ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll.

Transkript

1 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF KARL JONSSON Nckelor och innehåll Stabilitet, asmptotisk stabilitet och instabilitet Kritiska punkter Linjarisering av icke-linjära autonoma sstem f runt kritisk punkt Inofficiella mål Fasplansmetoen Polära koorinater Liapunovs anra meto. Det är bra om u M1 kan beräkna kritiska punkter till en autonoma ekvationen f genom att ställa upp f, och lösa etta sstem av icke-linjära ekvationer. M2 vet att en kritisk punkt kallas för stabil om et för varje ɛ > finns ett δ > så att för varje som uppfller < δ så kommer lösningen till f me uppflla t < ɛ för alla t, vill man me sin lösning befinna sig ɛ-nära en kritiska punkten så kan etta allti uppfllas genom att starta δ-nära. Ett annat sätt att formulera etta är att lösningen stannar gotckligt nära k.p. om man börjar tillräckligt nära en k.p. M3 vet att en kritisk punkt som inte är stabil kallas för instabil. M4 vet att en asmptotiskt stabil kritisk punkt är en punkt som är stabil samt uppfller att et finns en cirkelskiva runt så att alla lösningar t till f som börjar i enna cirkelskiva uppfller lim t t, vs. lösningen sugs in i en kritiska punkten. M5 kan linjarisera icke-linjära autonoma sstem kring kritiska punkter genom att ansätta avvikelsevariabeln och me hjälp av Talorutveckling få att f 1 zt t 2 z t t f f + f zt + h.o.t f zt, 3 uner antaganet att vi håller oss nära en kritiska punkten. Motsvarane linjära sstem nära punkten ges alltså av z t f zt z Az 4 är A f är matrisen av alla partiella erivator av f även kalla Jakobianen av f som skrivs Jf evaluera i. Formeln för enna är [ f ] i,j f i j f ra nr kol nr kritiska punkten. 5 Notera att et blir ett linjärt sstem för varje kritisk punkt. Institutionen för matematik, KTH, SE-1 44, Stockholm, Sween aress: karljo@kth.se. Date: 1 oktober

2 2 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF M6 vet att stabilitetsegenskaper instabil, asmptotiskt stabil för et icke-linjära sstemet f 6 kring kritiska punkter kan analseras me hjälp av et linjariserae sstemet zt t z f z 7 och slutsatsen kan överföras till en icke-linjära ekvationen i alla fall utom för så kallae centrum rent imaginära egenvären för Jf eller om etjf. I essa specialfall så ger et linjära sstemet ingen information angåene stabilitet för et ursprungliga icke-linjära sstemet. M7 vet att man kan försöka bta till polära koorinater för att analsera stabilitet av en kritisk punkt om linjarisering inte ger någon information. Kan använa sambanen r , r cosθ och r sinθ, samt rr +. M8 vet att u kan använa fasplansmetoen för att försöka karaktärisera lösningskurvor till plana autonoma sstem: givet skriv F, 8 G, 9 /t G, /t F,, 1 och om enna ekvation är separabel så kan u försöka att skriva upp lösningskurvornas implicita form och analsera essa. T.e. G 2, F 2 så blir ekvationen 2 2 alltså C, stabilt sstem. M9 givet et plana autonoma sstemet F, 11 G, 12 vet att u kan försöka söka efter en Liapunov-funktion V : D R till sstemet för att unersöka stabilitet, är D är en omän i R 2 som innehåller origo. Dvs. finna en funktion V som uppfller a V är C 1 i D: alltså ha partiella erivator som är kontinuerliga, b V är positivt efinit: V, samt V, > för alla, D så att,,. c Den totala erivatan V tv t, t givet av V, V V, F, +, G, 13 är negativt efinit V, och V, < för alla, D så att,,. Om en såan funktion finns, å är origo en asmptotisk stabil kritisk punkt för et icke-linjära sstemet. Om alla villkor gäller men V enast är negativt semefinit vs vi kan enast garantera V,, inte V, < för,, å är origo åtminstone en stabil kritisk punkt. M1 vet att om et finns V C 1 som är positiv någonstans i gotcklig omgivning av origo samt V är positivt efinit, å har vi en instabil kritisk punkt i origo. Obs! Detta är ett försök att brta ne kursmålen i minre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka. U1 Betrakta ekvationen a Eempel och uppgifter t

3 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF b c t t t Bestäm kritiska punkter och avgör om möjligt stabilitet och tp av essa. Rita. I första ekvationen, Jacobi-matrisen blir Dvs i olika punkter i fasplanet så ges et lineariserae sstemet av olika matriser. I en kritiska punkten 1/ 5, 1/2 blir matrisen Eftersom spåret är och eterminanten är negativ så kommer et linjära sstemet beskriva en saelpunkt, vilken är instabil. Denna tp av punkt för et lineariserae sstemet ger oss information om et icke-linjära sstemet: en kritiska punkten 1/ 5, 1/2 är en instabil saelpunkt för et icke-linjära sstemet t För en k.p. 1/ 5, 1/2 så kommer matrisen att beskriva ett så kallat centrum. Dvs et linjära sstemet beskrivs av 2 2, 21 5 me rent komplea egenvären. Det linjära sstemet är sålees stabilt. MEN: enna slutsats går ej att överföra på et icke-linjära sstemet me enna meto. Alltså: enna anals ger oss ingen information va för tp av kritisk punkt 1/ 5, 1/2 är för et icke-linjära sstemet. Anra sstemet Förta ekvationen ger att 2 eller. Om 2 så insatt i anra ekvationen får vi vi att 2. Alltså k.p. -2,2. Om så insatt i anra ekvationen så får vi 3 2. Alltså 3 eller. Alltså k.p., och 3, 3. Vi ska erivera vilket ger Jacobimatrisen

4 4 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Sätt in värena för e kritiska punkterna 2, 2,, samt 3, 3 och bestäm egenvären för att avgöra stabilitet. Det blir alltså tre olika matriser. I, får vi t.e är egenvärena är 1 2 ± 1/4 12 alltså egenvären me två olika tecken. Instabil sael-punkt. U2 Betrakta t , 27 Visa att, är en kritisk punkt. Skriv upp motsvarane linjära sstem. Bestäm karaktär för en kritiska punkten. Kommer alla lösningar som startar nära origo bli obegränsae? Här kommer lineariseringen kring bli Spåret är 2 och eterminanten är 2. Egenvärena blir 1 ± ± i. Detta beskriver en instabil no. Detta beteene kommer även att beskriva en kritiska punkten för et icke-linjära sstemet. Men är et så att, kommer att väa obegränsat å t. Svaret är nej! Bt till polära koorinater genom att använa formeln rr + och få att rr r 2 r 4 3 alltså r r1 r1 + r. 31 Va har enna ekvation för kritiska punkter? Det är en autonom första orningens ekvation. Va häner me olika startvären r i olika elar av en reella halv-aeln,? Om r stort så kommer erivatan vara negativ, alltså kommer raien att minska. Om r är nära så kommer erivatan att vara positiv och raien kommer att öka. Om r 1 va häner me erivatan? Den är. Alltså r blir konstant. Alltså lösningen måste ligga kvar på en cirkel. Slutsats, bara för att något är instabilt så beter etta inte növänigtvis att lösningen blir obegränsa. För fullstänighets skull. När vi går över till polära koorinater så måste vi få fram en ifferentialkvation för vinkeln θ θt för att få sstemets fullstäniga beskrivning. Vi har att θ arctan 32 i alla fall å, är i första kvaranten av fasplanet alltså θ enna formel gäller generellt för alla kvaranter. I vårt fall / θ Alltså hela sstemet i polära koorinater är r r1 r1 + r 35 θ 1 36 Säg att vi börjar me r 1 å kommer rt 1 för alla t och vinkeln beskrivs av ifferentialekvationen θ 1, alltså θt t + θ, etta beter att vinkelhastigheten är konstant och att lösningen kommer att åka som en cirkel mesols. För vären på r större än 1 så kommer lösningen

5 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF att åka som en spiral, mesols, in mot cirkeln me raien r 1. Om < r < 1 så kommer vi att närma oss samma cirkel på ett mesols-sätt fast inifrån. Cirkeln är en så kallae gräns ckel, en stabil såan i etta fall. U3 Betrakta e två icke-linjära sstemen t , t Visa att för så är e motsvarane linjära sstemen så kallae centrum. Visa att anra sstemet är asmptotiskt stabilt och första är instabilt genom att ansätta polära koorinater. Tips: r ger rr +. Multiplicera övre ekvationen me och unre me. Aera ekvationerna, bore få r r 3 i övre ekvationen och r r 3 i en unre. Slutsats? Va säger etta om huruvia man kan överföra information om et linjariserae sstemet till et icke-linjära sstemet? Vi ser alltså att för en övre ekvationen så kommer raierna att uppflla r r 3, vs om r är positiv vilket et kommer att vara om vi inte börjar i en kritiska punkten så kommer erivatan av r vara positiv, r 3 > om r >. Alltså så länge raien är positiv så kommer en att väa hela tien, alltså måste raien för lösningen t vara en väane, alltså kan punkten inte vara stabil, vs instabil punkt. För et anra fallet så kommer raiens erivata r att vara negativ, vs kommer att avta hela tien, alltså kommer lösningen att åka in i origo, vs en asmptotiskt stabil punkt. Detta eempel visar att om en kritisk punkt har en linearisering som ger en matris som är ett centrum stabil så ger etta ingen information om et icke-linjära sstemet. Dvs för att förstå enna kritiska punkt behövs anra metoer. U4 Betrakta a + 2 3, b m + k + k 1 3, k >, va häner för olika tecken på k 1? c + ɛ, ɛ >, ɛ 2, e mu + cu + ku, m, c, k >. f mu + cuu + u, är cu. Skriv om som sstem. Bestäm kritiska punkter. Linjarisera och se vilka slutsatser som kan ras. Om ingen information, testa fasplansmetoen. Annars Liapunovs anra meto. Första uppgiften. Detta är ett eempel på ett sstem som beskriver en icke-linjär fjäer, jämför me ekvationen m +c +k gt som är ekvationen för massa m fastspän i en linjär fjäer k som är ämpa c och rivs av en inhomogen term g. Vi gör omskrivningen till ett sstem på stanar-sättet genom att ansätta och får att alltså u 39 v 4 u v 41 v 2 3 2u 3 42 u v 43 v 2u 3 44

6 6 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF vilket är ekvationen skriven som ett sstem. Det är klart att punkten u, v, är en ena kritiska punkten. Linjariserar vi så ser vi att motsvarane linjära sstem blir z 1 z 45 en matris me egenvären λ. Realelen är noll, alltså säger linjariseringen inget om et ickelinjära sstemet. För att förstå etta sstem så skulle vi kunna använa fasplansmetoen. Vi får att vilket vi skriver om som u v u/t v/t v 2u u 3 u v v 47 och integrerar till eller 1 2 u v2 C 48 u 4 + v 2 B 49 för någon konstant B 1. Detta innebär att lösningarna till sstemet måste uppflla etta samban i uv-fasplanet för alla t. Alltså ut 4 + vt 2 B för alla t. Frågan är nu om etta kan hjälpa oss att svara på frågan angåene stabilitet? Polära koorinater? rr uu + vv uv 2vu 3.5r 2 sin2θ1 2r 2 cos 2 θ samt θ u v uv /r 2 v 2 + 2u 4 /r c 2 + c 4 VARNING. LÄS INTE DETTA. RISK FÖR HJÄRNBLÖDNING.Vi kan försöka göra etta noggrant. Stabilitet innebär, enligt efinition, att givet gotckligt ɛ > så finns δ > så att om en lösning börjar inom avstånet δ från en kritiska punkten origo i etta fall så kommer sstemet som mest avvika ɛ från en kritiska punkten. Vi kan tänka i ingenjörstermer. ɛ är en specificera tolerans, säg 1 3 : någon har bestämt att lösningen till sstemet absolut inte får avvika från kritiska punkten me mer än 1 3 enheter av något slag...! Frågan är å om et är möjligt för oss att starta δ-nära en kritiska punkten så att vi ser till att etta villkor är uppfllt?! Kan vi göra etta för sstemet ovan. Säg att ɛ är fierat nu, större än. Och att vi har en startpunkt u, v. Då måste vi ju ha att B B u 4 + v2. Alltså gäller för alla t att ut 4 + vt 2 u 4 + v 2. 5 Va vi vill garantera är ju nu att vi kan hitta ett δ > så att ut 2 + vt 2 < ɛ för alla t om et är så att u 2 + v2 < δ notera här att et är u2 och inte u 4 me i essa uttrck, varför?. Eller på mattelingo: kan vi kontrollera uttrcket ut 2 + vt 2 framtia vären för sstemet om vi har kontroll på u 2 + v2 startväret för sstemet. Vi kan göra så här, skriva om et som ett optimeringsproblem me bivillkor är vi kastar bort rotuttrcket för tillfället och för in etta i slutet av analsen, ma u 2 + v 2 51 u 4 +v 2 B 1 uttrcket u 4 + v 2 är en så kallae integral of the motion/first integral inom mekaniken, vs en storhet som beror på sstemets parametrar som är konstant uner sstemets tisevolution.

7 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF som kan lösas me metoer från flervariabelanalsen, säg me Lagranges meto. Lagrangefunktionen är Lu, v, λ u 2 + v 2 + λu 4 + v 2 B och i ett optimum så måste L, alltså 2u + 4λu 3, 52 2v + 2λv, 53 u 4 + v 2 B 54 Från anra ekvationen får vi att om v så blir λ 1, första ekvationen blir å u1 + 2u 2 alltså u är ena reella lösningen. Sista ekvationen blir å v ±B 1/2, alltså punkterna, ±B 1/2, väret för målfunktionen i essa punkter blir B. Om v så får vi ur sista ekvationen u ±B 1/4 alltså punkterna ±B 1/4, me väre för målfunktionen blivanes B 1/2. Vilket av målfunktionsvärena blir minst? Det kommer att bero på väret av B : om B > 1 så är B 1/2 minst, om B < 1 så är B minre än B 1/2. Vi kan ra slutsatsen att ut 2 + vt 2 mab, B 1/2 55 uner antaganet att ut 4 + vt 2 B u 4 + v2. Kvar att visa är att uttrcken B och B 1/2 kan kontrolleras mha u 2 + v2. Detta blir ett optimeringsproblemet ma u 4 u 2 + v v2 δ2 Inre stationära punkter är enast,, målfunktionen är här. På ranen u 2 + v2 δ2 använer vi Lagranges meto 4u 3 + 2λu, 57 2v + 2λv, 58 u 2 + v 2 δ 2 59 Vi får e fra punkterna ±δ, samt, ±δ me målfunktion δ 4 resp. δ 2. Alltså har vi att Olikheterna vi har kommit fram till ger oss att B u 4 + v 2 maδ 4, δ 2. 6 ut 2 + vt 2 mab, B 1/2 mamaδ 4, δ 2, maδ 4, δ 2 1/2 61 mamaδ 4, δ 2, maδ 2, δ 62 maδ, δ 2, δ 4 63 maδ, δ 4 64 Vi använer nu att är en väane funktion och får slutligen ut 2 + vt 2 maδ, δ Alltså om vi nu väljer δ så att maδ, δ 4 < ɛ så skulle olikheten ovan kunnas skrivas om till ut 2 + vt 2 maδ, δ 4 < ɛ 66 vilket skulle gälla för alla t och vi skulle ärme vara klara. Själva villkoret för δ, som alltså blir beroene av ɛ blir å att se till att uppflla följane maδ, δ 4 < ɛ 2 67 å ɛ är givet. Då funktionen gδ maδ, δ 4 är kontinuerlig och går mot å δ rita gärna enna funktion så kan vi garantera att vi allti kan uppflla villkoret. Slutsats, en kritiska punkten är stabil. Är en asmptotiskt stabil? Nej, t om u 4 + v 2 B för alla t så är et omöjligt för u och v att konvergera mot samtiigt. Alltså, vår kritiska punkt är stabil, men inte asmptotiskt stabil.

8 8 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Anra uppgiften: en generalisering av första Bore gå att göra på samma sätt som första. Hör av ig om u vill iskutera lösning. U5 Betrakta a b t t Visa att, är en kritisk punkt. Linjarisera och se va man kan ra för slutats om stabilitet. Försök finna en Liapunov-funktion till sstemet på formen V, a 2 + c 2. Visa att, är en asmptotiskt stabil kritisk punkt för et övre fallet. Visa att i et anra fallet så är, åtminstone en stabil kritisk punkt. Givet ansatsen så har vi rean att vår kaniatfunktion V, a 2 + b 2 är C 1 och positivt efinit om a och b är >, vs et är alltså en bra ansats eftersom vi uppfller två av villkoren irekt i och me ansatsen. Vi tänker nu på a och b som esignparametrar och försöker välja essa så att funktionen V blir negativt efinit helst, för å kan vi ra slutsatsen att en kritiska punkten är asmptotisk stabil, om vi bara lckas esigna et så att V blir negativt semiefinit så kan vi iaf säga att en kritiska punkten är stabil. Vi får att V 2a b a 4 2a 4 + 4a b Vi ser nu att e två första termerna allti kommer att bira till att V blir negativ, etta är bra, vs et vi är ute efter. Den sista termen skulle kunna ställa till et för oss om a är större än b, för i etta fall kommer en sista termen att bira me positiva tal, vilket inte är bra för oss, t vi vill ju att V ska vara negativt efinit. Alltså vi väljer b > a, alltså b 2 och a 1 fungerar. EN Liapunovfunktion blir sålees V Även valet a b 1, me Liapunovfunktion V 2 + 2, kommer att ge oss att V blir negativt efinit. Eftersom vi funnit åtminstone en Liapunovfunktion me V negativt efinit så kan vi ra slutsatsen att en kritiska punkten, är en asmptotisk stabil kritisk punkt för et icke-linjära sstemet t I uppgift b så kommer ansatsen att lea fram till et naturliga valet att a b, men V 4 4 i etta fall. Vi ser alltså att V, 13, sålees är V ej negativt efinit, en är enast negativt SEMIefinit. Slutsatsen vi kan ra från etta är alltså att, är en stabil kritisk punkt för sstemet i b. Fråga: vet vi att punkten ej är asmptotisk stabil? Vi kan inte uttala oss om svaret på enna fråga från unersökninen ovan, alltså: et skulle kunna vara så att, är asmptotisk stabil, men vi vet för närvarane enast att en är stabil. Vi kan alltså säga att, åtminstone är stabil. U6 Betrakta u t + gut 72 är g är kontinuerlig me g samt u gu > för u [ k, k] \ {}, är k är ett positivt tal.

9 ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Skriv om enna ekvation som ett sstem, visa att, är en kritisk punkt. Låt V efinieras genom V, : ˆ gs s, [ k, k]. 73 Visa att V är positivt efinit och V negativt semiefinit. Dra slutsatsen att, är en stabil kritisk punkt. Vi skriver om som ett sstem me ut och u t och får t g. 74 Bra att göra först i enna uppgift är att försöka förstå hur funktionen g kan se ut. Vi har abstrakta villkor på g som många olika funktioner uppfller. Personligen tcker jag att et är bäst att skaffa sig en geometrisk/bilbasera tolkning av villkoren på funktionen g. a g ska vara kontinuerlig g ska gå att rita utan att lfta pennan från pappret b g grafen till g ska gå genom origo. c tgt > grafen till g måste allti vara strikt positiv om t > och strikt negativ om t <. Vi ska visa att V ovan är en Liapunovfunktion. Vi ska kolla tre saker i V ska vara C 1 : Partiella erivatorna blir enligt analsens huvusats samt V V g Är essa funktioner kontinuerliga? Ja, speciellt en första eftersom etta kommer från villkoret på funktionen g. Klart. ii V ska vara positivt efinit. Är V,. Ja, eftersom integralen över en punkt allti är. Den första termen 2 /2 kommer allti att bira me positiva vären för. Så et vi behöver övertga oss om är att en anra termen ˆ gs s 77 allti birar me positiva vären å. Säg att är positiv. Och tänk på hur grafen till funktionen g ser ut. Då har vi alltså tagit arean uner en graf från till är grafen g är strikt positiv. Alltså måste en såan area vara strikt positiv. Bra. Va häner nu om är negativ. Då blir integralen, tänk att 3, ˆ 3 gs s. 78 Men blir inte enna strikt negativ eftersom grafen till g är strikt negativ? Nästan, vi måste också ta hänsn till att integralgränserna står åt fel håll, vilket introucerar ett etra minustecken. Alltså vilket meför ˆ 3 ˆ 3 gs s < 79 gs s >. 8

10 1ÖVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Bra, å är alltså V positivt efinit. 2 iii V ska vara negativt efinit asmptotisk stabil punkt alternativt negativt semiefinit åtminstone stabil k.p. Vi beräknar V, V F + V G g + g. 83 och V, men V 1,, alltså är V enast negativt SEMIefinit och vi kan ra slutsatsen att en kritiska punkten, åtminstone är en stabil kritisk punkt till sstemet. 2 För en som inte nöjer sig me ett geometrisk argument så kan vi göra et lite mer stringent på följane sätt. Vi ser att gs s för alla me samma argument som innan. Men tänk om et finns så att enna integral blir. Antag att et finns ett såant >. Alltså ˆ gs s. 81 Enligt villkoret på g så gäller att g > alltså g >. Kalla g δ. Eftersom g är kontinuerlig så måste et finnas ett tal η så att för alla s [ η, + η] så gäller att gs > δ/2. Vi väljer också η > så litet att η >. Nu kan vi få följane motsägelse ˆ gs s ˆ η gs s ˆ η δ 2 s 1 2 ηδ 1 ηδ >, 82 2 vilket visar att et inte finns någon såan punkt. Stegen i kejan följer av: antagane, integralen av en positiv integran minskar om integrationsintervallet blir kortare, egenskap av funktionen g på et givna intervallet, beräkna integral, förenkling samt egenskap hos η och δ.