1. (a) (1 poäng) Rita i figuren en translationsvektor T som överför mönstret på sig själv.

Transkript

1 1. (a) (1 poäng) Rita i figuren en translationsvektor T som överför mönstret på sig själv. Solution: Man ser efter ett tag att några kombinationer återkommer, till exempel vertikala eller horisontella par av små svarta fyrkanter ovanför varandra. Och att vektorer i figuren med lösningen också överför den vidare omgivningen på sig själv. (b) (1 poäng) Rita i figuren en fyrkant enhetscell. Solution: Idettamönstret är en fyrkant enhetscell 8 8 små rutor stor. Men då ser man att den är centrerad. Det betyder att det också finns en fyrkant enhetscell med en yta som är halv så stor. Båda lösningar räknas korrekta. (c) (1 poäng) Rita i figuren primitiva basvektorer a och b och en primitiv enhetscell. Solution: Så ser man att det finns många fler gitterpunkter på en av diagonalerna. (d) (1 poäng) Markera inom ett visst område alla gitterpunkter. Page 3

2 2. Aluminiumnitrid Nitrider har blivit teknologiskt intressanta i halvledarindustrin. Till exempel kan GaN användas för att göra blå lysdioder, något som Nakamura tilldelades Nobelpriset för år Den här uppgiften handlar om aluminiumnitrid, som har ett ännu större bandgap. På nästa sida finns en figur som visar resultat från ab initio beräkningar av Durandurdu (2008). Vid normala tryck har dessa ganska kovalenta III-V halvledare en kristallstruktur där varje atom har fyra närmaste grannar som i diamant på ungefär 1,9 Å avstånd. Olika stapling kan ge en kubisk struktur som i mineralen zinkblände (ZB) eller den hexagonala strukturen av wurtzit. Vid höga tryck finns en fasövergång till NaCl-strukturen (rock salt, RS). (a) (1 poäng) Varför är NaCl-strukturen mer stabil vid höga tryck? Solution: Tetragonala strukturer som diamant är öppna, det finns relativt mycket ẗomrum. I NaCl-strukturen är antalet närmaste grannar 6 istället för 4. Det gör att volymen minskar (fast paravståndet är lite större i NaCl-strukturen). (b) (1 poäng) Figur 1 visar beräknad energi per atom som funktion av volym per atom. Förklara tydligt (t ex med hjälp av en skiss) att paravståndet i NaCl-strukturen är 2,05 Å. Solution: NaCl-strukturen har ett minimum i energi när volymen per atom är 8, 6 Å 3. Strukturen har fcc symmetri, alltså fyra formelenheter eller åtta atomer per kubisk enhetscell: 8 8, 6 = 68, 8 Å 3. Gitterparameter is 3p 68, 8=4, 10 Å. Paravståndet är hälften av detta. Eller en skiss av en liten kub med fyra formelenheter, 2 3 = 8 atomer som då har sidlängd 3p 2 3 8, 6 Å. Paravståndet är hälften av detta 3p 8, 6=2, 05 Å. (c) (1 poäng) Uppskatta bindningens kraftkonstant (använd data för NaCl-strukturen). Solution: Längdändringen från minimum till punkten längst till vänster är ` = 2, 05 3 p 7, 65 = 0, 08 Å. Energiändringen är E 0, 105 ev = 1, J. Kraftkonstant blir då k =2 E/ `2 =3, 36/0, 08 2 = 525 N/m. (d) (1 poäng) Uppskatta en elasticitetsmodul för NaCl-strukturen. Solution: Youngs modul Y = k/a 0 = 525 2, = Pa. Page 4

3 Figur 1: Beräknade värden för energi per atom av aluminiumnitrid i zinkbländestrukturen och i RS-strukturen(rock salt) enligt Durandurdu. Page 5

4 3. Si-dopning av AlN Figuren visar data från en artikel där man för första gången gjorde en LED av AlN. Ljuset hade en våglängd på 210 nm men var svagt. Figur 2: a, The temperature dependence of hole concentration. The solid line shows the least-squares fit, the fit parameters are shown. b, The temperature dependence of hole mobility. The line is a least-squares fit of data. (Taniyasu et al., Nature 2006) (a) (1 poäng) Förklara hur Si-dopning av AlN ger n-dopning. Solution: Aluminiumnitrid är en III-V halvledare och kisel är ett grundämne ur grupp IV i det periodiska systemet. När Si substituerar för Al blir det en extra valenselektron i gittret, n-dopning. Men om kiselatomen fanns istället för en kväveatom skulle det saknas en elektron: p-dopning (b) (1 poäng) Elektronen är mycket hårdare bunden till donoratomen i halvledare (isolatorer) med stora bandgap än i till exempel germanium. Ge en rimlig förklaring. Solution: Med den teorin som ingår i kursen finns det två parametrar som påverkar störämnens bindningsenergi: halvledarens permittivitet och laddningsbärarnas e ektiva massa. Det stämmer att permittiviteten är mindre (" r 9) och att den e ektiva massan är relativt stor, men Bohrmodellen kan inte förklara allt när orbitalradien är så liten. (c) (1 poäng) Detta innebär att vid rumstemperatur en stor del av donoratomerna inte är joniserade. Rita i figuren en kurva av hur antalet laddningsbärare tilltar från det givna värdet vid 200 K om bindningsenergin är 0,282 ev. (Hålen är ännu hårdare bundna.) Solution: Vid 200 K ser vi att elektronkoncentrationen är cm 3. E Förhållandet mellan koncentrationen vid 500 K och 200 K är exp( k B ( )) = 0,282 exp( ( 1 1 8, )) = exp( 0,282 0,0862 ( )) = exp(3, 27( )) = e 3, Så det blir ungefär cm 3.Enrät linje ritas i figuren. Page 6

5 (d) (1 poäng) Beräkna materialets specifika motstånd vid 300 K. Solution: Hålledning kan försummas här. Med värden från figurerna = eµ e n = 1, , =0, cm 1. Specifikt motstånd % =1/ = 0, 21 m, egentligen för högt för praktiska tillämpningar. Page 7

6 4. Koppar En spänningsskillnad på 0,3 volt existerar mellan båda änder av en koppartråd som är 5 meter lång. Tvärsnittsarean är 2,5 mm 2. Ledningsförmågan är 6, m 1 vid rumstemperatur. Koncentrationen av elektroner är 8, m 3. (a) (1 poäng) Hur stor är elektronernas drifthastighet? Solution: Strömtätheten J = E =6, ,3 5 =3, A/m 2. Drifthastigheten är strömtätheten delad med laddningstätheten: v d = J ne = 3, , , = 0, 28 mm/s. Eller v d = µe = E en. (b) (1 poäng) Hur stor är elektronernas mobilitet? Solution: Mobiliteten är förhållandet mellan drifthastighet och fältstyrka µ = v d /E = 0, ,3/5 =0, 0047 m 2 /Vs. Eller direkt från = enµ, samma svar. (c) (1 poäng) Hur stort antal elektroner passerar per sekund genom trådens ena ände? Solution: Strömmen är I = JA =3, , =9, 7 A som motsvarar ungefär elektroner per sekund. (d) (1 poäng) Hur stor är elektronernas kinetiska energi? Solution: De snabbaste elektronerna har Fermi-energin som är proportionell mot elektrontätheten n 2/3 som E F = 37 0, 085 2/3 = 7 ev. (e) (1 poäng) Hur stor är elektronernas fria väglängd? Solution: Från uttrycket för mobilitet µ = q m får vi att relaxationstiden är given av = µm 0,0047 9, q = =2, , s. Multiplicerad med fermihastigheten 19 v F =1, m/s ger det en fri väglängd fri = 40 nm. Page 8