Dispersionsrelation för fononer hos en diatomär atomkedja

Transkript

1 Dispersionsrelation för fononer hos en diatomär atomkedja Betrakta en endimensionell kedja av atomer med alternerande atomslag (massor M 1 respektive M ), dvs. kedjan består av ett endimensionellt gitter med två atomer i basen och gitterkonstanten är a. Vi betraktar vidare atom s i kedjan och dess omgivning samt inför beteckningar enligt figur. Vila: a Våg: u s- u s-1 u s v s u s+1 u s+ v s- v s-1 v s+1 v s+ I den enklaste modellen behöver vi endast ta hänsyn till växelverkan mellan närmaste grannar, varför kraften mellan två atomer i kedjan har en kraftkonstant (fjäderkonstant) som är densamma oberoende av vilka två atomer som vi betraktar. Vi får två kraftekvationer (en för vardera atomen i basen), vilka blir: M 1 d u s M d v s ( v s - u s ) + ( v s-1 - u s ) ( v s + v s-1 - u s ) ( u s+1 - v s ) + ( u s - v s ) ( u s+1 + u s - v s ) Eftersom båda atomerna deltar i samma vågrörelse genom materialet, förväntar vi oss att få samma w och samma K för de båda atomerna, medan den enda effekten av de olika massorna kommer att bli att svängningarna har olika amplitud i vågrörelsen. Detta betyder att vi kan göra ansatsen u s u e i( Kx-wt) u e i( Ksa-wt) v s v e i( Kx-wt) v e i( Ksa-wt) där vi utnyttjar att atom s befinner sig på avståndet x s a från början på atomkedjan. Omskrivning av de andra termerna i högerledet av kraftekvationen ger att: u s+1 u e i K( s+1)a-wt v s-1 v e i K( s-1)a-wt u e i Ksa-wt v e i Ksa-wt e ika us e ika e -ika vs e -ika Vidare noteras att andraderivatorna av u s respektive v s blir: d u s d v s (-iw) u e i( Ksa-wt) -w u s (-iw) v e i( Ksa-wt) -w v s

2 Sätter vi samman allt detta, ger de båda kraftekvationerna upphov till ett ekvationssystem. - u s - v s -M 1 w u s v s 1+ e -ika -M w v s u s e ika +1 fi ( - M 1 w ) u - 1+ e-ika - e ika +1 v 0 u + ( - M w ) v 0 där vi i det sista ledet har dividerat bort den gemensamma faktorn e i( Ksa-wt). Icke-triviala lösningar till ekvationssystemet fås då determinanten är lika med noll, dvs. då ( 1+ e -ika ) - M w 0 - M 1 w e ika +1 vilket ger att ( - M 1 w ) - M w - ( 1+ e -ika )( eika +1) 0 fi 0 fi fi 4 - ( M 1 + M )w + w 4 - e ika e -ika fi w 4 - ( M 1 + M ) w + - eika + e -ika ˆ M 1 M Á Ë 0 fi w 4 - ( M 1 + M ) w + ( 1- coska) 0 fi fi w 4 - ( M 1 + M ) w + 4 sin Ka 0 Lösningen till andragradsekvationen i w är M ( 1 + M ) w ± K ± M 1 + M ˆ Á - Ë 4 sin Ka vilket ger två olika lösningar, w + respektive w -, som resulterar i dispersionsrelationen: fi ( 1) ( M 1 + M ) sin Ka 1± 1-4 M 1M M 1 + M Gränsfallen K Æ 0 (långa våglängder) samt K Æ p a (Brillouinzongränsen) För K 0 gäller att sin Ka ( M 1 + M ) 0, vilket ger värdena 1± w - ( M 1 + M ) ( w + ) ( 3)

3 För K p a Ka gäller på motsvarande sätt att sin sin p 1, vilket ger värdena ( M 1 + M ) 1± 1-4M 1M M 1 + M M 1 + M ± (M 1 + M ) - 4 M 1 + M ± (M 1 - M ) Om vi väljer massorna M 1 och M, så att M 1 > M, får vi slutligen att w ± ( K) M 1 + M ± (M 1 - M ) M 1 ( w + ) M M ( w - ) M 1 dvs. w - < w + på Brillouinzongränsen. Detta ger ett frekvensgap där det inte existerar några tillåtna fononfrekvenser. Detta syns även i figuren nedan där dispersionsrelationen i ekvation () visas i normaliserad form (w 0 ( M 1 + M ) ) mot en normaliserad vågvektor Ka p Fonondispersionsrelation i diatomär kedja då M1 1,5 M 3:e BZ :a BZ 1:a BZ :a BZ 3:e BZ optisk gren w + (K) frekvensgap w/w w-(k) 0.4 akustisk gren Ka/p I figuren har de tre första Brillouinzonerna ritats ut för att visa på periodiciteten hos dispersionsrelationen i ekvation (). I detta normaliserade diagram kommer de reciproka

4 gitterpunkterna vilka för en endimensionell kedja med gitterkonstanten a ges av K n p a att ligga i de punkter som motsvaras av heltal på x-axeln. 1:a BZ är det område som ligger närmare origo än någon annan reciprok gitterpunkt, :a BZ är det område utanför 1:a BZ som ligger närmare origo än näst närmaste reciproka gitterpunkter (vilka ligger i ±), 3:e BZ är det område utanför :a BZ som ligger närmare origo än tredje närmaste reciproka gitterpunkter (vilka ligger i ±3) etc. Svängningsmodernas utseende då K 0 Om vi sätter K 0 i den översta ekvationen i ekvation (1) samt utnyttjar de värden på w ± som vi räknade ut enligt ekvation (3) för fallet K 0, fär vi ekvationerna - M 1 ( M 1 + M ) ˆ Á u - ( 1+1)v 0 w + Ë ( - 0)u - ( 1+1)v 0 w - vilka kan lösas för att ge u - M v M 1 w + u v w - Fysikaliskt betyder detta att de båda atomslagen rör sig i fas med varandra i den akustiska grenen medan de rör sig mot varandra i den optiska grenen (se figur nedan). Vila: a w + w - Ljudfarten: Låt oss slutligen beräkna ljudfarten i denna enkla modell. För ljudvågors utbredning gäller den långa våglängdsapproximationen eftersom typiska ljudvågor har en våglängd som är mycket större än gitteravstånden, dvs: vi ska titta på området då K Æ 0. Eftersom en fortskridande ljudvåg i ett medium enligt klassiskt vågrörelselära har en utbredningsfart som ges av w v K, räcker det med att vi söker en linjär relation mellan w och K i gränsen då K är liten. Formellt sett är det grupphastigheten för vågens utbredning i den akustiska grenen av dispersionsrelationen som ska beräknas. Detta ger oss genom att beräkna derivatan av w - ( K) i ekvation ():

5 v g w - K È Í K Í Î ( M 1 + M ) ( M 1 + M ) ( M 1 + M ) sin Ka M 1 + M (-1) - 4M ˆ 1M Ka Ka sin cos Á Ë ( M 1 + M ) a M 1M ( M 1 + M ) sin Ka 4 M 1 + M ( M 1 + M ) sin Ka ( M 1 + M ) ( M 1 + M ) sin Ka 1-4M 1M M 1 + M Ka Ka sin cos M 1M M 1 + M sin Ka M 1 + M 4 Ka Ka sin cos ( M 1 + M ) M 1 + M M 1 M ˆ ( M 1 + M ) sin Ka Á Ë 1-4 M 1 + M 4 M 1 + M sin Ka 1-4 M 1 + M sin Ka sin Ka Ka cos M 1 + M ( M 1 + M ) sin Ka sin Ka a sin Ka a a För att betrakta gränsen K Æ 0, sätter vi K 0 i uttrycket ovan och får att v g a a M 1 + M M 1 + M