Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
|
|
- Niklas Eliasson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar en 1 - till - 1 avbildning mellan (x, y, z) och koordinaterna (q 1, q 2, q 3 ) i ett kurvilineärt koordinatsystem. Antag vidare att ytorna q i = konstant skär varandra vinkelrätt i punkten P = (x, y, z). Skärningskurvorna mellan dessa plan bildar koordinatlinjerna q i. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.2
2 De lokala basvektorerna bu i i det kurvilineära koordinatsystemet formar ett lokalt ortonormerat (ON) system om bu i bu j = δ ij. (A-1) Enhetsvektorerna definieras som där kallas skalfaktor. bu i 1 h i r q i, h i = r q, i (A-2) (A-3) Om vi valt enhetsvektorerna så att de bildar ett högerhandssystem, så gäller bu 1 bu 2 = bu 3, (A-4) och samma för cykliska permutationer (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2). Jämför med Levi-Civitias symbol! Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.3 Ortsvektorn för en given punkt är r = xbx + yby + zbz, (A-5) i det Cartesiska systemet, och r = q 1 bu 1 + q 2 bu 2 + q 3 bu 3, (A-6) i det kurvilineära systemet. En differentiell sträcka i det kurvilineära systemet skrivs dr = X i h i dq i bu i. (A-7) Efter multiplikation med bu j : dr j = h j dq j, (A-8) som alltså är en differentiell sträcka längs med koordinataxeln q j. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.4
3 En differentiell yta i riktningen bu k är da = dabu k = dr i dr j bu k = h i h j dq i dq j bu k, (A-9) där indexen i, j, k kan permuteras cykliskt. Ett differentiellt volymelement är analogt dv = dr 1 dr 2 dr 3 = h 1 h 2 h 3 dq 1 dq 2 dq 3. (A-10) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.5 A Cylindriska koordinater x = ρ cos ψ, (A-11) y = ρ sin ψ, (A-12) där ρ [0, ) och ψ [0, 2π). Basvektorerna (onormaliserade!) är u ρ = r = cos ψbx + sin ψby, ρ (A-13) u ψ = r ψ = ρ sin ψbx + ρ cos ψby. (A-14) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.6
4 Skalfaktorerna är h ρ = 1 och h ψ = ρ, så enhetsvektorerna blir bu ρ = cos ψbx + sin ψby, (A-15) bu ψ = sin ψbx + cos ψby. (A-16) Observera: bu ρ bu ψ = cos ψ cos ψbz (sin ψ sin ψ( bz)) = bz, d.v.s. systemet är orienterat som (ρ, ψ, z). Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.7 A Sfäriska koordinater x = r cos ϕ sin θ, (A-17) y = r sin ϕ sin θ, (A-18) z = r cos θ, (A-19) där r [0, ), ϕ [0, 2π) och θ [0, π). Basvektorerna är u r = r r = cos ϕ sin θbx + sin ϕ sin θby + cos θbz, (A-20) u ϕ = r = r sin ϕ sin θbx + r cos ϕ sin θby, ϕ (A-21) u θ = r θ = r cos ϕ cos θbx + r sin ϕ cos θby r sin θbz. (A-22) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.8
5 Skalfaktorerna är h r = 1, h ϕ = r sin θ och h θ = r, så enhetsvektorerna blir bu r = cos ϕ sin θbx + sin ϕ sin θby + cos θbz, (A-23) bu ϕ = sin ϕbx + cos ϕby, (A-24) bu θ = cos ϕ cos θbx + sin ϕ cos θby sin θbz. (A-25) Observera: bu r bu ϕ = cos 2 ϕ sin θbz (sin 2 ϕ sin θ( bz)) sin ϕ cos θby + cos ϕ cos θ( bx) = cos ϕ cos θbx sin ϕ cos θby + sin θbz = bu θ, (A-26) d.v.s. bu ϕ bu r = bu θ och bu r bu θ = bu ϕ efter en cyklisk permutering. Med andra ord, systemet är orienterat som (r, θ, ϕ). Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 1.9 A. 2. Gradient Gradienten av en skalär funktion f är f X i bu i f x i (A-27) i Cartesiska koordinater. Derivatan i riktningen bv är bv f = f v 1 f cos α, (A-28) där α är vinkeln mellan bv och gradienten. Från detta ser man att riktningsderivatan är störst i gradientens riktning, eftersom då gäller α = 0, och minst (0) i en riktning som är ortogonal mot gradienten. En generalisering av riktningsderivatans definition ger bu i f = f r i 1 h i f q i (A-29) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 2.10
6 så att i kurvilineära koordinater f = X i bu i 1 h i f q i (A-30) Observera: q j = X i bu i 1 h i q j q i = bu j h j (A-31) så att bu j = h j q j (A-32) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A A. 3. Divergens Divergensen av en vektor F är div F F lim V 0 H da F V (A-33) Beräkna denna komponentvis: (F 1 bu 1 ) (A-34) Men bu i = bu j bu k, (A-35) då i, j, k är cykliskt permuterade, så (F 1 bu 1 ) = (F 1 h 2 h 3 q 2 q 3 ) = (F 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 ) + F 1 h 2 h 3 ( q 2 q 3 ) = (F 1 h 2 h 3 ) ( q 2 q 3 ) + 0 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 3.12
7 = bu 2 bu 3 h 2 h 3 (F 1 h 2 h 3 ) = = = bu 1 (F 1 h 2 h 3 ) h 2 h 3 bu 1 h 2 h 3» bu1 h 1 (F 1 h 2 h 3 ) q h 1 h 2 h 3 (F 1 h 2 h 3 ) q 1 (A-36) Motsvarande för de övriga komponenterna ger div F F 1» (F1 h 2 h 3 ) + (F 2h 3 h 1 ) + (F 3h 1 h 2 ). (A-37) h 1 h 2 h 3 q 1 q 2 q 3 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A A. 4. Rotor Rotorn av ett vektorfält F definieras som rot F F lim V 0 Man kan visa att komponenten i bn-riktningen är bn ( F) = lim A 0 H H A da F. (A-38) V C dr F A. (A-39) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 4.14
8 Kurvintegralens första term, för A i riktningen bu 1, ger dr 2 F 2 + dr 3 F 3 dr 2 F 2 dr 3F 3 = h 2 dq 2 F 2 + (h 3 + h 3 s 2 h 2 dq 2 )dq 3 (F 3 + F 3 s 2 h 2 dq 2 ) (h 2 + h 2 s 3 h 3 dq 3 )dq 2 (F 2 + F 2 s 3 h 3 dq 3 ) h 3 dq 3 F 3 h 2 dq 2 F 2 s 3 h 3 dq 3 F 2 h 2 s 3 h 3 dq 3 dq 2 + h 3 dq 3 F 3 s 2 h 2 dq 2 + F 3 h 3 s 2 h 2 dq 2 dq 3 = (h 2 F 2 )dq 2 dq 3 + (h 3 F 3 )dq 2 dq 3 q 3 q 2 (A-40) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A Division med da = h 2 dq 2 h 3 dq 3 ger 1 h 2 h 3 Motsvarande för de övriga komponenterna ger slutligen» (h 2 F 2 ) + (h 3 F 3 ). (A-41) q 3 q 2 F = 1 h 1 h 2 h 3 h 1 bu 1 h 2 bu 2 h 3 bu 3 q 1 q 2 q 3 h 1 F 1 h 2 F 2 h 3 F 3. (A-42) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 4.16
9 A. 5. Laplace-operatorn Laplaceoperatorn av skalärfältet f är ( f) div ( f) = div X i! 1 f bu i. (A-43) h i q i Med uttrycket för divergensen fås 2 f = 1» «h2 h 3 f h 1 h 2 h 3 q 1 h 1 q 1 + h3 h 1 q 2 h 2 «f q 2 + h1 h 2 q 3 h 3 f q 3 «. (A-44) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A A. 6. Sammandrag Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 6.18
10 A Cylindriska koordinater Skalfaktorerna: h ρ = 1, h ψ = ρ, och h z = 1. f = bρ f ρ + ψ b 1 f ρ ψ + bzf z div F F 1» (Fρ ρ) + (F ψ) ρ ρ ψ = 1» (Fρ ρ) + (F ψ) + F z ρ ρ ψ z + (F zρ) z (A-45) (A-46) F = 1 bρ ρψ b bz ρ ψ z (A-47) ρ F ρ ρf ψ F z 2 f = 1» ρ f «+ «1 f + ρ f «ρ ρ ρ ψ ρ ψ z z = 1 ρ f «+ 1 2 f ρ ρ ρ ρ 2 ψ + 2 f (A-48) 2 z 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A A Sfäriska koordinater Skalfaktorerna: h r = 1, h θ = r, och h ϕ = r sin θ. f = br f r + θ b 1 f r θ + bϕ 1 f r sin θ ϕ " 1 (Fr r 2 sin θ) div F F + (F θr sin θ) r 2 sin θ r θ = 1 (F r r 2 ) + 1» (Fθ sin θ) + F ϕ r 2 r r sin θ θ ϕ + (F # ϕr) ϕ (A-49) (A-50) br rθ 1 b r sin θ bϕ F = r 2 r θ ϕ (A-51) sin θ F r rf θ r sin θf ϕ» 2 1 f = r 2 sin θ f «+ r sin θ 1 «f + «1 f r r 2 sin θ r r θ r θ ϕ r sin θ ϕ = 1 «r 2 f + 1 sin θ f «1 2 f + r 2 r r r 2 sin θ θ θ r 2 sin 2 (A-52) θ ϕ 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson A. 6.20
Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merAllmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn
Läs merVektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs merOMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
OMTENTAMEN I VEKTORANALY I46 och I40 Del, VT8 Onsdagen augusti 08:00-:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs mer0. Introduktion, matematisk bakgrund
0. Introduktion, matematisk bakgrund Kai Nordlund vt. 2013. Dessa anteckningar baserar sig i mycket stor utsträckning på anteckningarna förberedda av FD Krister Henriksson till kursen ht. 2005. Vissa delar,
Läs merTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18
TENTAMEN I EKTORANALY I46 och I40 Del, T8 Torsdagen 3 maj 4:00-9:00 Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel: Formelblad som delas ut. Räknedosa ej
Läs merSF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december 211. Lösningsförslag 1. Räkna ut flödesintegral F n ds, där F = (x e y,
Läs mer1 Vektorer och tensorer
Föreläsning 1. 1 Vektorer och tensorer Vi kommer att använda två olika beteckningar för vektorer. Enligt det första systemet använder vi fet stil för en vektor i typsatt text och ett vektorstreck då vi
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 14, 2018 5. Indexnotation Precis som vi har räkneregler för
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RMC] Elektrodynamik, ht 005, Krister Henriksson 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merVärldshistoriens bästa sammanfattning. Andreas Rejbrand
Världshistoriens bästa sammanfattning av vektoranalysen Andreas Rejbrand Vad handlar vektoranalysen om? Fält o Skalärfält o Vektorfält (inklusive potentialfält) Differentialoperatorer på fält o Gradient
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232) Tid och plats: Lösningsskiss: Tisdagen den 20 december 2016 klockan 0830-1230 i M-huset Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den
Läs mer14. Potentialer och fält
14. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 17, 2018 2. Kroklinjiga koordinater Allmänt behöver vi tre parametrar
Läs merAB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats
AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs mer1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner
1 llmänt om vektorer och vektorvärda funktioner 1.1 Vektorer och skalärer Inom fysiken gör vi skillnad på skalära och vektoriella storheter. Det som kännetecknar skalära storheter är att de har både storlek
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merFormelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01
Formelsamling Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01 Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds tekniska högskola Juni 014 Innehåll 1 Elstatik 1 Likström 4 3 Magnetostatik
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 11, 2017 12. Tensorer Introduktion till tensorbegreppet Fysikaliska
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merCartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.
yfte : 1 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1. Vektoranalys. Definiera och analysera begrepp analysen för vektorfunktionen. 1.1 Varför vektorer : Rumskonceptet En punkt i ett normalt rum som lektionssalen
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 4, 2018 1. Fält och derivator Ett fält är en fysikalisk storhet
Läs mer9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets
9. Magnetisk energi [RM] Elektrodynamik, vt 013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets anod
Läs mer9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1
9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1 9.1. Magnetisk energi för en isolerad krets Arbetet som ett batteri utför då det för en laddning dq runt en krets, från batteriets
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merMatematikuppgifter del II, FYTA11
Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merTATA44 Lösningar 26/10/2012.
TATA44 Lösningar 6/1/1. 1. Lösning 1: Konen z x + y skär sfären x + y + (z 5 5 då 4z + (z 5 5 och enkla räkningar ger nu z z some ger z(z och vi ser att z eller z. Observera att punkter på sfären med z
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merDen vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k
Vektorkalkl I fsiken har vektorfält stor betdelse inom bl.a. mekaniken och elektrodnamiken. I ett skalärfält har varje punkt i rmden ett visst värde, t.e. i en vattenbalja kan vi sätta en temperatur i
Läs mer1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =
1.15. UPPGIFTER 1 1.15 Uppgifter Uppgift 1.1 a) isa att transformationen x i = a ikx k med (a ik ) = 1 0 1 1 1 1 1 1 1 är en rotation. b) Bestäm komponenterna T ik om (T ik ) = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Uppgift
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Oct 16, 2018 9. Lösningar av Poissons ekvation Vi vet att Poissons
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss
Läs merVIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP
Appendix VIKTIGA TIÄMPNINGA AV GUNDÄGGANDE BEGEPP I detta appendix diskuteras viktiga tillämpningar av grundläggande begrepp inom vektoranalysen. Exemplen är främst hämtade från den elektromagnetiska teorin.
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merEn första kurs i matematisk fysik
En första kurs i matematisk fysik Martin Cederwall 1 Christian Forssén 1 1 Institutionen for fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Aug 31, 2017 Förord. Detta kompendium är tänkt att användas i kursen Vektorfält
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merAssocierade Legendre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson
Föreläsning 5/3 Associerae Legenre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson Laplaces ekvation i sfäriska koorinater I sfäriska koorinater kan vi skriva Laplaces ekvation som r 2 r 2 Ψ r r r 2 sin
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merMekanik FK2002m. Vektorer
Mekanik FK2002m Föreläsning 2 Vektorer 2013-09-02 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2 Introduktion Förra gången pratade vi om rörelse i en dimension. När vi går till flera dimensioner behöver
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31 Lärare Ove Edlund Föreläsningar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merMatematisk fysik I. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet
Matematisk fysik I Kompendiet Lektor: Yury Shestopalov e-mail: youri.shestopalov@kau.se Tel. 054-700856 Hemsidan: www.ingvet.kau.se\ youri Karlstads Universitet 2003 Innehåll Grundläggande begrepp av vektoranalys
Läs merVi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merAB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet
AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),
Läs mer3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika
3. Lösning av elektrostatiska problem för dielektrika [RMC] Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 3.1 3.1. Dielektrika Ett perfekt dielektrikum (isolator) är ett material som inte innehåller några
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Materiens Struktur Räkneövning 3 Lösningar 1. Studera och begrunda den teoretiska förklaringen till supralednigen så, att du kan föra en diskussion om denna på övningen. Skriv även ner huvudpunkterna som
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merAnalys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65
Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade
Läs mer2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll
2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll 2.1 Derivering av A(u) A ΔA A (u) rymkurva Ο A(u+Δu) Det sätt på vilket vektorvära funktioner (eller vektorfält) eriveras följer enkelt och irekt ur en vanliga
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs mer22 Vektoranalys och flödesintegraler
Nr, maj -5, Amelia ektoranalys och flödesintegraler. Mera om gradient ( ), divergens ( ) och rotation ( ) Notera att ett vektorfält är en funktion R 3 R 3 (fetstil F) medan ett skalärt fält är en funktion
Läs merHanno Essén Lagranges metod för en partikel
Hanno Essén Lagranges metod för en partikel KTH MEKANIK STOCKHOLM 2004 1 Inledning Joseph Louis Lagrange (1763-1813) fann en metod som gör det möjligt att enkelt ta fram rörelseekvationerna för system
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merVektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning
Läs mer1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.
Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata
Läs merLinjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n
Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF669 Matematisk och numerisk anals II Lösningsförslag till tentamen 7-3-5 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsstem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rmdpolära (sfäriska) koordinaterna
Läs mer