Problem 1. Figuren nedan visar ett mo nster ritad av Tayoin Design.

Transkript

1 Problem. Figuren nedan visar ett mo nster ritad av Tayoin Design. a) Rita en translationsvektor T i figuren som la mnar mo nstret ofo ra ndrat. (p) Lo sning: Det finns fo rsta s oa ndligt ma nga mo jligheter. b) Rita tva primitiva basvektorer a och b samt en primitiv enhetscell. (p) Lo sning: Minst en av dessa basvektorer ma ste ha en vinkel pa 45 med horisontalen. Det naturliga valet a r att ba da har det och bildar en fyrkant enhetscell. c) Markera minst tio gitterpunkter i figuren som genereras av a och b. (p) Lo sning: Var konsekvent: R= na+mb.

2 Problem. Gadoliniumsulfat-oktahydrat Gd (SO 4 ) 3 8H O är ett paramagnetiskt salt; Gd 3+ -jonen har ett magnetiskt moment med S = 7/ på grund av det halvt fyllda 4f-skalet. Saltets molvikt är 747, densiteten är 3,0 g/cm 3. a) Uppskatta materialets magnetisering vid ett magnetiskt fält på 5 tesla och en temperatur på kelvin. (p) Bohrmagnetonen genom Boltzmanns konstant är ungefär 0,67 K/T. Vid 5 tesla är energiskillnaden mellan nivåerna alltså ungefär ekvivalentet av 3,3 kelvin. Vid K är chansen att en jon befinner sig i det första exciterade magnetiska tillståndet e 3,3 0,04, så att vi kan betrakta systemet som mättat. Antalet gadoliniumjoner är 4,86 0 cm 3. Varje jon har ett dipolmoment på nästan 7 µ B. Magnetiseringen är dipolmomentet per volymenhet, alltså 4, ,7 0 4 = 3, 0 5 J T m 3 eller (genom multiplikation med µ 0 ) 0,4 T. b) Gadolinium-jonens energinivåer i magnetfältet är viktiga för ämnets värmekapacitet vid dessa låga temperaturer. Vad är den matematiska funktionen som bäst beskriver det magnetiska bidraget till temperaturberoendet av C v vid låg temperatur och högt fält? Motivera ditt svar. (p) På samma sätt som i Einsteinmodellen finns det diskreta energinivåer. Vid de lägsta temperaturerna gäller att ockupationen av det första exciterade tillståndet och dess energiinnehåll är propertionella mot e Bµ B/kT. Det liknar lite en exponentiell funktion av T, så dess derivata mot temperatur C v går också grovt sett som en exponentiell funktion. c) Fortfarande i det starka magnetfältet visar det sig att det magnetiska bidraget till C v har ett maximum och att det går mot noll vid höga temperaturer. Varför är det så? Ge även en uppskattning av hur högt maxvärdet av C v är. (p) Antalet magnetiska tillstånd för Gd-jonen är begränsat. Vid tillräckligt högt temperatur är alla nästan lika sannolika. En vidare höjning av temperaturen ökar alltså inte det magnetiska systemets energi; dess derivata C v = U/ T v går alltså mot noll. Vid lägre temperaturer spelar den övre gränsen inte så stor roll samtidigt som temperaturen är tillräckligt hög att nivåernas kvantisering inte påverkar alltför mycket. Då får man det klassiska värdet R/ per frihetsgrad. d) Skissa en graf av sambandet mellan ämnets magnetiska susceptibilitet och temperatur. Enklast att rita är /χ som funktion av T - det blir en rät linje genom origo. 3

3 Problem 3. En pn-diod har tillverkats av två lika stora bitar kisel. Bitarna är kuber på mm 3. Dopningen på p-sidan är 0 0 m 3 och på n-sidan,5.0 9 m 3. Utarmningskiktets bredd på p-sidan är,08 µm. a) Hur brett är utarmningskiktet på n-sidan? (p) Laddningarna måste vara lika stora på båda sidor så att övergången är neutral. Eftersom dopningskoncentrationen är fyra gånger lägre, måste utarmningskiktet vara fyra gånger bredare, dvs 4,3 µm. b) Hur stor är kontaktpotentialen? (p) Man bestämmer skillnaden mellan Fermi-nivåerna, till exempel enligt den enkla formeln V bi = kt q ln N AN D = 0,06 ln,5.039 n,5.0 = 0,4 V. i 3 Alternativt bestämmer man fältet och integrerar över avståndet genom att bestämma arean under kurvan. Det blir E max(l p + l n ) =, ,4.0 6 / = 0,43 V. c) Rita bandkanternas nivå som funktion av avståndet till pn-övergången. (p) Svaret ska ges som den här typen av figur (men den här är för symmetrisk). Avstånden ska anges på x-axeln, samt fermi-nivåerna på båda sidor. d) Hur stort är den här diodens ohmska motstånd, om man bortser från utarmningsskiktet? (p) Dopningen är så hög att vi kan försumma minoritetsbärarnas bidrag. Det p-dopade materialet har ledningsförmåga σ = pµ p e = 0 0 0,05,6 0 9 = 0,8 (Ωm) och det n-dopade har σ =, ,3,6 0 9 = 0,5 (Ωm). Dessa kubers motstånd är 0 3 /σ = 50 Ω respektive 953 Ω, totalt 3, kω. 4

4 Problem 4. Figuren visar kraften mellan närmaste grannar i en jonär kristall med NaCl-strukur. a) Hur stort är jämnviktavståndet av närmaste grannar? (p) Jämnviktsavståndet är 5 pm. Där är kraften varken inåt eller utåt. b) Hur stor är jonernas laddning? (p) Vid stort inbördes avstånd orsakas kraften helt av Coulomb-kraften. Vid 500 nm är kraften enligt grafen ungefär,5 nn. Alltså F Coul = α M 4πɛ 0 q r,5.0 9 =, q (5.0 0 ) q =, C e. Laddningen är alltså en elementarladdning. c) Hur stor är kraftkonstanten? (p) Vid små utvikelser gäller Hookes lag F = γ(x x 0 ). Tangenten till kraftkurvan vid jämnviktsavståndet har en lutning γ = ( 5 ( 4)).0 9 (80 30).0 = 80 N/m. d) Uppskatta kristallens elasticitetsmodul. (p) Youngs modul är av storleksordningen Y = γ/r 0 = = 7,.0 Pa. e) Om kristallen har en stark absorptiontopp för infrarödstrålning vid 0 µm, hur stor är då jonernas atommassa (anta att de är lika stora)? Uppskatta även materialets värmekapacitet. (p) Kristallen har dipolabsorberande svängningar f = c/λ = 3,0.0 8 /,0.0 5 =,5.0 3 Hz. Dipolens svängningsfrekvens f = π k/m m = 4π k/f = 4π 80/(,5.0 3 ) = 3,.0 4 kg = 90 amu. Eftersom hf < k B T, har C V vid rumstemperatur det klassiska värdet 3R 5 J/(mol K). 5

5 Problem 5. Guld (atomvikt 97) har densitet 9,3 g/cm 3. Det finns en valenselektron per atom. Guld kristalliserar i f cc-struktur med gitterparameter 4,08 Å. Resistiviteten vid rumstemperatur är, µω cm. a) Hur stor är drifthastigheten i en guldtråd med diameter mm om strömmen är 4 A? (p) Guld innehåller 9,3/97 0, mol/cm 3 och med en valenselektron per atom är det 0,eN A = 0,F 0 4 C/cm 3 = 0 C/mm 3. Trådens tvärsnittsarea är πd /4 = 0,79 mm, så tråden innehåller ungefär 8 C/mm. Det passerar 4 coulomb per sekund, så laddningsbärarnas drifthastighet är ungefär en halv millimeter per sekund. b) Hur snabbt ökar trådens temperatur? (p) Trådens motstånd är ρ/a =,.0 6 / =,8.0 4 Ω/cm. Värmeutvecklingen är P = IV = I R = 4,8.0 4 = 4,44 mw/cm. Guldets värmekapacitet är 3R per mol, alltså,5 J/K per cm 3. Trådens värmekapacitet är då 0,79.0,5 = 0 mj/cm. Uppvärmningen blir då 4,44/0 = 0, K/s. c) Hur stor är de snabbaste elektronernas debroglie-våglängd jämfört med ett medelavstånd mellan valenselektronerna? (p) Fermi-energin är 8,8.0 9 J; λ db = h/p = h/ me F = 5,3.0 0 m. Avståndet mellan elektronerna är ungefär lika som avståndet mellan atomerna: a/ =,88 Å. De-Broglie-våglängden är alltså nästan två gånger så stor. Mera allmänt: λ d B = h/ me F = h/ h ( 3 3π n) = π 3 ungefär två gånger så stort som medelavståndet n /3. 3π n. Det är alltid d) Kan man använda Boltzmanstatistik för valenselektronerna? Varför (inte)? (p) Elektroner är identiska partiklar och deras avstånd är mindre än de-broglie-våglängden, så de är ourskiljbara och Boltzmannstatistik kan inte användas. Alternativt svar: Fermi-temperaturen är mycket större än rumstemperatur, så Boltzmannstatistik kan inte användas. e) Hur lång är elektronernas relaxationstid? (p) τ = m 9,.0 ρne = 3,.0 8 5,9.0 8 (,6.0 9 ) =, s. (v F = E/m =, m/s; λ = τv F = 380 nm.) f) Hur många atomer finns det per kvadratmeter i {00}-plan? (p) Med två atomer på enhetscellens sida får vi /(4, ) =,0.0 9 m. 6