y = x n + 0 x n 1 y + 1 Bevis (siss): Vänsterledet är =0 x n 2 y xy n 1 + n 1 (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y). }{{} n gånger För att få en term x n y måste vi välja y i precis av fatorerna när vi expanderar ut. Det an man göra på ( n ) sätt. y n. n

11 11 / 13 Binomialsatsen Exempel: Visa att =0 = = 2 n. n Lösning: Binomialsatsen säger att (x + y) n = Om vi låter x = y = 1 får vi (1 + 1) n = =0 =0 x n y = 2 n.

12 12 / 13 Binomialsatsen Exempel: Visa att ( 1) = = ( ) ( ) n n + + ( 1) n = 0. 2 n Lösning: Binomialsatsen säger att (x + y) n = =0 Om vi låter x = 1 och y = 1 får vi (1 + ( 1)) n = =0 x n y ( 1) = 0.

13 13 / 13 Nya termer och betecningar: