( ) Räkneövning 3 röntgen. ( ) = Â f j exp -ir j G hkl

Transkript

1 Räkneövning 3 röntgen 1. Natrium, Na, har en bcc-struktur med gitterparametern 4,225 Å. I ett röntgenexperiment på ett polykristallint Na-prov använder man sig av Cu-K a - strålning med våglängden 1,5405 Å. Vid vilka vinklar förväntar man sig att se de första fem topparna i röntgendiffraktogrammet (q- 2q-geometri)? För att man ska se en topp i ett röntgendiffraktogram från ett polykristallint provs krävs dels att Braggs lag, 2d( hkl)sinq = l, är uppfylld och dels att strukturfaktorn är skild från noll. I den kubiska bcc-struktur har vi två atomer i basen, dels en atom i r 0 = ( 0 0 0) och dels en atom i r 1 = ( a 2 a 2 a 2). Den kubiska strukturen har vidare gittervektorer a 1 = aˆ x, a 2 = aˆ y, a 3 = aˆ z, vilket betyder att de reciproka gittervektorerna är b 1 = 2p a ˆ x, generell reciprok gittervektor för bcc kan tecknas: b 2 = 2p a ˆ y, b 3 = 2p a ˆ z och en G hkl = 2p a ( hˆ x + kˆ y + lˆ z ) Detta betyder slutligen att strukturfaktorn kan räknas ut: = Â f j exp -ir j G hkl S hkl j [ ( )] = f Na 1+ exp -i h + k + l Strukturfaktorn är således skild från noll om och endast om h + k + l är ett jämnt tal. I en kubisk struktur är d( hkl) = 2p a =, vilket gör att Braggs lag G hkl h 2 + k l kan skrivas som: 2asinq = l h 2 + k 2 + l 2 Ê fi q = arcsin l 2a h2 + k 2 + l 2 ˆ Á Ë Lägsta tillåtna vinklar fås således för lägsta tillåtna värde på,k och l är heltal. En tabell ger oss att: h 2 + k 2 + l 2, där h hkl h 2 + k 2 + l 2 Vinkel q ( ) , , , , , ,163

2 2. Vid en röntgenundersökning av ett polykristallint metalliskt grundämne med kubisk struktur (q-2q-geometri) erhöll man följande toppar i röntgendiffraktogrammet när våglängden hos röntgenstrålningen var 1,5405 Å. Vilken kubisk struktur har materialet och vilket värde på gitterparametern a ger mätningarna? Nr Vinkel q ( ) Nr Vinkel q ( ) 1 14, , , , , , , , , ,92 Eftersom det är givet att strukturen är kubisk, finns det tre möjliga alternativ, vilka är i) enkelt kubisk (sc) med en atom i basen, ii) mittcentrerat kubiskt (bcc) med två atomer i basen eller ytcentrerat kubiskt (fcc) med fyra atomer i basen. För vardera av dessa strukturer har vi att strukturfaktorn är: S sc = f [ ( )] ( ) + exp -ip ( h + l) S bcc = f 1+ exp -ip h + k + l [ + exp( -ip ( k + l) )] S fcc = f 1+ exp -ip h + k Detta betyder följande för vilka (hkl) som kommer att kunna observeras: Enkelt kubiskt (sc): Alla (hkl) Mittcentrerat kubiskt (bcc): Endast (hkl) som uppfyller att h+k+l är jämnt Ytcentrerat kubiskt (fcc): Endast (hkl) där alla h,k,l är udda eller alla jämna Braggs lag, 2d( hkl)sinq = l, blir i en kubisk struktur där d( hkl) = 2asinq = l h 2 + k 2 + l 2 fi sin 2 q ( h 2 + k 2 + l 2 ) = l 2 4a 2 = konstant a h 2 + k 2 + l 2 : Betrakta nu de reflektioner som har lägst värden på h 2 + k 2 + l 2 i vardera av de möjliga strukturerna. Vi börjar med enkelt kubisk struktur (sc): , , , ,05434 Av resultaten är det uppenbart att strukturen inte är enkelt kubisk.

3 Vi övergår då till att pröva ifall det kan vara en mittcentrerad kubisk struktur , , , Det är således inte heller en mittcentrerad kubisk struktur (bcc). Återstår då endast den ytcentrerade kubiska strukturen (fcc): , , , , , , , , , , ,01976 Eftersom värdena är desamma, så är detta den korrekta strukturen. Gitterparametern kan nu beräknas ur: k = l2 4a 2 fi a = l 2 k fi a = 1, ,01976 Å = 5,48 Å 3. Silver, Ag, är fcc och har en gitterparameter a = 4,09 Å. Betrakta en enkristall av silver som är kluven så att ytplanet antingen är (100), (110) eller (111). Vid vilka vinklar förväntar man sig att se de första två röntgentopparna i vardera av dessa fall om man använder sig av en röntgenkälla med Mo-K a -strålning och våglängden 0,7093 Å? Silver är fcc, varför vi har att strukturfaktorn: [ ( ) + exp( -ip ( h + l) ) + exp( -ip ( k + l) )] S = f 1+ exp -ip h + k Detta betyder att endast reflektioner med alla h,k.l udda eller alla h,k,l jämna ger reflektioner i röntgendiffraktogrammet. Vidare gäller att eftersom provet är en

4 enkristall, så kommer det endast att finnas reflektioner som motsvarar det ytplan som kristaller har. I exemplet betyder detta ytplanen (100), (110) respektive (111). Det är således endast plan av typen (h00), (hh0) respektive (hhh) som kan ge röntgendiffraktion i de olika fallen. Dessutom behöver vi användas oss av Braggs lag applicerad på en kubisk kristall, vilken lyder: 2asinq = l h 2 + k 2 + l 2 Ê fi q = arcsin l 2a h2 + k 2 + l 2 ˆ Á Ë Sammantaget får vi följande tabell över de olika fallen: (h00) S 0? Nr Vinkel q ( ) 100 Nej Ja 1 9, Nej Ja 2 20,295 (hh0) S 0? Nr Vinkel q ( ) 110 Nej Ja 1 14, Nej Ja 2 29,374 (hhh) S 0? Nr Vinkel q ( ) 111 Ja 1 8, Ja 2 17, Beräkna strukturfaktorn för den kubiska fasen av strontiumtitanat, SrTiO 3, som visas på bilden nedan? Titan, Ti Strontium, Sr Syre, 0

5 Strukturen är kubisk varför vi har att gittervektorerna är: a 1 = aˆ x, a 2 = aˆ y, a 3 = aˆ z Detta betyder vidare att de reciproka gittervektorerna är: b 1 = 2p a ˆ x, b 2 = 2p a ˆ y, b 3 = 2p a ˆ z En generell reciprok gittervektor för en kubisk struktur kan således tecknas: = hb 1 + kb 2 + lb 3 = 2p ( a hˆ x + kˆ y + lˆ z ) G hkl Av den kemiska formeln med 5 atomer ser vi att det finns 5n atomer i basen, där n är ett heltal. Efter inspektion av enhetscellen, så ser vi att om vi exempelvis translaterar titanatomerna i olika riktningar, kan vi bygga upp hela strukturen utan att atomer saknas eller hamnar på felaktiga platser. Detta betyder att n=1 och vi har således 5 atomer i basen, vilka befinner sig i följande positioner: Ti: Sr: ( a 2 a 2 a 2) O: ( a 2 0 0), ( 0 a 2 0), 0 0 a 2 Strukturfaktorn blir nu: S G = Â f j exp -ig r j j -ip h+k+l = f Ti + f Sr e + f O e -iph + f O e -ipk + f O e -ipl