14. Potentialer och fält
|
|
- Klara Berglund
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast att beräkna efter att de retarderade skalär- och vektorpotentialerna bestämts. I det följande tar vi en närmare titt på potentialerna, och beräknar fälten för punktladdningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. De senare kräver en hel del mera matematik än fälten från enkla laddningsfördelningar. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.1
2 14.1. Repetition av potentialerna Vi visade tidigare att vi kan definiera en magnetisk vektorpotential A och en skalär potential ϕ så att B = A (14.1) E = ϕ t A (14.2) Maxwells I och IV lag i vakuum blir för dessa 2 ϕ + t A = ρ ε 0 (14.3) 2 A ( A) µ 0 ε 0 t ϕ µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (14.4) Enligt tidigare kan vi addera gradienten av en godtycklig skalärfunktion Ψ till A utan att det ändrar på B = A. Denna egenskap hos A kallades måttinvarians. I Lorentz-måttet väljs Ψ så att A = 2 Ψ = µ 0 ε 0 t ϕ (14.5) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.2
3 Vågekvationerna för potentialerna reduceras nu till 2 ϕ µ 0 ε 0 2 t ϕ = ρ ε 0 (14.6) 2 A µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (14.7) som är av utseendet 2 ϕ = ρ ε 0 (14.8) 2 A = µ 0 J (14.9) där kallas d Alemberts operator. 2 2 µ 0 ε 0 2 t (14.10) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.3
4 14.2. Kontinuerliga laddningsfördelningar [Griffiths] Vi argumenterade tidigare oss fram till följande uttryck för de retarderade potentialerna för kontinuerliga laddningsfördelningar: ϕ(r, t) = Z 1 4πε 0 A(r, t) = µ Z 0 4π V V dv ρ(r, t r ) r r dv J(r, t r ) r r (14.11) (14.12) där den retarderade tiden är t r = t r r c Riktigheten i dessa uttryck kan verifieras genom att sätta in dem i vågekvationerna. (14.13) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.4
5 Exempel 1: Låt strömmen I i en oändligt lång rak ledning längs med z- axeln vara 0 då t < 0 och I 0 då t 0. Bestäm E och B. Eftersom ledningen är neutral så gäller ρ = 0 och därför ϕ = 0. Vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z Z dz I(t r) r r dz I(t r r /c) r r dz I(t s 2 + z 2 /c) s2 + z 2 (14.14) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.5
6 Endast för tiden t r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller I 0. Tidigare än detta är strömmen noll. Detta ger z q (ct) 2 s 2 (14.15) så att A(s, t) = µ 0I 0 bz 4π Z (ct) 2 s 2 dz (ct) 2 s 2 1 s2 + z 2 = µ Z (ct) 0I 0 bz 2 s 2 1 dz 2π 0 s2 + z 2 = µ r 0I 0 bz q q ln( s 2 + ( (ct) 2 s 2 ) 2 + ( (ct) 2 s 2 )) 2π q «ln( s 2 + (0) 2 + 0) = µ 0I 0 bz 2π = µ 0I 0 bz 2π ln(ct + ln ct + q «(ct) 2 s 2 ) ln(s) p (ct)2 s 2 s (14.16) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.6
7 Elfältet är nu µ 0 ci 0 bz E(s, t) = t A = 2π p (14.17) (ct) 2 s 2 Magnetfältet är B(s, t) = A = s A z b ψ = µ 0 I 0 2π ct b ψ s p (ct) 2 s 2 (14.18) Check: Då t är situationen den att en konstant ström flyter i en lång rak ledning. Vi ska då få tillbaka det tidigare resultatet för B. lim E(s, t) = lim t t µ 0 ci 0 bz 2π p (ct) 2 s 2 = 0 (14.19) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.7
8 lim B(s, t) = lim t t µ 0 I 0 2π ct b ψ s p (ct) 2 s 2 (14.20) µ 0 I 0 cψ = lim b t 2π s p (14.21) c 2 (s/t) 2 = µ 0I 0 2π bψ s (14.22) Ampères lag ger 2πsB/µ 0 = I 0 så att B = µ 0 I 0 /(2πs), och riktningen är b ψ. OK! Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.8
9 Exempel 2: Som föregående exempel, men för strömmen I gäller I = 0 då t < 0 och I = kt då t 0. A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z dz kt r r r dz k(t r r /c) r r (14.23) (14.24) För t r = t r r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller k 0. detta ger att z q (ct) 2 s 2 (14.25) så Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.9
10 A(s, t) = µ Z (ct) 0kbz 2 s 2 4π 2 dz t s 2 + z 2 /c (14.26) 0 s2 + z 2 Z (ct) 2 s 2 = µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc 0 dz ct s 2 + z 2 s2 + z 2 (14.27) Z (ct) 2 s 2 «ct dz s2 + z = µ q 0kbz 2πc ( (ct) 2 s 2 ) + µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc q (ct) 2 s 2 + µ 0ktbz 2π Vi har inga externa laddningar, så ρ(r, t r ) = 0 och ϕ(s, t) = 0 p ct + (ct)2 s 2 ct ln s p ct + (ct)2 s 2 ln s (14.28) (14.29) (14.30) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.10
11 14.3. Punktladdningar Liénard-Wiechert-potentialerna [RMC, Griffiths] Vi ska nu bestämma de retarderade potentialerna för en punktladdning q. Laddningarna antas nu ha stora (icke-relativistiska) hastigheter, vilket komplicerar proceduren att ta reda på den retarderade tiden. Låt laddningens position vara beskriven av kurvan w = w(t), och låt observationspunkten där potentialerna och fälten ska bestämmas vara r(t). Den retarderade tiden t r fås från insikten att en förändring i w vid den retarderade tiden t r når observatören i punkten i r vid tiden t med ljusets hastighet: Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.11
12 r(t) w(t r ) = c(t t r ) (14.31) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.12
13 Detta är i princip samma relation som tidigare, men nu kan vi inte längre approximera w(t r ) w(t) för att laddningarna i det allmänna fallet kan röra sig godtyckligt snabbt (men så att hastigheterna är icke-relativistiska). Detta ger t r = t r(t) w(t r ) /c (14.32) Skalärpotentialen är nu ϕ(r, t) = 1 4πε 0 Z dv r ρ(r r, t r) r r (t r ) (14.33) där r löper över punktladdningen, som nu tänkes ha en liten utsträckning. Detta gör att följande behandling också är giltig för laddningsfördelningar som är mycket små. Observera, att laddningstätheten nu beror på laddningselementens olika positioner r funktioner av olika retarderade tider. Inte bra! som är Vi går nu vidare så att vi väljer en fixerad retarderad tid t r1 och evaluerar positionerna r för denna tid. Dessa blir då r (t r1 ). Poängen med detta är att en integral över laddningstätheten för en och samma fixerade retarderade tid för alla laddningar ger oss den korrekta laddningen. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.13
14 Laddningstätheten blir ρ(r (t r ), t r ) = ρ(r (t r1 ), t r1 ) (14.34) Positionerna vid den nya tiden t r1 expanderar vi nu i den gamla tiden t r : r (t r1 ) = r (t r ) + v(t r )(t r1 t r ) + dv dt tr(t r1 t r ) (14.35) Volymelementet dv r bör nu ändras till dv r1. För detta behövs Jakobianen (funktionaldeterminanten) J(x r1, y r1, z r1 ; x r, y r, z r ): dv r1 = J(x r1, y r1, z r1 ; x r, y r, z r )dv r (14.36) x rx r1 y rx r1 z rx r1 = x ry r1 y ry r1 z ry r1 x rz r1 y rz r1 z rz r1 dv r (14.37) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.14
15 En räkning ger slutsvaret dv r1 = dv r 1 v(t r) br(t, t r ) c 1 c dv dt tr br(t, t r )(t r t r1 ) +...! (14.38) där R = r(t) r (t r ) (14.39) br = R R (14.40) Man kan argumentera att 1 dv c dt tr br(t r1 t r ) 1 c 2 dv dt trd 1 (14.41) där d är den punktformade laddningens storlek. På motsvarande sätt ska högre ordningens termer försvinna. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.15
16 Detta ger dv r1 dv r 1 v(t r) br! c (14.42) Vi får slutligen ϕ(r, t) = = 1 4πε 0 Z dv r1 ρ(r (t r1 ), t r1 ) 1 v(t r ) br/c R Z 1 1 4πε 0 R(1 v(t r ) br/c) 1 4πε 0 qc Rc v(t r ) R dv r1 ρ(r (t r1 ), t r1 ) (14.43) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.16
17 Man kan visa att vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0 4π qcv(t r ) Rc v(t r ) R (14.44) = µ 0 ε 0 v(t r )ϕ(r, t) (14.45) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (14.46) Sammanfattningsvis: ϕ(r, t) = 1 4πε 0 qc Rc v R (14.47) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (14.48) R = r(t) w(t r ) (14.49) v(t r ) = dw(t) dt t=t r (14.50) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.17
18 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r från givet uttryck för w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm Rc v(t) R. (v) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.18
19 Exempel 1: Bestäm potentialerna för en punktladdning som rör sig genom origo då t = 0. Nu gäller w(t) = vt där v är en konstant. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger r(t) w(t r ) = c(t t r ) (14.51) som ger r(t) vt r = c(t t r ) (14.52) eller r 2 + v 2 t 2 r 2r vt r = c 2 t 2 + c 2 t 2 r 2ctt r (14.53) Lösningen är (v 2 c 2 )t 2 r + 2(ct r v)t r + r 2 c 2 t 2 = 0 (14.54) t r = (c2 t r v) ± p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (14.55) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.19
20 Vilket tecken bör vi använda? Då v = 0 reduceras uttrycket till t r = c2 t ± p c 4 t 2 + c 2 r 2 c 4 t 2 ) c 2 = t ± r/c (14.56) Vi vet ju från tidigare att den retarderade tiden ser ut som t r = t r w /c, så vi måste välja minustecknet: t r = (c2 t r v) p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (14.57) (ii) och (iii): Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (14.58) R = r w(t r ) (14.59) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.20
21 (iv) Bestäm Rc v(t r ) R. Eftersom hastigheten är konstant har vi v(t r ) = v. Rc v R(t r ) = c 2 (t t r ) v r + v (vt r ) (14.60) = c 2 (t t r ) v r + v 2 t r (14.61) = c 2 t v r (c 2 v 2 )t r (14.62) Insättning av uttrycket för t r ger nu Rc v R(t r ) = q (c 2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (14.63) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.21
22 (v) Skriv ner potentialerna. ϕ(r, t) = A(r, t) = v c qc 1 p 4πε 0 (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) = µ 0qvc 4π q 1 p 4πε 0 (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) 1 p (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (14.64) (14.65) (14.66) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.22
23 Exempel 2: Bestäm potentialerna längs med z-axeln för en punktladdning som rör sig med likformig vinkelhastighet i en cirkel i xy-planet. Cirkelns radie är a. Låt laddningen vara i (x, y) = (a, 0) vid tiden t = 0. Nu gäller w(t) = bxa cos(ωt) + bya sin(ωt) och r = zbz. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger oss r(t) w(t r ) = c(t t r ) (14.67) t r = t p a 2 + z 2 /c (14.68) (ii) Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (14.69) R = r w(t r ) = zbz a(bx cos(ωt r ) + by sin(ωt r )) (14.70) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.23
24 (iii) Bestäm Rc v(t r ) R. Hastigheten är så att v(t) = dw dt = aωbx sin(ωt) + aωby cos(ωt) (14.71) Rc v(t r ) R = Rc a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) + a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) = Rc = c 2 (t t r ) = c p a 2 + z 2 (14.72) (iv) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.24
25 ϕ(r, t) = = qc 1 4πε 0 c (14.73) a 2 + z 2 1 4πε 0 q a2 + z 2 (14.74) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (14.75) = qaω bx sin(ωt) by cos(ωt) 4πε 0 c 2 a2 + z 2 (14.76) (14.77) Check: Då a 0 skall vi få tillbaka situationen för en statisk punktladdning i origo. Gränsvärdena ger ϕ(r, t) = 1 4πε 0 q z (14.78) A(r, t) = 0 (14.79) OK! Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.25
26 El- och magnetfälten för punktladdningar i godtycklig rörelse [Griffiths] Ända tills nu nöjde vi oss med att bestämma potentialerna, och då endast för laddningar i likformig rörelse. Vi ska nu se hur fälten blir att se ut, speciellt för laddningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. Potentialerna är ju där ϕ(r, t) = qc 1 4πε 0 Rc v(t r ) R (14.80) A(r, t) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (14.81) R = r(t) w(t r ) (14.82) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.26
27 Fälten är som bekant E(r, t) = ϕ(r, t) t A(r, t) (14.83) B(r, t) = A(r, t) (14.84) Gradienten av skalärpotentialen är ϕ(r, t) = qc 4πε 0 1 (Rc v(t r ) R) 2 (Rc v(t r) R) (14.85) Vi får två termer T 1, T 2 som kräver närmare behandling. T 1 : c R(t, t r ) = c (c(t t r )) = c 2 t r (14.86) T 2 : (v(t r ) R(t, t r )) = (R )v + (v )R +R ( v) + v ( R) (14.87) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.27
28 Detta ger fyra termer t 1, t 2, t 3, t 4 som måste granskas. Term t 1 : (R )v = (R x x + R y y + R z z )v (14.88) = R x x v + R y y v + R z z v (14.89) = R x t r x dv t r + R y dt r y dv t r + R z dt r z dv dt r (14.90) = a(r t r ) (14.91) där accelerationen är Term t 2 : a(t r ) dv(t r) dt r (14.92) (v )R = (v )(r(t) r (t r )) (14.93) = (v x x + v y y + v z z )(xbx + yby + zbz) (v )r (t r ) (14.94) = v x bx + v y by + v z bz (v )r (t r ) (14.95) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.28
29 = v (v )r (t r ) (14.96) = v X i v xi r (t r ) x i (14.97) = v X i v xi t r x i dr (t r ) dt r (14.98) = v (v t r )v(t r ) (14.99) Term t 3 : R ( v) = R = R X ijk X ijk 1 ε ijk bx i v k A (14.100) x j ε ijk bx i t r x j 1 d v k A (14.101) dt r = R ( t r a) (14.102) = R (a t r ) (14.103) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.29
30 Term t 4 : v ( R) = v ( r r ) (14.104) = v ( r ) (14.105) = v ( t r v) (14.106) = v (v t r ) (14.107) Här tog vi modell av vad vi gjorde för term t 3. Term T 2 blir nu (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) R (a t r ) + v (v t r ) (14.108) Med BAC-CAB-regeln fås nu Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.30
31 (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) (a(r t r ) t r (R a)) +(v(v t r ) t r (v v)) (14.109) = v + (R a v 2 ) t r (14.110) Gradienten av potentialen blir slutligen ϕ(r, t) = qc 1 4πε 0 (Rc v(t r ) R) 2 c 2 t r (v + (R a v 2 ) t r ) (14.111) = qc 4πε 0 v + (c2 v 2 + R a) t r (Rc v(t r ) R) 2 (14.112) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.31
32 t r fås med följande resonemang. c t r = R(t r ) = 1 R R = 2 (R R) R R (14.113) = 1 2(R ( R) + (R )R) 2R (14.114) = 1 R (R ( R) + R v(r t r)) (14.115) = 1 R (R (v t r) + R v(r t r )) (14.116) = 1 R (R (R v(t r)) t r ) (14.117) så att R t r = Rc v(t r ) R (14.118) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.32
33 Detta ger ϕ(r, t) = = qc v (c2 v 2 + R a)r/(rc v(t r ) R) (14.119) 4πε 0 (Rc v(t r ) R) 2 qc 4πε 0 (Rc v(t r) R)v (c 2 v 2 + R a)r (Rc v(t r ) R) 3 (14.120) En motsvarande räkning ger också att t A(r, t) = 1 qc 4πε 0 (Rc v(t r ) R) [(Rc v(t r) R)( v(t 3 r ) + Ra/c) i +R(c 2 v 2 + R a)v(t r )/c (14.121) Introducera hjälpvektorn u = b Rc v(t r ) (14.122) så att vi får Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.33
34 E(r, t) = = q 4πε 0 q 4πε 0 R h i (c 2 v 2 )u + R (u a) (R u) 3 R h (c 2 v 2 )u + (R a)u (R u)a (R u) 3 i (14.123) (14.124) För magnetfältet behövs rotorn av A: B(r, t) = A(r, t) = 1 c 2 (v(t r)ϕ(r, t)) (14.125) = 1 c 2 (ϕ v(t r) v ( ϕ)) (14.126) = 1 c q 1 h i 4πε 0 (R u) 3R (c 2 v 2 )v + (R a)v + (R u)a Genom att jämföra med tidigare kan vi omvandla detta till (14.127) B(r, t) = 1 b 1 R E(r, t) = R E(r, t) (14.128) c Rc Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.34
35 Allmänna slutsatser: (1) Magnetfältet är vinkelrätt mot elfältet. (2) Magnetfältet är vinkelrätt mot vektorn som sammanbinder laddningens retarderade position med observationspunkten. Vi ser att första termen i elfältsuttrycket är inverst proportionell mot kvadraten av avståndet mellan laddning och observationspunkt, och påminner därför om Coulombs lag. Därför kan denna term kallas det generaliserade Coulomb-fältet. Eftersom denna term inte heller beror på laddningens acceleration kallas den för hastighetsfältet. Andra och tredje termerna är inverst proportionella mot avståndet, så att dessa dominerar över första termen vid stora avstånd. Dessa termer ger i själva verket upphov till strålning, som vi ska se senare. Därför kallas dessa termer också strålningsfältet. Eftersom endast de två sista termerna innehåller accelerationen kallas denna del av fältet för accelerationsfältet. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.35
36 Låt oss ännu skriva ner Lorentz-kraften F = q(e + v B) för laddningar i godtycklig rörelse. F(r, t) = qq R h (c 2 v 2 )u + R (u a) 4πε 0 (R u) 3 + V c br h(c 2 v 2 )u + R (u a)i (14.129) där Q är den andra laddningens storlek, V dess hastighet, och r dess position. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.36
37 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r laddningens position är w = w(t). med hjälp av relationen c(t t r ) = r w(t r ), där (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm u = cr/r v(t r ), där v = dw/dt är laddningens hastighet vid den retarderade tiden. (v) Bestäm R u = Rc v(t r ) R. (vi) Bestäm a = dv/dt = d 2 w/dt 2. (vii) Bestäm R (u a). (viii) Skriv ner elfältet och förenkla. (ix) Bestäm magnetfältet från E och b R. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 14.37
14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs mer15. Strålande system. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs mer15. Strålande system
15. Strålande system [Griffiths,RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 15.1 15.1. Introduktion Laddningar i vila eller i likformig rörelse skapar inte elektromagnetiska vågor för detta krävs att laddningarna
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 05-0-05. Beräknastorlekochriktningpådetelektriskafältetipunkten(x,y) = (4,4)cm som orsakas av laddningarna q = Q i origo, q = Q i punkten (x,y) = (0,4) cm och q = Q i
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att Ampères lag dr H = C
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2016
Strålningsfält och fotoner Våren 2016 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
11. Maxwells ekvationer och vågekvationen [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 11.1 11.1. Förskjutningsströmmen Skotten James Clerk Maxwell (1831-1879) noterade år 1864 att mpères lag dr H = d J
Läs mer18. Sammanfattning Ursprung och form av fältena Elektrostatik Kraft, fält och potential 2 21, (18.3)
18. Sammanfattning 18.2. Ursprung och form av fältena Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elfält Elektriska laddningar i rörelse ger upphov till magnetfält Elektriska laddningar i
Läs mer18. Sammanfattning Kraft, fält och potential. Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs mer18. Sammanfattning. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1
18. Sammanfattning Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 18.1 18.1. Kraft, fält och potential Krafter F är fysikaliskt mätbara storheter Elfält beror på kraften som F = Eq (18.1) Potential φ är en matematisk
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merStrålningsfält och fotoner. Våren 2013
Strålningsfält och fotoner Våren 2013 1. Fält i rymden Vi har lärt oss att beräkna elektriska fält utgående från laddningarna som orsakar dem Kan vi härleda nånting åt andra hållet? 2 1.1 Gauss lag Låt
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 23 2 8 Hjälpmedel: Physics Handbook, räknare. Ensfäriskkopparkulamedradie = 5mmharladdningenQ = 2.5 0 3 C. Beräkna det elektriska fältet som funktion av avståndet från
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 213, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs mer6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar
6. Magnetostatik I: Magnetfältet från tidsoberoende strömmar [RM] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 6.1 6.1. Magnetisk flödestäthet Man kan visa att om två laddningar q och q rör sig med de konstanta
Läs merFöreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!
1 Föreläsning 13 12.2.1, 10.1.1 10.1.2, 10.1.4 i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras! Fält från strömmar i tidsdomänen (kursivt) V Lorentzgaugen A+µ 0 ε 0 = 0 för vektorpotentialen
Läs merElektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv
1 Elektrodynamik I det allmänna fallet finns det tidsberoende källor för fälten, dvs. laddningar i rörelse och tidsberoende strömmar. Fälten blir då i allmänhet tidsberoende. Vi ser då att de elektriska
Läs merTentamen i El- och vågrörelselära,
Tentamen i El- och vågrörelselära, 204 08 28. Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm.
Läs mer11. Maxwells ekvationer och vågekvationen
. Maxwells ekvationer och vågekvationen H = J (.2) ger [RMC] dr H = d J = I (.3) C Å andra sidan kan vi lika gärna använda ytan, som också avgränsas av samma kontur C: dr H = C d J = 0 (.4) för att ingen
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF01 och F (ETE055 1 Tid och plats: 6 oktober, 016, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89 och 07-5958.
Läs merr 2 C Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merElektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner
Forelasning /1 Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullstandig beskrivning av ett elektromagnetiskt falt. Dock,
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π (ETEF0) och F (ETE055) Tid och plats: 4 januari, 06, kl. 8.00.00, lokal: Sparta B. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna hjälpmedel:
Läs mer14. Elektriska fält (sähkökenttä)
14. Elektriska fält (sähkökenttä) För tillfället vet vi av bara fyra olika fundamentala krafter i universum: Gravitationskraften Elektromagnetiska kraften, detta kapitels ämne Orsaken till att elektronerna
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs mer93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar
17317 93FY51 1 93FY51/ TN1 Elektromagnetism Tenta 17317: svar och anvisningar Uppgift 1 a) Av symmetrin följer att: och därmed: Q = D d D(r) = D(r)ˆr E(r) = E(r)ˆr Vi väljer ytan till en sfär med radie
Läs merFöreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths
1 Föreläsning 8 7.1 i Griffiths Ohms lag (Kap. 7.1) i är bekanta med Ohms lag i kretsteori som = RI. En mer generell framställning är vårt mål här. Sambandet mellan strömtätheten J och den elektriska fältstyrkan
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merRepetition kapitel 21
Repetition kapitel 21 Coulombs lag. Grundbulten! Definition av elektriskt fält. Fält från punktladdning När fältet är bestämt erhålls kraften ur : F qe Definition av elektrisk dipol. Moment och energi
Läs merFöreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken
Föreläsning 4 1 Potential Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken!" C E!dl = 0 eller # E = 0 innebär att E-fältet är konservativt. Det finns inga fältlinjer som bildar loopar. Alla fältlinjer
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007
1 Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori arje uppgift ger 10 poäng. Delbetyget
Läs merSvar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Fourierkomponenterna ges av dvs vi har fourierserien f(t) = π 2 + 1 π n 0 { π n = 0 c n = 2 ( 1) n
Läs merÖvningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.
Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2010 Vecka 2 Komplexa fourierserier 1. Gör en skiss av funktionen f(t) = t, t [ π, π] (med period 2π) och beräkna dess fourierserie. 2. Gör en skiss
Läs merAppendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merLösningar till seminarieuppgifter
Lösningar till seminarieuppgifter 2018-09-26 Uppgift 1 z ρ P z = 0 ρ Introducera ett koordinatsystem så att det jordade planet sammanfaller med planet z = 0, oc skivans centrum med punkten (0,0,). a) Problemet
Läs merBra tabell i ert formelblad
Bra tabell i ert formelblad Vi har gått igenom hur magnetfält alstrar krafter, kap. 7. Vi har gått igenom hur strömmar alstrar magnetfält, kap. 8. Återstår att lära sig hur strömmarna alstras. Tidigare
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs meru = 3 16 ǫ 0α 2 ρ 2 0k 2.
Lösningar till skriftlig deltentamen, FYTA12 Elektromagnetism, 3 juni 2010, kl 10.15 15.15. Tillåtna hjälpmedel: Ett a4-blad med anteckningar, fickräknare, skrivdon. Totalt 30 poäng, varav 15 krävs för
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merTenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:
Tenta 56 svar Uppgift a) På grund av sfäriskt symmetri ansätter vi att: E(r) = E(r)ˆr Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r: 2π π Q innesluten
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl
Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl. 08.0013.00, lokal: MA9AB Kursansvariga lärare: Gerhard Kristensson, tel. 222 45
Läs merLAPLACES OCH POISSONS EKVATIONER
TH Matematik Olle tormark LAPLACE OCH POION EVATIONE Poissons ekvation φ(x) = (där ρ är en given funktion och φ söks) satisfieras till exempel av den elektrostatiska potentialen i ett område som innehåller
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att Er) = ρr) ε 0 2.1) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETF85) Tid och plats: 25 oktober, 2017, kl. 14.00 19.00, lokal: Gasquesalen. Kursansvarig lärare: Anders Karlsson, tel. 222 40 89
Läs merRep. Kap. 27 som behandlade kraften på en laddningar från ett B-fält.
Rep. Kap. 7 som behandlade kraften på en laddningar från ett -fält. Kraft på laddning i rörelse Kraft på ström i ledare Gauss sats för -fältet Inte så användbar som den för E-fältet, eftersom flödet här
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning Extra material som ges som referens, men krävs inte i mellanförhören eller räkneövningarna: Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.1 13.1. Vågledare... Hastigheter
Läs merFormelsamling till Elektromagnetisk
Formelsamling till Elektromagnetisk fältteori Lars-Göran Westerberg Avdelningen för strömningslära Luleå tekniska universitet 13 januari 2009 ammanfattning Den här formelsamlingen utgör tillsammans med
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 19/4 017, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några fria
Läs merr 2 Arbetet är alltså endast beroende av start- och slutpunkt. Det följer av att det elektriska fältet är konservativt ( E = 0).
1 Föreläsning 2 Motsvarar avsnitten 2.4 2.5 i Griffiths. Arbete och potentiell energi (Kap. 2.4) r 1 r 2 C Låt W vara det arbete som måste utföras mot ett givet elektriskt fält E, då en laddning Q flyttas
Läs merSensorer, effektorer och fysik. Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken
Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF108 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 2006-05-27 Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/491280/Åke Wisten070/5597072 Skrivtid: 9.00-15.00 Jourhavande lärare/tfn:
Läs merTentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för W2 och ES2 (1FA514)
Uppsala universitet Institutionen för fysik och astronomi Kod: Program: Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, 2016-03-19 för W2 och ES2 (1FA514) Kan även skrivas av studenter på andra program där 1FA514 ingår
Läs mer2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare
2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare [RMC] Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 2.1 2.1. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tidigare vet vi att E(r) = ρ(r) ε 0 (2.1) E(r) = ϕ(r) (2.2) Detta
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
[RMC] 3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika Eftersom de minsta beståndsdelarna i ett dielektrikum är molekyler kan man definiera ett molekylärt dipolmoment Nu gäller p m = mol dqr (3.3)
Läs merLösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder
Inst. för fysik och astronomi 017-11-08 1 Lösningsförslag Inlämningsuppgift 1 elstatikens grunder Elektromagnetism I, 5 hp, för ES och W (1FA514) höstterminen 017 (1.1) Laddningen q 1 7,0 10 6 C placeras
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar
Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar Ge dina olika steg i räkningen, och förklara tydligt ditt resonemang! Ge rätt enhet när det behövs. Tillåtna
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs mer201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.
Kap..5,.8.9. Lutning, tangent, normal, derivata, höger och vänsterderivata, differential, allmänna deriveringsregler, kedjeregel, derivator av högre ordning, implicit derivering. Gränsvärden. 0. (A) Beräkna
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merOscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält
Ú Institutionen för fysik 2014 08 11 Kjell Rönnmark Oscillerande dipol i ett inhomogent magnetfält Syfte Magnetisk dipol och harmonisk oscillator är två mycket viktiga modeller inom fysiken. Laborationens
Läs merFysik TFYA68. Föreläsning 2/14
Fysik TFYA68 Föreläsning 2/14 1 Elektrostatik University Physics: Kapitel 21 & 22 2 Elektrisk laddning Två typer av elektrisk laddning: positiv + och negativ Atom Atomkärnan: Proton (+1), neutron (0) elekton
Läs merLösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3
Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3 Tid och plats: januari 2, kl. 4.9., i MA. Kursansvarig lärare: Christian Sohl, tel. 222 34 3. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i elektromagnetisk
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B2 26 3 7 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna a) x+4 x 3 +4x dx.5)
Läs merTentamen i : Vågor,plasmor och antenner. Totala antalet uppgifter: 6 Datum: Examinator/Tfn: Hans Åkerstedt/ Skrivtid:
Tentamen i : Vågor,plasmor och antenner Kurs: MTF18 Totala antalet uppgifter: 6 Datum: 7-5-8 Eaminator/Tfn: Hans Åkerstedt/4918 Skrivtid: 9. - 15. Jourhavande lärare/tfn: : Hans Åkerstedt/18/Åke Wisten7/55977
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merTentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Tisdagen 1/1 016, kl 14:00-18:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad:
Läs mer1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder
Föreläsning 9 1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder I denna föreläsning ska vi kortfattat behandla potentialströmning, som traditionellt varit ett stort område inom aerodynamiken, men
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merFörståelsefrågorna besvaras genom att markera en av rutorna efter varje påstående till höger. En och endast en ruta på varje rad skall markeras.
Dugga i Elektromagnetisk fältteori för F2. EEF031 2006-11-25 kl. 8.30-12.30 Tillåtna hjälpmedel: BETA, Physics Handbook, Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori, Valfri kalkylator men inga egna anteckningar
Läs merANDREAS REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se. Coulombs lag och Maxwells första ekvation
ANDREA REJBRAND 2007-11-03 Elektromagnetism http://www.rejbrand.se oulombs lag och Maxwells första ekvation oulombs lag och Maxwells första ekvation Inledning Två punktladdningar q 1 samt q 2 i rymden
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merMaxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen. J = ρ
1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merFK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00
FK4010 - Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (1:a omtentan), tisdag 16 juni 2015, kl 9:00-14:00 Läs noggrant genom hela tentan först. Börja med uppgifterna som du tror
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68)
Tentamen för FYK (TFYA68) 014-08-18 kl. 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook (Nordling, Österman) - egna bokmärken ok, dock ej formler, anteckningar miniräknare - grafräknare är tillåtna (men
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs mer