Tentamen i El- och vågrörelselära,

Transkript

1 Tentamen i El- och vågrörelselära, Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i (x,y) = (4,0) cm. Enligt oulombs lag ges det elektriska fältet från laddningen q i av E(r i ) = k q i r i r i där r i = (x i,y i ) är vektorn från laddningen till fältpunkten. y q r E r r q q x Fig.. I detta fall har vi: r = (x,y ) = (4,4) 0 m, r = 4 0 m, r = (x,y ) = (0,4) 0 m, r = 4 0 m, r = (x,y ) = (4,0) 0 m, r = 4 0 m. Vi skriver E-fältet som E = E xˆx+e y ŷ där ( x E x = E x +E x +E x = kq r = kq ( 6 och + x r + x ) r ) 0 4 m kq 8.06m E y = E y +E y +E y = kq = kq 6 ( ) ( y r + y r + y ) r 0 4 m kq 8.06m Insättning av k = Vm/ ger E x = E y Q.65 0 V/(m ) och totala fältstyrkan E =. 0 V/(m ). Svar: E = Q(ˆx+ŷ).65 0 V/(m )

2 . Tre sfäriska kulor med radie R = cm har en likformig laddningstäthet ρ = 0 /m och är placerade med sina mittpunkter på avståndet d = 6cmfrånvarandra. Bestämpotentialenienpunktpåavståndet r = 0cm från alla tre kulornas mittpunkter. Då laddningstätheten äe ρ blir en kulas totala laddning Q = ρ4πr /. Potentialen från en sfärisk laddningsfördelning ges av V = Q 4πε 0 r där r är avståndet till sfärens centrum. Den totala potentialen fås genom att summera bidragen från de tre kulorna, vilket ger V = Q 4πε 0 r = ρr ε 0 r Numeriskt: V = V.7 04 V Svar: Potentialen i punkten är 7 kv.

3 . I kretsen i Fig. nedan har alla kondensatorerna kapacitansen. Beräkna den ekvivalenta kapacitansen! Fig.. Genom att vrida några kondensatorer kan kretsen i Fig. ritas om på formen Fig.. Den består alltså av tre parallelkopplade grenar, där två av dem har två kondensatorer i serie. För den ekvivalenta kapacitansen eq gäller då eq = vilket ger eq = / +/ + + / +/ = + + Svar: Den ekvivalenta kapacitansen är.

4 4. En cirkular plastskiva med radie R har en ytladdningstäthet σ /m och roterar kring sin mittpunkt med vinkelhastigheten ω rad/s. Visa att i skivans centrum är magnetfältets styrka B = µ 0σωR Enringmedbredddr ochradier roterarmedhastighetenrω ochbärströmmen di = rωσdr I centrum av en cirkulär strömslinga med radie r och area A = πr är magnetfältet (PH, F-.) db = µ 0 4π dia r = µ 0 di r = µ 0 ωσdr Det totala magnetfältet fås genom att integrera från centrum till skivans radie R B = µ 0 R ωσdr = µ 0 0 ωσr vilket skulle visas.

5 5. En lång rak ledare som bär strömmen I = 5 A är belägen på avståndet d = 0 cm från en annan lång ledare i vilken strömmen är I = 5 A. Ledarna är parallella, och strömmarna går i motsatta riktningar. Beräkna i vilken punkt på en linje mellan ledarna som magnetiska fältstyrkan är minimal. Amperes lag ger att magnetfältet på avståndet r från en lång rak ledare med strömmen I har styrkan B(r) = µ 0I πr Eftersom strömmarna är motriktade har fälten samma riktning mellan ledarna och adderas. Om r är avståndet från I ges fältet i en punkt på linjen mellan ledarna av B(r) = µ 0I πr + µ 0I () π(d r) Där B har minimum är db dr db dr = µ 0 π = 0, vilket ger ( I ) r + I (d r) Uttrycket i parentesen ger andragradsekvationen som har lösningen r + r = = 0 d I /I r d I /I = 0 ( ) d I ± I /I I Lösningen med den negativa roten ligger inte mellan ledarna, och är därför ofysikalisk (ekv. () gäller inte). Den sökta minimat ges alltså av r = ( ) d I I /I I Numeriskt får vi med I /I = och d = 0.0 m att r 7. cm. Svar: Fältstyrkan är minimal 7. cm från ledaren med strömmen 5 A.

6 R B v 0 l Fig En metallstav, som glider mellan två ledande skenor, har vid tiden t = 0 hastigheten v 0. Avståndet mellan skenorna är l, och de är ihopkopplade genom ett motstånd med resistans R. Vinlelrätt mot skenornas plan finns ett homogent magnetfält B (se Fig. 4). Inga andra krafter påverkar staven. Hur lång sträcka rör staven sig innan den stannar? Då staven rör sig med hastigheten v ges ökningen av arean A mellan staven och motståndet av da dt = vl. Förändringen av det magnetiska flödet Φ = BA inducerar en elektromotorisk kraft E = dφ dt = Bvl, somenligtohmslaggerenströmi = E/R,riktaduppåtiFig.4. Lorentzkraften, som bromsar staven, blir då F = IlB = E R lb = (lb) R v Stavens rörelseekvation kan då skrivas Vi inför τ = mr(bl) och integrerar dv dt = F m = (lb) mr v dv v dt = dln(v) = dt τ v = v 0 e t/τ som uppfyller begynnelsevillkoret v = v 0 då t = 0. Den totala sträcka s som staven kommer att röra sig innan den stannar fås genom att integrera hastigheten över tiden s = v(t)dt = v e t/τ dt = v 0 τ [ e t/τ] 0 = v 0τ Svar: Staven rör sig sträckan v 0 mr(bl) innan den stannar.

7 7. Ett föremål ska avbildas på en skärm med en tunn konvex lins som har brännvidden f = 8 cm. Hur stort måste avståndet mellan föremålet och skärmen minst vara? Avståndet s = p+q mellan föremål och skärm är summan av avståndet p från föremål till lins och avståndet q från lins till skärm. Linsformeln ger relationen mellan avstånden p + q = () f Från linsformeln inses att för avbildning av ett föremål på en skärm (reell bild av reellt föremål) måste både p > f och q > gälla. (Om p < f blir q negativt, och vice versa.) Ersätts q med s p i () fås Löser vi ut s får vi p + s p = f s = p p f Minimalt s fås genom att sätta derivatan till noll, ds dp = p(p f) (p f) = 0, vilket ger p = f. Insättning av p = f i () ger q = f f = f, eller q = f. Minsta avståndet är alltså s = f +f = 4f. Att detta inte är ett maximum inses till exempel av att s då p f eller q f. Med f = 8 cm får vi s = 4 8 = cm. Svar: Avståndet mellan föremålet och skärmen måste minst vara cm.

8 8. Det elektriska fältet i en elektromagnetisk våg ges av E(r,t) = ẑe 0 sin(ωt k r) därk = (4,,0) 0 m. Beräknavågensfrekvens, ochhärledmotsvarande uttryck för magnetfältet B(r, t). En elektromagnetisk våg har fashstigheten c = ω/k, där vågtalet k = k = +4 0 m = 5 0 m i detta fall. Vågens frekvens är alltså f = ω π = kc π =.5 06 s 9kHz π Magnetfältet kan beräknas från Faradays lag E = B t Eftersom det givna E-fältet är i z-riktningen får vi ( ) E = ˆx y ŷ x E 0 sin(ωt k r) = (ˆxk y ŷk x ) E0 cos(ωt k r) Genom att integrera Faradays lag får vi B t = (ˆxk y ŷk x ) E0 cos(ωt k r) B(r,t) = (ˆxk y ŷk x ) E0 tcos(ωt k r)dt= (ˆxky ŷk x ) E 0 ω sin(ωt k r) Integrationskonstanten är = 0, då ett konstant magnetfält inte är en del av vågen. Vi noterar också att (ˆxk y ŷk x ) = k ẑ. Svar: Vågens frekvens är 9 khz, och magnetfältet kan skrivas. B(r,t) = k ẑ ω E 0sin(ωt k r)