15. Ordinära differentialekvationer

Transkript

1 Orinära ifferentialekvationer Inlening Differentialekvationer är en gren inom matematiken som beskriver en värl vi lever i bäst. Såana ekvationer kan beskriva matematiska moeller för många problem inom teknik, natur- och samhällsvetenskaplig forskning. Ofta söker man beskriva förlopp, vs man vill bestämma hur en viss storhet, t.ex läget hos en partikel, massan hos en kropp, formen av en växt eller en nations bruttonationalproukt, föränras me tien. Dessa egenskaper kan ofta formuleras som samban mellan en funktion och ess erivator. Differentialekvationer är alltså uppbyga av termer som innehåller erivator av någon funktion, t.ex y (x), funktionen själv y(x) och en oberoene variabeln x för läget eller t för tien. Vi ger några exempel. Exempel Raioaktivt sönerfall: Låt m = m(t) vara mängen av ett raioaktivt ämne efter tien t och m 0 = m(0). Ämnet sönerfaller på så sätt att minskningen m = m(t + t) m(t) uner ett tisintervall t från t till t + t är proportionell mot t och m(t), vs m = m(t + t) m(t) = k m(t) t, är k är en positiv konstant. Om vi ivierar me t och låter t 0, får vi m (t) = k m(t) k > 0. (15.2) Vi ser alltså att funktionen m(t) uppfyller ifferentialekvationen (15.2). Dessutom löser m(t) begynnelseväresproblemet { m (t) + k m(t) = 0 m(0) = m 0 Exempel Populations tillväxt: Om antalet bakterier y(t) vi tien t i en näringslösning ökar me en hastighet som är proportionellt mot antalet bakterier y(t) vi tien t så ges en matematisk moell för etta av Jämför enna moell me en i (15.2). y (t) = k y(t), k > 0. (15.3) Exempel Logistisk tillväxt: Moellen i (15.3) i Exempel 15.2 är naturligtvis orealistisk å resurser i form av t.ex föa och utrymme är begränsae. Detta sätter ett tak för populationens storlek, y(t) M. På grun av konkurrens är et rimligt att anta att även tillväxten är proportionell mot M y(t). Detta ger att y (t) = k y(t)(m y(t)), vs y (t) k M y(t) + k y 2 (t)) = 0. (15.4)

2 ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER Exempel Newtons avkylningslag säger att hastigheten me vilken en varm kropp svalnar är proportionell mot skillnaen i temperatur mellan kroppen och omgivningen. Antar vi att y(t) är kroppens temperatur vi tien t och att y 0 är omgivningens temperatur så gäller alltså att y (t) = k (y(t) y 0 ), k > 0. (15.5) Exempel (Blanningsproblem): Antag att vi har två kärl I och II som rymmer M 1 liter respektive M 2 liter. Till kärl I tillförs α liter rent vatten per minut (l/m) och β l/m rinner över till kärl II. Från kärl II rinner γ l/m tillbaka och α l/m rinner bort. Kärl I innehöll i startögonblicket A kg salt löst i vattenet mean kärl II innehöll rent vatten. Om y 1 (t) och y 2 (t) är mängen salt i kärl I resp. kärl II, så får vi följane matematisk moell: y 1(t) = β y1(t) + γ y2(t) M 1 M 2 y 2(t) = β y1(t) (α + γ) y2(t) M 1 M 2 är y 1 (0) = A och y 2 (0) = 0. För att upprätthålla samma mäng i kärlen kräver vi att α + γ = β. Allmänt gör vi följane efinition: Definition Vi säger att ekvationen a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 2 (x)y (x) + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = h(x), (15.6) är en orinär, inhomogen, linjär ifferentialekvation av n-te orningen. Ekvationen är 1. orinär för att lösningsfunktionen y är funktion av enast en variabel; här x. 2. inhomogen om h 0 och homogen om h = linjär eftersom varje term innehåller högst en faktor y k, k = 0,1,2,...,n. 4. av n-te orningen eftersom högsta orningen erivata som förekommer i ekvationen är av orning n. Me en lösning till ifferentialekvationen (15.6) menas en funktion y som är efiniera på ett intervall och som på hela etta intervall uppfyller ifferentialekvationen (15.6).

3 15.1 Inlening 155 Låt oss titta på begreppet linjär lite närmare: Definition En funktion F säges vara linjär om 1. F är aititv om F(y 1 + y 2 ) = F(y 1 ) + f(y 2 ) 2. F är homogen om för varje konstant λ gäller F(λy) = λf(y). Exempel Vi ger några exempel på linjära och icke linjära funktioner: 1. Funktionen F(y) = ky, är k är en konstant, är linjär, ty (a) F(y 1 + y 2 ) = k(y 1 + y 2 ) = ky 1 + ky 2 = F(y 1 ) + F(y 2 ). (b) F(λy) = k(λy) = λ(ky) = λf(y). 2. För ett fixt x är funktionen F(y) = y + g(x)y linjär, ty 1. F(y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 ) + g(x)(y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 + g(x)y 1 + g(x)y 2 = (y 1 + g(x)y 1 ) + (y 2 + g(x)y 2 ) = F(y 1 ) + F(y 2 ). 2. F(λy) = (λy) + g(x)(λy) = λ(y + g(x)y) = λf(y). 3. Funktionn F(y) = yy är inte linjär, ty F(y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2 )(y 1 + y 2) = y 1 y 1 + y 1y 2 + y 2y 1 + y 2y 2 y 1y 1 + y 2y 2 = F(y 1) + F(y 2 ). 4. Funktionen F(y) = y (t) k M y(t)+k y 2 (t) som förekommer i moellen om logistisk tillväxt är inte linjär. 5. Polynom av högre gra än 1, trigonometriska funktionerna, arccusfunktionerna, exponentialoch logaritmiska funktionerna är icke linjära.

4 15616 FÖRSTA ORDNINGENS ORDINÄRA LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER 16. Första orningens orinära linjära ifferentialekvationer Definition En första orningens linjär ifferentialekvation är en ekvation på formen y + g(x)y = h(x). (16.2) Ién att lösa ekvationen i (16.2) hämtar vi från följane exempel. Exempel Lös ifferentialekvationen e sin x y + cos xe sin x y = 1.

5 16.1 Metoen me integrerane faktorn Metoen me integrerane faktorn Problem: Lös ekvationen i (16.2), vs y + g(x)y = h(x). (16.3) Ié: Låt G(x) vara en primitiv funktion till g(x). Multiplicera båa leen i ekvation (16.3) me en integrerane faktorn e G(x) : e G(x) y + g(x)e G(x) y = h(x)e G(x). (16.4) Eftersom vänstra leet i ekvation (16.4) är erivatan av en proukt: kan ekvation (16.4) nu skrivas: e G(x) y + g(x)e G(x) y = ( ) e G(x) y ( ) e G(x) y = h(x)e G(x). Vi integrerar båa leen och får: ( ) e G(x) y = h(x)e G(x), vs e G(x) y = h(x)e G(x) + C. Nästa steg är att lösa ut y i vänstra leet: y = Ce G(x) + e G(x) h(x)e G(x). Exempel Lös begynnelseväresproblemen 1. y + (1 + 2x)y = e x2, y(0) = xy y = x 3, y(1) = (x 2 + x)y y = 1, lim y(x) = 1. x

6 SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER 17. Separabla ifferentialekvationer Ekvationen (15.4) i Exempel (15.3) är förvisso av första orningen men en är inte linjär, ty funktionen F(y) = y (t) k y(t)(m y(t)) = y (t) km y(t) + y 2 (t) är inte linjär och ärme kan metoen me integrerane faktorn ej använas. Definition En ifferentialekvation på formen säges vara separabel. g(y)y (x) = h(x) (17.2) Följane exempel visar ién hur man ska lösa separabla ifferentialekvationer av typen (17.2). Exempel Lös ekvationen e y y = 1, y(0) = 1. (Icke linjär som inte kan lösas me I.F.)

7 159 Problem: Lös ekvationen i (17.2), vs g(y)y (x) = h(x). (17.3) Ié: Om G är en primitiv funktion till g så gäller enligt kejeregeln att och å kan vänstra leet i (17.3) skrivas: g(y)y (x) = G(y(x)), G(y(x)) = h(x). Integrerar vi me avseene på x och antar att h har en primitiv funktion H så får vi G(y(x)) = h(x) G(y(x)) = H(x) + C. Detta betyer att vi formellt skulle kunna ela på y, vs y, så att vi separerar variablerna x och y enligt nean: g(y)y (x) = h(x) g(y) y = h(x) g(y)y = h(x). Vi integrerar varje le me avseene på respektive variabel: g(y)y = h(x) G(y(x)) = H(x) + C. Exempel För ekvationerna i Exempel 16.3 är y +(1+2x)y = e x2 och 2xy y = x 3 ej separabla och (x 2 + x)y 1 y = 1 separabel, ty en kan skrivas 1 + y y = 1 x 2 + x. Exempel Lös ekvationerna a) yy = x 3 b) y = y 2 3y + 2.