Enligt Hunds första regel är spin maximal. Med tvνa elektroner i fem orbitaler tillνater

Transkript

1 Problem. Vad är enligt Hunds reglar grundtillstνandet av deföljande fria joner? Använd spektroskopisk notation. Till exempel, i Eu + (4f 7 ) skulle rätt svar vara 8 S 7=.Gekvanttal för banrörelsemängdsmoment, spinn och total rörelsemängdmoment. a) V 3+ 3d (p) Enligt Hunds första regel är spin maximal. Med tvνa elektroner i fem orbitaler tillνater Pauli-principen tvä parallela spins: S = = = och multipliciteten S + = 3, ett triplet-tillstνand alltsνa. Enligt Hunds andra regel ska L maximaliseras. För 3d-orbitalerna gäller l =, sνa att m l = resp m l = och L = j±m l j =3,ettF -tillstνand. Eftersom skalen är mindre än halvt fylld, blir den totale rörelsemängsmoment J = jl Sj =3 =. Rätt svar är alltsνa 3 F. b) Pu + 5f 6 (p) Pνa samma sätt: S =6 = =3,S + = 7, L = =3, J = j3 3j =0.Svar 7 F 0.

2 Problem. Dispersionsrelationen av longitudinella fononer pνa ett visst rektangulärt gitter är given av! = 4C M (sin k x a + sin k y b ); där a och b är gitterparametrarna. a) Rita dispersionen frνan punkten (k x ;k y )=(0; 0) till (ß=a; 0), frνan (ß=a; 0) till (ß=a; ß=b) ochtillslutfrνan (ß=a; ß=b) till (ß=a; ß=b). (p) En enkel graf med tre sektioner räcker som svar, men figuren nedan visar värden för! i enheter p 4C=M i det -dimensionella k-rummet och vägen frνan (0; 0) till (ß=a; ß=b) som en tjock linje. k y b/ k x a/ b) Hur stor är ljudhastigheten i riktningen k x = k y?(p) Ljud har vνaglängder mycket större än gitterkonstanten, sνa att sin ka ß ka. Med k x = k y = k= p har vi! = s 4C M sin ka p Ljudhastigheten är!=k = kb + sin p ß q C M (a + b ). s 4C k a M 8 r + k a C = k 8 M (a + b ):

3 Problem 3. Xie et al ger följande beräkning av fononerna i silver [Phys. Rev. B 59, 965 (999)]. Slνa upp silvrets Debye-temperatur. Vilken frekvens motsvarar det? (p) D = 5 K motsvarar f D =4;6 THz. Hur stor är silvrets värmekapacitet vid rumstemperatur? (p) RT > D, alltsνa C V ß 3R ß 5 J/(mol K). Hur stor är ljudhastigheten i hi-riktningar? (p) k L = p 3ß=4;09 = ;33 νa, extrapolation av den longitudinella grenen ger! = ß 9:0 s,sνa attv =!=k =ß 9:0 =;33:0 0 = 4 km/s. Hur stor är den största k-vektorn en fonon kan ha i silver? (p) Den ligger pνa Brillouinzonens hörn (W-punkten) där k = p 5ß=a. Varför har fononer en nedre gräns pνa vνaglängden? En sνadan gräns finns ju inte för fotoner och elektroner i silver. (p) Fononens amplitud är atomernas utvikelse frνan deras jämviktspositioner. Mellan atomerna har fononens amplitud ingen fysikalisk betydelse (i motsats till fallen med fotoner och elektroner). 3

4 Problem 4. En viss en-dimensionell struktur med periodicitet a = νa har en bandstruktur med följande dispersionsrelationer: E (k) = W ( + cos ka) och E (k) =E g + D ( cos ka) där D =ev,w = 0, ev och E g =ev. a) Skissa bandstrukturen i den första Brillouinzonen. (p) 3eV E E Energi m* e,h k (Å - ) b) Om det finns tvνa elektroner per enhetscell, har vi här vid T = 0 en isolator med direkt gap, med indirekt gap, eller är det en metall? Motivera. (p) Isolator med indirekt gap; Nk-värden hνaller N elektroner valensbandet. c) Skissa tillstνandstätheten som funktion av energin. Ange Fermi-nivνans läge om det finns en elektron per enhetscell. (p) tillståndstäthet 0 Energi 3eV d) Antag att det här är en isolator med E F ß E g =. Hur stor är effektiva massan av elektroner och hνal i de här banden? (p) Ledningsbandet har dispersionsrelation E (k) =E g + D ( cos ka). Eftersom för k fi ß=a gäller att cos ka ß k a, har vi frνansett frνan en konstant term sνa att E (k) ß D k a = μh k m Λ ; m Λ = 4 (:0 0 ) ;6:0 9 =;735:0 30 kg = ;9 m e : μh a D = (;05:0 34 ) Hνalets massa är fem gνanger större.

5 Problem 5. Bariumtitanat BaTiO 3 kristalliserar i en struktur där Ba-atomerna sitter pνa kubenshörn, Ti-atomerna i kubens mitt och O-atomerna mitt pνa kubens sidor. Vilket Bravais-gitter har BaTiO 3?(p) enkel kubisk Vad är en lämplig bas för den här kristallstrukturen? (p) x y z Ba Ti 0,5 0,5 0,5 O 0,5 0,5 0 O 0,5 0 0,5 O 0 0,5 0,5 Hur stor är förhνallandet mellan de första fyra Bragg-reflektionernas intensiteter? (De atomära formfaktorerna ges som f Ba =7f O och f Ti =3f O.) (p) S(00) = e 0 f Ba + e iß f Ti +(e 0 +e iß f O )=f Ba f Ti f O =3f O S(0) = e 0 f Ba + e iß f Ti +(e iß +e iß )f O = f Ba + f Ti f O =9f O S() = e 0 f Ba + e i3ß f Ti +3e iß f O = f Ba f Ti +3f O =7f O S(00) = e 0 f Ba + e iß f Ti +(e 0 +e iß )f O = f Ba + f Ti +3f O =3f O Intensiteterna förhνaller sig som 9:8:49:69. 5