2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll
|
|
- Emilia Eliasson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll 2.1 Derivering av A(u) A ΔA A (u) rymkurva Ο A(u+Δu) Det sätt på vilket vektorvära funktioner (eller vektorfält) eriveras följer enkelt och irekt ur en vanliga efinitionen av erivatan. För enkelhets skull börjar vi me en vektorvär funktion A som enast beror av en variabel u, vs A(u). Derivatan av A me avseene på u ges å av A lim A = lim A(u + ) A(u), förutsatt att gränsväret existerar. Notera att A är änringen i A å variabeln, som A beror av, änras från u till u +, vs A = A(u + ) A(u) (se även figuren till vänster). När vi eriverar A me avseene på u skapas alltså en ny vektorvär funktion, A. Denna nya funktion ger, för varje väre på u, motsvarane tangentvektor till en rymkurva som fås om vi behanlar A som en ortsvektor (se återigen figuren ovan). Som exempel tittar vi nu närmare på fallet å A ligger i et rum som spänns av e tre kartesiska enhetsvektorerna ˆx, ŷ och ẑ. Ur efinitionen av erivatan följer att även A növänigtvis måste kunna uttryckas me hjälp av samma tre basvektorer. Skrivet i komponentform fås faktiskt att T (u) = (A x(u), A y (u), A z (u)) = ( Ax, A y, A z är T (u) är tangentvektorn vi u till en rymkurva som beskrivs av A. Bevis: T (u) = A [ 3 = lim 1 A i (u + )ˆx i 3 [ ] A i (u + ) A i (u) = lim ˆx i = ), ] 3 A i (u)ˆx i 3 A i ˆx i. Det tål att unerstykas; e kartesiska enhetsvektorerna som vi valt att beskriva A me är fixerae (vs oberoene av u). Den vektorvära funktionen A:s u-beroene ses ärme irekt (och uteslutane) i ess kartesiska komponenter A x (u), A y (u) och A z (u). Följaktligen, å A eriveras me avseene på u, sker eriveringen enast i e iniviella komponenterna. Vi söker en normerae tangentvektorn (me magnitu 1) som funktion av u till rymkurvan r(u) = (cos u, sin u, λu), är λ är en positiv konstant och är u (se figuren på nästa sia).
2 Vi eriverar r me avseene på u och får T (u) = r = ( sin u, cos u, λ). Den normerae tangentvektorn vi u fås slutligen till ˆT (u) = = T ( sin u, cos u, λ) T = sin 2 u + cos 2 u + λ 2 ( sin u, cos u, λ). 1 + λ 2 En partikel rör sig längs me en specifik rymkurva, som beskrivs av en vektorvära funktionen r(t). Partikelns läge (relativt origo) vi tien t ges här alltså av ortsvektorn r(t). Vi erivering av r(t) (me avseene på t) fås en vektorvär funktion v(t) = r, t är v(t) är hastighetsvektorn som tillhör partikeln vi tien t. Det skall påpekas att ett annat vanligt skrivsätt är att ange tiserivata me en punkt ovanför funktionsnamnet. Den vektorvära funktion som beskriver partikelns acceleration ges exempelvis av a(t) = v = 2 r = v = r. t t 2 Regler: Me hjälp av erivatans efinition kan följane fyra regler visas ( A + B) = A + B, ( A B) = A B + A B, ( A B) = A B + A B, (Φ A) = Φ A + Φ A, är Φ är en skalärvär funktion av u. Dessutom, i fallet å u beror av v, vs u(v), fås kejeregeln A[u(v)] v = A v. Bevis: Det finns en uppenbar likhet mellan ovanståene regler för vektorvära funktioner och eras skalärvära motsvarigheter (vi bortser här ifrån uttrycket me kryssprokten, som inte har någon irekt skalär motsvarighet). Denna likhet kan till viss mån förstås om vi tänker oss alla e ingåene vektorerna som uttryckta i sina kartesiska komponenter. All erivering sker nu i komponenterna, vilka naturligtvis följer e regler som gäller för skalärvära funktioner. Det är ärme inte allt för långsökt att tänka sig att e resulterane reglerna för erivering av vektorvära funktioner kraftigt präglas (i alla fall i
3 ess struktur) av motsvarane uttryck me skalärvära funktioner. Exempelvis, givet basvektorerna ˆx, ŷ och ẑ, ses att A(u(v)) v = (vilket visar kejeregeln) samt att ( Ax v, A y v, A ) ( z Ax = v v, A y v, A z ) v = A v. ( A B) = (A xb x + A y B y + A z B z ) = A x B x + A y B y + A z B B x z + A x + A B y y + A B z z. }{{ } A B A B Fallet me kryssprokten, vs ( A B), visas äremot enklast som ( A B) = lim = lim = lim 1 [ ] A(u + ) B(u + ) A(u) B(u) 1 [( ) ( ) A(u) + A B(u) + B 1 [ ] A(u) B + A B(u) + A(u) B = A(u) lim B + lim A B(u). A(u) B(u) ] I ovanståene bevis har vi använt oss av att A = A(u + ) A(u) (och motsvarane uttryck för B) A samt att lim B = 0. Det skall också unerstrykas att vi ingenstans i härleningen har använt oss av egenskaper som är unika för just kryssprokten. Vi kan, me anra or, utföra exakt samma bevissteg me kryssprokten ( ) utbytt mot skalärprokten ( ). Mycket riktigt, byter vi ut mot i proktregeln ( A B) fås också regeln för ( A B). 2.2 Partiell erivering av A(u, v,...) Vi ser nu närmare på e fall är en vektorvära funktionen A beror av flera i sig oberoene variabler u, v,..., vs A(u, v,...). Om vi kräver att alla variabler förutom en hålls konstanta så receras A(u, v,...) till att effektivt enast bero av en variabel. Vi kan alltså, i etta speciella fall, tillämpa e regler vi nyss stuerat för vektorvära funktioner av en variabel. Den partiella erivatan efinieras alltså som A(u, v,...) u lim A(u +, v,...) A(u, v,...). Vi repeterar; vi partiell erivering hålls alla anra variabler konstanta förutom en vi eriverar me avseene på (u ovan). Notera också att vi skriver partiella erivatorer me i stället för. Regler Alla e fyra första reglerna som listaes för vektorvära funktioner av en variabel kan även tillämpas på vektorvära funktioner av flera variabler, fast me utbytt mot
4 . Beträffane en nästföljane regeln, vs kejeregeln, finns två alternativ i flervariabelfallet. Om e oberoene variablerna u, v,... själva beror av enast variabeln t, vs u u(t), v(t),..., fås A[u(t), t v(t),...] = A u t + A v v t Skulle äremot u, v,... bero av flera variabler r, s,... gäller i stället att A[u(r, r s...), v(r, s,...),...] = A u u r + A v v r Till sist bör också nämnas att 2 A u v = 2 A v u, förutsatt att A har kontinuerliga anraerivatorer. orning spelar me anra or ingen roll. De partiella erivatornas inböres 2.3 Differentialen av A(u, v,...) Differentialen A av en vektorvär funktionen A(u, v,...) ges, per efinition, av A A u + A v v +..., är vi förutsätter att A:s partiella erivator, vs A, A u v,..., är kontinuerliga funktioner. Ortsvektorifferentialen till r(x, y, z) = (x, y, z) = xˆx + yŷ + zẑ fås alltså till r = r x ˆx=(1,0,0) x + r y ŷ=(0,1,0) y + r ẑ=(0,0,1) z = (x, y, z). Vi söker nu en möjlig koppling mellan ifferentialen A av vektorfältet A och änringen A av samma vektorfält. Låt oss ånyo ta ortsvektorifferentialen som exempel. Vi utgår från ortsvektorn r(x, y, z) som pekar mot punkten P : (x, y, z) (se figuren till höger). Vi en föränring x x + x, y y + y, z z + z, Ο r(x+ x,y+ y,z+ z) r (x,y,z) P : (x+δx,y+δy,z+δz) Δr P : (x,y,z) erhålls en ny ortsvektor r(x + x, y + y, z + z) pekanes mot punkten P : (x+ x, y+ y, z + z). Ovanståene föränring i variablerna x, y och z ger alltså upphov till änringen r = r(x + x, y + y, z + z) r(x, y, z) = ( x, y, z)
5 i ortsvektorn. Uttrycket för änringen, r = ( x, y, z), och ifferentialen, r = (x, y, z), av ortsvektorn har sålees liknane struktur. I gränsen för små föränringar i x, y och z, vs x x, y y och z z, fås att r r. Det omväna gäller också. Vi kan utgåenes från uttrycket på r beräkna r genom substitutionen x x, y y och z z, vs r = r r r x + y + x y z. Ovanståene likhet är (som snart skall visas) ej av allmän karaktär, utan snarare ett specialfall giltigt för just ortsvektorn. Differentialen av et mer generella vektorfältet ges av A(x 1, x 2, x 3 ) = (A 1 (x 1, x 2, x 3 ), A 2 (x 1, x 2, x 3 ), A 3 (x 1, x 2, x 3 )) A = 3 A x i x i, vilket, skrivet i komponentform, är samma sak som ( 3 A A 1 3 A 2 = (A 1, A 2, A 3 ) = x i, x i, x i x i 3 A 3 x i x i Låt oss nu även unersöka relationen mellan ifferentialen och änringen av etta vektorfält. Vi börjar me att skriva änringen, A, i komponentform som A(x 1, x 2, x 3 ) = ( A 1 (x 1, x 2, x 3 ), A 2 (x 1, x 2, x 3 ), A 3 (x 1, x 2, x 3 )). Vi påminner också om att A(x 1, x 2, x 3 ) = A(x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) A(x 1, x 2, x 3 ), vilket för komponent i (är i = 1, 2, 3) av A innebär att A i (x 1, x 2, x 3 ) = A i (x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) A i (x 1, x 2, x 3 ) 3 A i = x j A i x j x k + O( 3 ). x j 2 x j x k j=1 j,k=1 I sista steget skrev vi om A i (x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) me hjälp av en Taylorutveckling kring A i (x 1, x 2, x 3 ). Om vi nu jämför uttrycket för A i mot motsvarane för A i ses att en senare enast innehåller första orningens term i Taylorutvecklingen. Me anra or, för faktiska förflyttningar x (och ej infinitesimala såana) fås att A A x x + A y y + A z, olikt fallet för ortsvektorn. I gränsen för små föränringar i e beroene variablerna, vs x x, fås äremot att A i A i och ärme att A A, precis som i fallet me ortsvektorn. Anra orningens termer, x i x k, (samt högre orningars) är nämligen helt försumbara i gränsen för små x. ).
6 2.4 Nablaoperatorn För att sammanfatta e i fysiken vanligt förekommane rumsliga erivatorna av vektorfält (och skalärfält) introcerar vi nu nablaoperatorn = ˆx x + ŷ y + ẑ ( = x, y, ). Vi betonar här att är en vektoroperator och inte en orinär vektor. Som operator skall ses som innehållanes en instruktion att erivera et som står efter, vs till höger om, ess symbol. Exempelvis, i fallet å verkar på ett skalärfält Φ så skapas ett vektorfält enligt Φ(x, y, z) = ( x, y, ) ( Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) =, x Φ(x, y, z), y ) Φ(x, y, z). Eftersom verkar på et som står till höger om sig, spelar ess placering i ett uttryck stor roll. Till skillna mot Φ, som är ett vektorfält, är exempelvis Φ en ny vektoroperator. Det finns enast ett sätt på vilket vektoroperatorn kan verka på ett skalärfält, men et finns två sätt som en kan verka på ett vektorfält. De möjliga kombinationerna ses nean. ( Φ Φ = x, Φ y, Φ ) = gra Φ, A = A x x + A y y + A z = iv A, A ˆx ŷ ẑ = x y A x A y A z = rot A. Vi återkommer me en lite mer utförlig beskrivning av essa tre fall senare i kapitlet. För vanliga vektorer gäller att A ( B A) = 0. Vi söker nu om samma sak allti gäller för A ( A). Som exemel kan vi ta fallet A = ( y, x, 1), vilket ger att ˆx ŷ ẑ A = x y y x 1 = (0, 0, 2). Detta ger i sin tur att A ( A) = 2 0. På liknane sätt gäller exempelvis generellt att ( Φ) ( Ψ) 0, trots att ( AΦ) ( AΨ) = 0. Man måste me anra or vara försiktig och inte behanla som en vanlig vektor! Regler Det finns så klart även en ra regler för beräkningar me nablaoperatorn som, vi ork och lust, kan visas. Vi nöjer oss ock me att enast lista essa regler, samt att påpeka att även ifall vissa ser ut att vara självklara finns anra som ej är lika triviala vi första
7 anblick. (Φ + Ψ) = Φ + Ψ, ( A + B) = A + B, ( A + B) = A + B, (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ, ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A, (Φ A) = Φ( A) + A ( Φ), ( A B) = B ( A) A ( B), (Φ A) = Φ( A) A ( Φ), ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A). Notera att e flesta av essa står också i er formelsamling. Anraerivator Hittills har vi enast iskuterat förstaerivator i form av Φ, } {{ A } vektorfält skalärfält och A }{{. } vektorfält Om vi låter verka på ovanståene tre uttryck fås fem möjliga anraerivatorer Φ = ( Φ) = Φ, Φ = ( Φ) = 0, A = ( A) vilket sällan förekommer i fysiken, A = ( A) = 0, A = ( A) = ( A) A, är 2 = x 2 y 2 2 är Laplaceoperatorn. Ur sista uttrycket ses även att A = ( ) A ( A). 2.5 Graienten Graienten av ett kontinuerligt eriverbart skalärfält Φ ges, som tiigare nämnts, av ( gra Φ Φ Φ = x, Φ y, Φ ). Ovanståene vektorfält är tätt sammankopplat me ifferentialen av et bakomliggane skalärfältet Φ, Φ = Φ ( Φ Φ Φ x + y + x y z = x, Φ y, Φ ) (x, y, z) = gra Φ r. Om vi skriver om ortsvektorifferentialen till r = ês, är s ger storleken av r och ê är enhetsvektorn som ger r:s riktning, fås att Φ s = lim Φ( r + ês) Φ( r) s 0 s = gra Φ ê.
8 Riktningserivatan av Φ i riktning ê fås, me anra or, av graientvektorns komponent i en angivna riktningen. Graienten av Φ har två viktiga egenskaper, vilka nu iskuteras kort. Egenskap 1: Φ i punkt P, vs (gra Φ) P, pekar i en riktning som Φ växer snabbast. Maximala ökningen av Φ per längenhet ges av (gra Φ) P. I fallet å Φ har ett maximum eller minimum i P fås ärför att (gra Φ) P = 0. Bevis: Vi vet sean tiigare att Φ s = gra Φ ê = gra Φ ê cos θ, 1 är θ är en mellanliggane vinkeln (se figuren till höger). Eftersom 1 cos θ 1 har Φ et maximala väret gra Φ, vilket fås å ê s är parallell me gra Φ. graϕ θ ê Egenskap 2: (gra Φ) P är ortogonal mot nivåytan Φ = c genom P. Bevis: Ovanståene egenskap ses irekt ur en förflyttning r längs nivåytan är Φ är konstant. I etta fall fås att z (gra ) P 0 = Φ = gra Φ r, P r Yta: =c vilket måste gälla för alla r på ytan. Vi frågar oss nu hur hur snabbt temperaturen T (x, y, z) = xy 2 + z 2 växer å man rör sig i riktningen (1, 2, 2) utgåene från punkten P : (2, 1, 1). Vi söker alltså riktningserivatan T i en angivna riktningen. Graienten av T ges av T = (y 2, 2xy, 2z). I punkten P s gäller ärme att ( T ) P = (1, 4, 2), vilket även är riktningen (utgåenes från P ) i vilken temperaturen ökar snabbast. För att beräkna temperaturökningens hastighet i riktningen (1, 2, 2) tar vi skalärprokten mellan ( T ) P och en normerae riktningsvektorn ê, vs ( T s ) P ;ê = (1, 4, 2) (1, 2, 2) = 1. Vi finner alltså att temperaturen sjunker me 1 gra/längenhet å man flyttar sig ett infinitesimalt stycke i riktningen ê = 1 (1, 2, 2). 3 x y Graienten av Φ kan även använas till att uppskatta et vinkelräta avstånet s mellan punkten P i nivåytan Φ = c och nivåytan Φ = c + h. För små änringar gäller att h = Φ Φ = (gra Φ) P s. Omskrivet ger etta oss att z s =c+h =c s h (gra Φ) P. x y
9 2.6 Divergens och rotation Vi har nyss sett att graienten Φ är ett vektorfält som i varje punkt beskriver en riktning i vilken skalärfältet Φ växer snabbast. Divergensen A och rotationen A har på motsvarane sätt egna fysikaliska tolkningar. Dessa båa tolkningar kommer nu beskrivas kortfattat. En mer jupgåene analys sparar vi till senare kapitel. Divergensen ( A) P säger hur mycket vektorfältet sprier ut sig från punkten P. Vi kan tänka oss vektorfältet som beskrivane en flöane vätskas hastighet. Vi tillsätter nu några roppar blått färgämne lokalt i närheten kring punkten P och ser va som häner. Om en blåfärgae vätskan sprier ut sig, vs börjar uppta en större volym, fås att ( A) P > 0. Om istället volymen av en blåa vätskan minskar är ivergensen negativ i punkten P. Se neanståene figur för några exempel på möjliga fall. P P P Källa: (iv A ) P > 0 Sänka: (iv A ) P < 0 (iv A ) P = 0 Rotationen ( A) P beskriver hur mycket vektorfältet roterar runt punkten P. I närheten av virvlar i vektorfältet är alltså A stort. Riktningen av A fås i överensstämmelse me högerhansregeln (se figuren nean). P (rot A) P > 0 (rot A) P upp, ut ur planet (mot läsaren)
10 Övningsuppgifter 2.1 En partikel rör sig i xy-planet så att läget r(t) vi tien t ges av r(t) = (a cos(ωt), b sin(ωt)), är a, b och ω är konstanter. a) Hur långt från origo är partikeln vi tien t? b) Bestäm hastigheten och accelerationen som funktion av tien. c) Visa att partikeln rör sig i en elliptisk bana ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1 a b 2.2 Vektorn R(u) satisfierar ifferentialekvationen R(u) = A(u) R(u), är A(u) är en given vektorvär funktion. Visa att R:s absoluta belopp är konstant. Lening: Derivera R R. 2.3 Beräkna graienten för följane funktioner a) f(x, y, z) = x 2 + y 3 + z 4. b) f(x, y, z) = x 2 y 3 z 4. c) f(x, y, z) = e x sin(y) ln(z). 2.4 Temperaturen i ett rum beskrivs av skalärfältet T = x 2 + 2yz z [ C]. En frusen mygga befinner sig i punkten (1, 1, 2). a) I vilken riktning skall myggan flyga om en vill bli varm så fort som möjligt? b) Hur snabbt (uttryckt i C/s) ökar temperaturen om myggan flyger me hastigheten 3 längenheter/s i riktningen ( 2, 2, 1)? 2.5 Varför finns ( B ) A men ej B ( A)? 2.6 Beräkna ivergensen för följane vektorfunktioner: a) v a = x 2ˆx + 3xz 2 ŷ 2xzẑ. b) v b = xyˆx + 2yzŷ + 3zxẑ. c) v c = y 2ˆx + (2xy + z 2 )ŷ + 2yzẑ. 2.7 Beräkna rotationen för vektorfunktionerna v a, v b och v c från uppgift För vektorfunktionerna A = xˆx + 2yŷ + 3zẑ, B = 3yˆx 2xŷ. a) Kontrollera proktregeln ( A B) = B ( A) A ( B). b) Kontrollera på liknane sätt proktregeln ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A. c) Kontrollera slutligen proktregeln ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A).
11 2.9 Visa att rot gra Φ = Visa att iv rot A = Beräkna gra r, är r = r, samt beräkna iv r och rot r.
Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt
Läs mer1 Några elementära operationer.
Föreläsning Några elementära operationer. Ett skalärfält är en reellvärd eller komplexvärd funktion Φ(x, y, z). Ett vektorfält är en vektorvärd funktion A(x, y, z). I ett kartesiskt koordinatsystem kan
Läs merModul 2 Mål och Sammanfattning
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Moul 2 Mål och Sammanfattning Derivata. 1. MÅL FÖR MODUL 2 Förstå och använa erivatans efinition Förstå och använa erivata
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar Christian Forssén, Institutionen för fysik, Chalmers, Göteborg, Sverige Sep 4, 2018 1. Fält och derivator Ett fält är en fysikalisk storhet
Läs merMATEMATIK Datum: Tid: förmiddag. A.Heintz Telefonvakt: Tel.:
MATEMATIK Datum: 009-0- Ti: förmiag Chalmers Hjälpmeel: inga A.Heintz Telefonvakt: Tel.: 076-786 Lösningar till tenta TMV06/TMV0 Analys och linjär algebra K/Bt/Kf, el A.. Sats Ange "geometriska" beviset
Läs merFÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för istanskursen Matematik A - analyselen vi Uppsala universitet höstterminen 2006. 1. Derivata I grunläggane analys
Läs mer15. Ordinära differentialekvationer
153 15. Orinära ifferentialekvationer 15.1. Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många
Läs merVektoranalys, FMFF01. - utökade föreläsningsanteckningar
ektoranalys, FMFF01 - utökade föreläsningsanteckningar v p d p r=r(u,v) z N d + - (u,v) du dv v 0 y u 0 u Om materialet Dessa utökade föreläsningsanteckningar baseras på följande tre böcker: A. Ramgard,
Läs mer1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70
1 Föreläsning 7 1.1 tokes sats ats 1 åt vara en yta i R med randen. Vi antar att orienteringen på och är vald på ett sådant sätt att om man går längs i den valda riktningen då ligger till vänster (på vänstersidan).
Läs mer1 Allmänt om vektorer och vektorvärda funktioner
1 llmänt om vektorer och vektorvärda funktioner 1.1 Vektorer och skalärer Inom fysiken gör vi skillnad på skalära och vektoriella storheter. Det som kännetecknar skalära storheter är att de har både storlek
Läs merÖVN 1 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll.
ÖVN - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelor och innehåll Orinära ifferenitalekvationer (ODEer) y = f(t, y) Lösning y(t) och efinitionsmäng
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merIntegraler av vektorfält Mats Persson
Föreläsning 1/8 Integraler av vektorfält Mats Persson 1 Linjeintegraler Exempel: En partikel rör sig längs en kurva r(τ) under inverkan av en kraft F(r). i vill då beräkna arbetet som kraften utövar på
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs mer1 Materiell derivata. i beräkningen och så att säga följa med elementet: φ δy + δz. (1) φ y Den materiella derivatan av φ definierar vi som.
Föreläsning 2. 1 Materiell erivata ätskor och gaser kallas me ett sammanfattane or för fluier. I verkligheten består fluier av partiklar, v s atomer eller molekyler. I strömningsmekaniken bortser vi från
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs mer0. Introduktion, matematisk bakgrund
0. Introduktion, matematisk bakgrund Kai Nordlund vt. 2013. Dessa anteckningar baserar sig i mycket stor utsträckning på anteckningarna förberedda av FD Krister Henriksson till kursen ht. 2005. Vissa delar,
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merVEKTORANALYS Kursprogram VT 2018
VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika
Läs merBo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL
Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 5 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL I etta kapitel efinierar vi en komplexvär funktion av en komplex variabel, ess erivata, begreppet analytiska
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs mer3 Parameterframställningar
3 arameterframställningar Från och med nästa kapitel kommer mcket av vårt fokus ligga på olika integraluttrck med vektorvärda funktioner. Vi kommer eempelvis studera integreringen av vektorfält både längs
Läs merTENTAMEN HF1006 och HF1008
TENTAMEN HF006 och HF008 Datum TEN jan 0 Ti -7 Analys och linjär algebra, HF008 (Meicinsk teknik), lärare: Jonas Stenholm Analys och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar hristian Forssén, Institutionen för fysik, halmers, Göteborg, verige ep 6, 217 3. Integraler Det mesta av detta material förutsätts vara
Läs merFöreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 28 november 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 15.1: 3, 5, 17. 15.2: 3, 5, 7, 21. Vektorfält DEFINITION Ett skalärfält Φ på ett
Läs merAppendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem
Appendix A: Differentialoperatorer i olika koordinatsystem [Arfken,BETA,Lahtinen] A. 1. Kurvilineära koordinatsystem Antag att i ett Cartesiskt (x, y, z) koordinatsystem med basvektorerna bx, by, bz existerar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
1 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 2 Hans Thunberg Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 4 2 / 28 SF1626 Flervariabelanalys Dagens lektion: avsnitt 11.1 11.3 Funktioner från R till
Läs merKroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)
Föreläsning 7/9 Kroklinjiga koordinater räkning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Henrik Johanneson/Mats Persson) Allmänt behöver vi tre parametrar u, u 2, u 3 för att beskriva en godtycklig
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2017, kl. 8:00-12:00
Tentamen i Matematik HF9 8 ec 7 kl 8:-: Eaminator: rmin Halilovic Unervisane lärare: Jonas Stenholm Elias Sai Nils alarsson För gokänt betyg krävs av ma poäng etygsgränser: För betyg E krävs 9 6 respektive
Läs mer1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.
Lektion 5 Innehål 1. Gradient och riktningsderivata till funktioner av två variabler (2.7) 2. Gradient och riktningsderivata till funktioner av tre variabler (2.7) Innehål 1. Gradient och riktningsderivata
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll.
ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nckelor och innehåll Stabilitet, asmptotisk stabilitet och instabilitet Kritiska punkter Linjarisering
Läs merTentamen i TATA43 Flervariabelanalys
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter
Läs merVektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik
Vektoranalys II Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 9 september 215 Översikt 1 Kurvor och ytor, linje- och yt-mått 2 Integraler, Kap. 1.3 Linjeintegraler Ytintegraler Volymsintegraler
Läs merUppföljning till lektion 5 om pekare. Grundläggande symboler. En struct, en pekartyp och lite variabler
Uppföljning till lektion 5 om pekare Pekare, structar och rekursiva funktioner kan sannerligen vara lite knepigt att förstå. Denna lilla skrift är ett försök att me hjälp av många illustrationer göra et
Läs merAssocierade Legendre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson
Föreläsning 5/3 Associerae Legenre-funktioner och klotytefunktioner Ulf Torkelsson Laplaces ekvation i sfäriska koorinater I sfäriska koorinater kan vi skriva Laplaces ekvation som r 2 r 2 Ψ r r r 2 sin
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merAnmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.
VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================
Läs merMekanik Föreläsning 8
Mekanik Föreläsning 8 CBGA02, FYGA03, FYGA07 Jens Fjelstad 2010 02 19 1 / 16 Repetition Polära koordinater (r, θ): ange punkter i R 2 m h a r: avståndet från origo (0, 0) θ: vinkeln mot positiva x axeln
Läs merKap Implicit givna funktioner
Kap 12.8. Implicit givna funktioner A 701. Betrakta ekvationen x 2 y 2 = 0 och funktioner y = y(x). a. Hur många funktioner satisfierar ekvationen? b. Hur många kontinuerliga funktioner satisfierar ekvationen?
Läs mer1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem
1 Föreläsning 4 1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem Sats 1 i sfäriska koordinater; i cylindriska koordinater. Bevis. I kartesiska koordinater har vi att Φ = r ˆr + 1 r θ ˆθ + 1 ˆϕ (1 r sin θ ϕ
Läs mer4 Integrering av vektorfält
4 Integrering av vektorfält 4.1 Integrering av vektorvärda funktioner Vi börjar vår undersökning av hur vektorfält integreras med att studera en styckvis kontinuerlig funktion A av flera oberoende variabler
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plats: 3 augusti, 017, kl. 14.00 19.00, lokal: MA10 A och B. Kursansvarig lärare: Aners Karlsson, tel. 40 89. Tillåtna
Läs merAB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys
AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma
Läs merFör studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs mer23 Konservativa fält i R 3 och rotation
Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast
Läs merTentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006
Institutionen för elektrovetenskap Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, oktober, 006 Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i Elektromagnetisk fältteori Varje uppgift ger 0 poäng. Delbetyget
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom fx, y) lnx 1) + lny) xy x. a) Förklara
Läs merHjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
Läs merKomihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA
1 Föreläsning 6: Relativ rörelse (kap 215 216) Komihåg 5: ( ) Accelerationssamb: a A = a B + " # r BA + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A = a B " d BA # 2 e r + d BA # e # Rullning på plan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merDifferentialens geometriska betydelse
Analys 360 En webbaserad analyskurs Differentialkalkyl Differentialens geometriska betydelse Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Differentialens geometriska betydelse 1 (9) Introduktion
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merIntegraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill
Forelasning 6/9 ntegraler av vektorfalt Linjeintegraler Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). i vill da berakna arbetet som kraften utovar pa partikeln. Mellan
Läs merAllmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan
Forelasning 3/9 Kroklinjiga koordinater rakning med vektoroperatorer Kroklinjiga koordinater Allmant behover vi tre parametrar u u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan da skriva ortsvektorn
Läs merCartesiska kooordinater r = xˆx + yŷ + zẑ är de vanligaste men inte nödvändigtvis. Val av koordinatsystem beror på det problem vi vill studera.
yfte : 1 Fysikens matematiska metoder. Vecka 1 1. Vektoranalys. Definiera och analysera begrepp analysen för vektorfunktionen. 1.1 Varför vektorer : Rumskonceptet En punkt i ett normalt rum som lektionssalen
Läs merFöreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys Haakan Hedenmalm (KTH, Stockholm) 5 december 2017 KTH Rekommenderade uppgifter: 16.1: 3, 7, 11. 16.2: 9, 15, 17. Gradient, divergens, och rotation Gradienten Om
Läs merExempel på hur man ställer upp den styrande differentialekvationen.
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Svängningsproblem Eempel på hur man ställer upp en styrane ifferentialekvationen. Betrakta följane system beståene av en partikel
Läs merFigur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 8 13 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs mer1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.
Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merA = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt
TATA44 Lösningar till tentamen 27/8/2..) Arean A av ytstycket ges av formeln A r s r t dsdt där : s t, t. En enkel räkning ger r s r t ( 2s 2 cos t, 2s 2 sin t, s) av vilket det följer att A s2 + 4s 4
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merIntegration m.a.p. t av båda led ger. Lektion 13, Flervariabelanalys den 15 februari x(t) x(0) = log y(t) log y(0) = log.
Lektion 13, Flervariabelanals den 15 februari 2 15.1.2 Skissera vektorfältet och bestäm dess fältlinjer. F, = e + e I varje punkt, har vektorfältet en vektor med komponenter,, d.v.s. vektorn utgående från
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merDen vanliga koordinaterna, betecknas (x, y, z) med enhetsvektorerna î, ĵ och. z k
Vektorkalkl I fsiken har vektorfält stor betdelse inom bl.a. mekaniken och elektrodnamiken. I ett skalärfält har varje punkt i rmden ett visst värde, t.e. i en vattenbalja kan vi sätta en temperatur i
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs mer19.4 Bohrs modell för väteatomen.
Den moerna fysikens gruner - Föreläsning 7 42 9.4 Bohrs moell för väteatomen. Som vi sett är en totala energin för elektronen i väteatomen E = 2 mv2 = e2 8πɛ 0 r. Eftersom L = mvr för cirkulära banor så
Läs merTentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl
Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg
Läs mer{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.
34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt
Läs merMAA151 Envariabelkalkyl läsåret 2016/17
Lektionsuppgifter A Omgång 1 (5) Funktioner 1. Bestäm inversen till funktionen f efiniera enligt f() = 1/ 1. Specificera speciellt inversens efinitionsmäng och väremäng. Skissa även i ett och samma koorinatsystem
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys
Föreläsning 13 Institutionen för matematik KTH VT 2018 Administrativt 0 Anmäl er till tentan! Vektoranalys 1 Dagens program: Vektorfält Konservativa vektorfält Potentialfunktioner Bokens kapitel 15.1-15.2
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merTentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl
Tentamen me lösningsiskussion TSFS06 Diagnos och övervakning 30 maj, 2012, kl. 14.00-18.00 Tillåtna hjälpmeel: TeFyMa, Beta, Physics Hanbook, Reglerteknik (Gla och Ljung), Formelsamling i statistik och
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs mer