MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

Transkript

1 MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE,.0hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil 1. Separera 1 x yy' 2. (1p) Del A 10 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Ok! a 2 y y x 1 1 x C 1 b y 1 y 2 x x C 1 c y y 2 1 x 1 x C 1 d 2y 1 y 1 x 1 x C 1 2. Lös differentialekvationen y' y x 2 y. (1p) Lösningsförslag: Denna är separabel, ty vi har att y' y x 2 y y' y 1 x2 1 y y 1 x 2 x C 1 ln y x 1 3 x3 C 1 y x x 1 3 x3 C 1 y x C 1 x 1 3 x3, men det går också bra att betrakta den som linjär y' y x 2 y y' 1 x 2 y 0 med 1 x2 x x 1 3 x3 så x x 1 3 x3 y x 1 3 x2 0 y x C 1 x 1 3 x3. DSolve y' x y x x 2 y x, y x, x Simplify y x c 1 x3 3 x a y x C 1 x x2 b y x C 1 x x c y x C 1 x x2 d y x C 1 x x 3. Lös differentialekvationen cos 2 x y' y 2. (1p) Lösningsförslag: Separabel; cos 2 x y' y 2 y' 1 y 2 1 y x C y 2 cos 2 x cos 2 1 y x 1 tan x C x 1. DSolve Cos x 2 y' x y x 2,y x, x y x 1 c 1 tan x a y x 1 tan x C 1 b y x ln sin x C 1 c y x 1 tan x C 1 d y x ln cos x C 1. Lös differentialekvationen y' y 2. (1p) Lösningsförslag: Exempelvis linjär med 1 x x så x x y x 2 Separabel x y 2 x x C 1 x y 2 x C 1 y 2 C 1 x. Naturligtvis är den också separabel y' y 2 ln 2 y x C 1 2 y x C 1 y C 1 x 2. DSolve y' x y x 2, y x, x 1 2 y y x C 1 y x c 1 x 2 a y x 1 2 x C 1 b y x 1 2 C 1 x c y x C 1 x 1 2 Rätt svarsalternativ: d d y x 2 C 1 x 5. Lös differentialekvationen y' 1 y x. (1p) x Lösningsförslag: Linjär; 1 x x ln x x 1 så x 1 y x 1 1 x C 1 x 1 y x0 1 C 1 y x x 2 C 1 x. 1

2 DSolve y' x 1 y x x, y x, x x y x c 1 x x 2 Rätt svarsalternativ: a a y x C 1 x x 2 b y x C 1 x x 2 c y x C 1 x 2 x d y x C 1 x 2 x 6. Lös differentialekvationen y' y x. (1p) Lösningsförslag: Linjär; 1 x x så x y x x x C 1 x y 1 2 2x C 1 y x 1 2 x C 1 x. DSolve y' x y x x,y x, x Simplify y x c 1 x x 2 a y x 1 2 x C 1 x b y x 1 2 2x C 1 x c y x 1 2 x C 1 x d y x 2x C 1 x 7. Lös differentialekvationen y' 2 y 2x. (1p) Lösningsförslag: Linjär; 2 x 2x så 2x y 1 x C 1 2x y x C 1 y 2x x C 1. DSolve y' x 2y x 2x,y x, x FullSimplify y x 2 x c 1 x a y x C 1 2x x b y x 2x C 1 x c y x C 1 x 2x d y x C 1 2x 1 2 x2 8. Lös differentialekvationen y'' y' 0. (1p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 r 0 har rötterna r 1 0 och r 2 1 så vi har homogena lösningen enligt "Fall 1": y h x C 1 0 x C 2 1 x. Men y p x 0, så y x y h x y p x C 1 C 2 x. DSolve y'' x y' x 0, y x, x y x c 1 x c 2 Rätt svarsalternativ: d a y x x C 1 cos x C 2 sin x b y x x C 1 C 2 x c y x C 1 x C 2 x d y x C 1 C 2 x 9. Ansätt en partikulärlösning till y'' 2y ' 5 y cos 2x. (1p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 2r 5 0 har rötterna r 1,2 1 2 så vi har homogena lösningen enligt "Fall 3": y h x x C 1 cos 2x C 2 sin 2x. Sedan y p x Acos 2x Bsin 2x y h x. Så hela sagan DSolve y'' x 2y' x 5y x Cos 2 x, y x, x FullSimplify y x x c 1 sin 2 x c 2 cos 2 x 1 sin 2 x cos 2 x 17 Rätt svarsalternativ: a a y p x Acos 2x Bsin 2x b y p x Acos 2x c y p x x Acos 2x Bsin 2x d y p x Axcos 2x 10. Lös differentialekvationen y'' y' y x. (1p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 r 0 har dubbelroten r 1,2 2 så vi har homogena lösningen enligt Fall 2 : y h x 2x C 1 x C 2. Eftersom högerledet är ett polynom av grad ett ansätter vi y p x Ax B y h x. Sätt in i (ODE) och identifiera koefficienter; 0 A Ax B x x 0 :A B, x 1 :A A 1, B 0. Så lösningen till (ODE) y x y h x y p x 2x C 1 x C 2 x. En sista ängslig test DSolve y'' x y' x y x x, y x, x FullSimplify y x 2 x c 2 x c 1 x 2

3 a y x 2x C 1 x C 2 x 1 b y x 2x C 1 x C 2 x c y x C 1 x C 2 2x x 1 d y x 2x C 1 cos x C 2 sin x x Antalet bakterier på ett julbord tillväxer vid varje tidpunkt med en hastighet som är omvänt proportionell mot antalet bakterier med proportionalitetskonstanten k. Låt b t vara antalet bakterier vid tiden t. Formulera och lös BVP om b 10 då t 0. 1p Del B 10 poäng med fokus på modellering och Mathematica. Lösningsförslag: Det är bara att översätta beskrivningen i texten bavt DSolve b' t k,b 0 10, b t, t b t b t 2 kt 50 a bavt DSolve b' t k b t, b 0 10, b t, t b bavt DSolve b' t 1 k b t, b 0 10, b t, t c bavt DSolve b' t k b t, b 0 10, b t, t d bavt DSolve b' t kb t, b 0 10, b t, t Rätt svarsalternativ: a En patient tillförs glukos blodsocker till blodet genom så kallat dropp med konstant flöde 20 mg dag. Glukosen omsätts ut i kroppen med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd glukos i blodet med proportionalitetskonstanten k dag 1. Läkaren är intresserad av mängden glukos i blodet som funktion av tiden, s t. 12. Formulera och lös (BVP) om mängden glukos var 1 mg från början. (1p) Lösningsförslag: Det är bara att översätta beskrivningen i texten med sockermassans oförstörbarhet. savt DSolve s' t 20 s t, s 0 1, s t, t Simplify s t 5 t a savt DSolve s' t 20 s t, s 0 1, s t, t b savt DSolve s' t 20 s t, s 0 1, s t, t c savt DSolve s' t 20 s t, s 0 1, s t, t d savt DSolve s' t 20 s t, s 0 1, s t, t 13. Hur stor är glukosmängden efter 1 dag? (1p) Lösningsförslag: Vi söker tydligen s 1. savt. t 1 s 1 5 a savt 1 b savt ; t 1 c savt. t 1 d savt 1 1. Hur länge dröjer det innan glukosmängden har ökat till 3 mg? (1p) 3

4 Lösningsförslag: Restiden t till 3 mg bestäms av ekvationen s t 3. Solve s t 3. savt, t, Reals t log 2 a Solve s t 3, t. savt b Solve s t. savt 3, t c Solve savt 3, t d Solve savt t 3, t 15. Vilken är den högsta mängd glukos patienten kan ha i blodet enligt denna modell? (1p) Lösningsförslag: Gränsvärdet blir lim t s t. Inses också direkt av (ODE) eftersom i gräns gäller s' 0 savt. t s 5 a savt. t b Limit savt, t c savt ; t Limit d savt Rätt svarsalternativ: a 16. Rita s t, t 0, 2 i rött. Pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Rita på! Plot s t. savt, t, 0, 2, PlotStyle Red, PlotRange All, s t mg t dagar a Plot savt, t, 0, 2, PlotStyle Red, PlotRange All, b Plot s t. savt, t, 0, 2, PlotStyle Red, PlotRange All, c Plot savt t, t, 0, 2, PlotStyle Red, PlotRange All, d Plot savt t, t, 0, 2, PlotStyle Red, PlotRange All, För att välja rätt skidvalla genomför många skidåkare glidprov, vilket innebär uppmätning av glidsträcka med känd utgångshastighet. Vid ett prov gav utgångshastigheten 6 m s glidsträckan 30 m. Antag att den enda kraften som verkar i rörelseriktningen är den bromsande friktionskraften som är proportionell mot både friktionskoefficienten Μ och ekipagets tyngd. Använd Newtons accelerationslag mx F med g 10 m s 2 för att bestämma Μ. 17. Formulera och lös (BVP) som beskriver rörelsen. (1p) Lösningsförslag: Newton och problemtexten möblerar (BVP). xavt DSolve m x'' t Μm 10, x 0 0, x' 0 6, x t, t First x t 6 t 5 Μ t 2

5 a xavt DSolve 10 m x'' t Μm, x' 0 6, x t, t First b xavt DSolve m x'' t Μm10, x' 0 6, x t, t First c xavt DSolve m x'' t m10 1 Μ,x' 0 6, x t, t First d xavt DSolve m x'' t m10 1 Μ,x' 0 6, x t, t First 18. Bestäm såväl Μ som restid t för glidsträckan. (1p) Lösningsförslag: Vid tiden t är x t 30 och x' t 0. Detta ekvationssystem gör hela jobbet. Solve x t 30, x' t 0. xavt. D xavt, t, t, Μ t 10, Μ 3 50 Rätt svarsalternativ: d a Solve x t 30, x' t 0. xavt. D xavt, t, t, Μ b Solve x t. xavt 30, x' t.d xavt, t 0, t, Μ c Solve xavt 30, D xavt, t 0, t, Μ d Solve x t 30, x' t 0. xavt. D xavt, t, t, Μ Sankta Lucia ror över en 20 m bred, rak å för att hämta stjärngossarna. Lägg in ett koordinatsystem med origo vid åkanten där Lucia startar, x axeln pekande rakt mot andra sidan och y axeln längs åkanten pekande nedströms. Vattnets parabelformade hastighetsprofil har maximala värdet 1 m s mitt i ån. 19. Lucia ror hela tiden rakt mot andra sidan med farten 1 m s. Formulera och lös (BVP) som beskriver banan på parameterform x t, y t. (1p) Lösningsförslag: Först hastighetsparabeln, sedan (BVP) och dess lösning med banan på parameterform x t, y t. xyavt DSolve x' t 1, x 0 0, y' t 1 x t 20 x t, y 0 0, x t, y t, t x t t, y t t2 t 3 a xyavt DSolve x' t 1, x 0 0, y' t 1 x t 20 x t, y 0 0, x t, y t, t First b xyavt DSolve x' t 1, x 0 0, y' t 1 x t 20 x t, y 0 0, x t, y t, t First c xyavt DSolve x' t 1, x 0 0, y' t 1 x t 20 x t, y 0 0, x t, y t, t First d xyavt DSolve x' t 1, x 0 0, y' t 1 x t 20 x t, y 0 0, x t, y t, t First 20. Rita hennes resväg över ån x t, y x, t 0, 20 i rött. (1p) Lösningsförslag: Äntligen en liten reseberättelse vilken tur att restiden är precis 20 s ;-). ParametricPlot x t, y t. xyavt, t, 0, 20, PlotStyle Red, AxesLabel x, y 5

6 y x a ParametricPlot Evaluate y x t. xyavt, t, 0, 20, PlotStyle Red b ParametricPlot Evaluate x t, y t. xyavt, t, 0, 20, PlotStyle Red c ParametricPlot Evaluate x t. xyavt, y t. xyavt, t, 0, 20, PlotStyle Red d ParametricPlot Evaluate xyavt, t, 0, 20, PlotStyle Red 6