Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Transkript

1 Lösningsförslag till deltentamen i IM601 Fasta tillståndets fysi Onsdagen den 5 maj, 011 Teoridel Magnetism i MnF 1. a) Vi ser från enhetscellen att den innehåller 8 1 =1 Mn-atom med spinn upp (hörnen) 8 och en Mn-atom med spinn ner (centralatomen). En ordnad strutur med lia många atomer av samma slag med spinn upp som med spinn ner är antiferromagnetis. b) Då struturen är antiferromagnetis under T N, så ommer den att vara paramagnetis ovanför T N. Eftersom den ordnade struturen av magnetisa moment under 67 K ommer att oordnas vid fasövergången, betyder detta att de magnetisa momenten hos Mn ommer att vara stoastist orienterade och helt oberoende av varandra ovanför 67 K, vilet leder till ett paramagnetist tillstånd (Mn har fortfarande ett magnetist moment!). c) Susceptibiliteten i det paramagnetisa tillståndet hos en antiferromagnet följer approximativt evationen: c = C T + q ; q ª T N fi 1 c ª T + T N C c c -1 T T T N -T N d) Att neutronerna är änsliga för magnetisa moment betyder att spridningen ommer att vara olia beroende på ifall Mn-atomerna i planen har spinn upp eller ifall de har spinn ner. Vid höga temperaturer är de magnetisa momenten helt oberoende av varandra och spridningen från Mn-atomerna ommer att avspegla deras inbördes lägen, vila ligger i en mittcentrerad tetragonal srtutur. I en sådan strutur ommer struturfatorn att ge utsläcning för samma typ av refletioner som i bcc, dvs. man ommer endast att se refletioner från de h, och l som uppfyller h++l är ett jämnt heltal. De lägsta refletionerna som sanas är (100), (001), (111) etc. Vid låga temperaturer (T<< 67 K), finns det en ordnad magnetis strutur. Refletionen (100) försvann på grund av att vi hade evivalenta atomer i de plan som går genom mittpositionerna i enhetscellen som i de plan som går genom hörnen av enhetscellen. I den ordnade magnetisa struturen är dessa båda atompositioner inte längre evivalenta, eftersom alla mittatomer har spinn ner och alla hörnatomer har spinn upp och därför har de olia spridningsfator för neutroner, vilet gör att man ommer att se (100)-refletionen i ett diffratogram då temperaturen är mindre än 67 K.

2 Kisel. a) Donatorer avger eletroner till ledningsbandet och har således en eletron mer än Si i sitt yttersta sal. Lämpliga atomslag är t.ex. P (fosfor) eller As (arseni). b) För att unna tillvera en halvledarlaser rävs ett diret bandgap och isel har indiret bandgap. En laser bygger dels på principen om populationsinvers, dvs. att det finns fler eletroner i ett högre energitillstånd än i ett lägre, och dels på principen om stimulerad emission, dvs. att en foton som rör sig genom materialet an stimulera utsändandet av ytterligare en foton med exat samma fas och energi. I en halvledare med diret bandgap an en foton emitteras diret vid en övergång mellan ledningsbandet och valensbandet (och därigenom ge stimulerad emission), medan i en halvledare med indiret bandgap rävs det medveran av en fonon för att en sådan övergång sa unna se. Därför ommer tillgången på fononer med lämplig vågvetor raftigt att reducera effeten av den stimulerade emissionen i en halvledare med indiret bandgap och omöjliggöra laserveran. c) Vid T = 0 K finns inga termist exciterade eletroner i isel och valensbandet är således fyllt. Fyllda band ger inga paramagnetisa bidrag. Dessutom finns det inga ledningseletroner, så Paulis paramagnetism ger inget bidrag. Doc, eftersom alla material har ett diamagnetist bidrag, är det enbart detta bidrag som återstår i isel vid T = 0 K. Blochs teorem 3. a) Eftersom vi har att potentialen U( r ) = U( r + T ) är gitterperiodis, så måste det gälla att =  U e U r Eftersom i r i r { e } =  U e = U r + T i r +T utgör en mängd av inbördes ortogonala funtioner, finns det inga linjärombinationer mellan funtionerna med olia och därför måste vi räva att e i T =1 för alla. Denna relation uppfylls om och endast om = G, eftersom relationen definierar det reciproa gittret med gittervetorer G. Detta visar påståendet. b) Insättning i Schrödingerevationen ger att: h m C ( ) e i r i ( +G ) r  + ÂÂC ( )U G e -  EC ( ) e i r = 0 G Om vi nu byter betecningar så att Æ i den första och den sista termen, samt Æ - G i den mellersta termen, så får vi att: e i r È h Â Í m C ( ) + ÂU G C( - G ) - EC( ) = 0 Î Í G i r Återigen utnyttjar vi att { e } utgör en mängd av inbördes ortogonala funtioner, varför det måste gälla att ( l - E)C + U G C( - G )  = 0 där vi har satt l = h G m.

3 Rimliga värden 4. a) Energigapet hos en halvledare: 0,5 ev b) Energigapet hos en supraledare: mev c) Mättnadsmagnetiseringen hos en ferromagnet: 0,5-3,5 T d) Penetrationsdjupet hos en supraledare: 0,1-10 mm Fermiytan hos en bcc-metall Beräningsdel 1. Det reciproa gittret till en bcc-strutur har fcc-strutur. De ortaste gittervetorerna ugörs av de 1 G (110)-vetorerna i reciproa gittret och BZ-gränsen ligger på halva avståndet mellan origo och dessa gittervetorer. Om a är gitterparametern i den ubisa enhetscellen, så = p ( x a ˆ + y ˆ ) (Kittel sid. 36). Detta ger minsta -värdet på BZ-gränsen bestäms av är G 110 BZ = 1 G ( 100 ) = p a Ê I frieletronmodellen har vi att Fermivågvetor an tecnas F = 3p N ˆ Á. Sätts dessa Ë V evationer samman med N V = Z ( atomer i enhetscellen hos bcc och Z fria eletroner per 3 a atom) får vi slutligen att: p a = Ê 3p ˆ Á Z Ë a ( fi Z = p 3 ) 6p = p 3 =1, Effetiv massa i (100)-ritningen hos Ge. Med den givna evationen och begränsningen att vi enbart sa titta i (100)-ritningen där y = z = 0, an evationen srivas om som: e( ) = h Ê m A ± B 4 ˆ Á = h Ë m ( A ± B ) Den effetiva massan definieras av evationen e( ) = h x m ( A ± B ) fi 1 vilet med insatta värden ger m* = m * = 1 h e x 1 m * = 1 h e = A ± B m fi m* = m A ± B, varför vi får att: m -13,38 + 8,48 = -0,04m respetive m* = m -13,38-8,48 = -0,046m

4 Paramagnetism i TmAgSn 3. a) Av de metaller som ingår i den intermetallisa föreningen gäller följande: Tm: har oparade inre f-eletroner, vila ger ett start magnetist bidrag Ag: har ett fullt sal av d-eletroner och avger endast sin 5s-eletron till eletrongasen vilet totalt sett ger ett litet magnetist bidrag Sn: avger sina oparade 5p-eletroner till eletrongasen, vilet ger ett litet magnetist bidrag Slutsatsen är att Tm står för det dominerande magnetisa bidraget i TmAgSn. b) Tm avger 3 eletroner till eletrongasen och har då den atomära onfigurationen 4f 1 5s p 6. Påfyllnad med 1 eletroner i enlighet med Hunds regler (maximera m s först och maximera m L sedan ger följande diagram: m L m S +1/ -1/ Totalt spinn respetive totalt banimpulsmoment för Tm blir således: S = Â m S = =1; L = Â m L = = 5 För mer än halvfullt sal gäller vidare enligt Hunds regler att: J = L + S = 6 Landé-fatorn för Tm an nu beränas g =1+ J J +1 + S( S +1) - L( L +1) J( J +1) fi g = =1,167 vilet medför att effetiva antalet Bohrmagnetoner är p = g J( J +1) fi p =1, = 7,56 c) Enligt Curies lag gäller att den ära susceptibiliteten ( N = N A ) hos ett paramagnetist flernivåsystem an tecnas (i CGS). c = C T ; C = N A p m B 3 B fi p = 3 B C N A m B È Í SI : p = Î Í 3 B C N A m 0 m B Curieonstanten beränas utgående från lutningen i grafen: 1 c = T C fi 1 C = emu K = 0,15 È emu K SI : 0,15 Í Î 4p 10-6 m 3 K =11937 m 3 K Mätningen ger således att: p = 3 1, = 7,30 0,15 6, ,

5 I SI-enheter: p = 3 1, = 7, , p , d) Ur figuren får man diret att den ära susceptibiliteten uttryct i CGS-enheter ges av: 1 = 43 c emu fi c = 1 emu 43 Enligt bildtexten betyder detta att den ära susceptibiliteten uttryc i m 3 / blir: c(si) = 4p p 10-6 c( CGS) = 43 m 3 För att räna om den ära susceptibiteten till volymsusceptibitet sa vi dividera med volymen. Eftersom vi vet att struturen är hexagonal, så är volymen av enhetscellen V c = 3 a c Eftersom varje enhetscell innehåller 3 formelenheter av materialet, så blir volymen hos en av materialet: V m = N A V c 3 = N A a c 3 fi fi V m = 6, , Slutligen får vi att: 443, p 10-6 c = = 7, ,07 10 m 3 = 4, m 3