MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Transkript

1 MA Tillämpad Matematik I, 7.hp, 9--8 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna absz z, då z och z betyder komplexkonjugat. (p) Lösningsförslag: Låt w z ab z :, ab så absw w a b. w z z.z, Absw, a b 7 c d e Inget av a till d.. Lös ekvationen z 7 z, där z betyder komplexkonjugat. (p) Lösningsförslag: Ansätt z a b. Utnyttja sedan kravet på likhet mellan komplexa tal. Alltså z 7 ab z a b a b : Likhet e : a b a bab ab Im : b a a b. Solvez 7 z z a b c d e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: b. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Geometrisk (prototyp)summa med kvoten q. För n termer är summan n då n. i i a b 7 c 7 d 9 e Inget av a till d.. Bestäm V f till funktionen f x x, D f,. (p) Lösningsförslag: ita f x x x x x x x x x x, D f,, så har vi direkt V f, 6. Plot Abs x, x,,, Plotange, 6, AxesLabel x, PlotLabels fx 6 x f x a V f, 6 b V f, 6 c V f, 6 d V f, 6 e Inget av a till d.

2 . Sök x så att x. (p) Lösningsförslag: Primtalsfaktorisera baserna och ta hjälp av potenslagarna x x 6 x x. Detta klarar naturligtvis vår bästa kompis oxå Solve x, x, eals x a 8 b 7 c 6 d e Inget av a till d. 6. Sök x så att x lnx. (p) Lösningsförslag: Logaritmlagar, x lnx lnxlnxln lnx lnx eller lnx, varav x eller x. Solvex Logx, x, eals x, x ätt a, b, c, d ln e Inget av a till d. svarsalternativ: b 7. Låt f xlnsin x. Bestäm f ' Π. (p) Lösningsförslag: x lnsin x lnlnsinx x cosx. Så f ' Π sinx tanx tan Π. DLog Sinx,x.x Π tanx a b c d e Inget av a till d. 8. Låt f xx x. Bestäm f ' x. (p) Lösningsförslag: x xx x lnxx x xlnx xlnx lnxx x xx lnx. Dx x,x x x logx a x x lnx b x x lnx c x x ln d x x lnx e Inget av a till d. 9. Låt f x x. Bestäm f '. (p) x Lösningsförslag: x x Kvotregeln, K & SD xx x x x x x 8. x D x,xsimplify.x x x 8 ätt svarsalternativ: e a b c d 6 e Inget av a till d.. Givet kurvan Πxy cos Π x. Sök y t i punkten x y då x. (p) t

3 Lösningsförslag: Derivera implicit, sätt in numeriska värden. Lös slutligen ut y t. DΠ xt yt Cos Π xt,t. xt, yt, x't Solve Π yt x t Π xt yt y t Πxt x t sin Π xt Π y t ΠΠ y t a b c d e Inget av a till d.. Betrakta den styckvis konstanta funktionen f x i figuren. Beräkna sedan f x x. p x f x Lösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är a b kx k a b x kb a. Så f x x 8. x x x x 8 a b 8 c d 6 e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: b x. Beräkna x. (p) x x Lösningsförslag: Vi får x x x x x x x xlnx ln ln lnln. x x x log log a lnln b lnln c ln d ln6 e Inget av a till d. x. Beräkna x. (p) x Lösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u x, så har vi u xx, med gränserna x u u u och x ö u ö x. Nu är det bara att meka ihop det hela x x x u x u lnu lnln ln. x x x log a ln b ln c ln d ln e Inget av a till d.. Viola säljer potatis på torget. Hon har funnit att efterfrågan K kg beror av priset p kr/kg enligt Kp p. Vilket pris p ska Viola sätta på potatisen för att maximera inkomsten? (p) Lösningsförslag: Violas inkomst av försäljningen blir PppKp, vilket inses genom dimensionsanalys krkgkgkr. K p ;P pk p p

4 Innan man ska optimera brukar det vara bra att pigga upp sig med en liten titt på kurvorna för att se om modellen är sund. PlotK, P, p,, 8, PlotStyle Brown, ed, AxesLabel "pkrkg", "Kkg,Pkr" Kkg,Pkr 6 8 pkrkg Så optimalt pris DP, p Solve, p 6 p p a b c d 6 e Inget av a till d.. Genom att rotera grafen till yxx, x, ett varv kring y axeln skapas en skål. Sök dess volym. p Lösningsförslag: Dela upp i tunnväggiga rör. Vid x har ett sådant volymen V Πxyyxx. Lägg sedan samman Π x x x Π ätt svarsalternativ: b a Π b Π c Π 7 d Π e Inget av a till d. Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. Ett tryckeri har pressar. En press klarar kopior i timman och kostar 6 kr att starta. Timkostnaden att övervaka pressar i drift består av en fast kostnad kr samt kr per press. Hur många pressar ska man starta för att hantera en beställning på miljon kopior så billigt som möjligt? 6. Antag att vi startar n st pressar. Då blir trycktiden T timmar och kostnaden K kr för att hantera beställningen. Spara i ekv. (p) Lösningsförslag: Efter en stund funderande får vi ekv T,K 6 n n T n T, K n T 6 n n ätt a ekv T n n b ekv T,K 6 n T n c ekv T,K 6 n n T n d ekv T,K 6 n T n n e Inget av a till d. svarsalternativ: e

5 7. Lös ekvationssystemet med avseende på T och K. Spara som regler i TÅK. (p) Lösningsförslag: Typisk övning med Solve. TÅK Solveekv, T, K T n, K 6 n 8 n n a TÅK Solveekv, T, K b TÅK. Solveekv, T, K c TÅK Solveekv,T,K d TÅK Solveekv, T, K e Inget av a till d. 8. ita T, n,, i rött. Pynta axlarna! (p) Lösningsförslag: ita på med Plot. PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" Kkr n a PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" b PlotTÅK. K,n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" c PlotTÅKK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" d PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" e Inget av a till d. 9. Bestäm optimala antalet pressar. (p) Lösningsförslag: Derivera och sök nollställe till derivatan. nopt SolveDK. TÅK, n, n n, n a nopt SolveDTÅK, n, n b nopt SolveDK. TÅK, n, n c nopt SolveDTÅK. K,n, n d nopt SolveDK. TÅK, n e Inget av a till d.. Bestäm kostnad och drifttid. Välj den andra av två lösningar i nopt. (p) Lösningsförslag: Sätt in optimalt antal i regeln från Solve så får vi ett snyggt själdokumenterande svar. LastTÅK. nopt ätt svarsalternativ: e ätt svarsalternativ: e ätt T, K 7 a TÅK. nopt b LastTÅK. nopt c nopt. TÅK d TÅK. TakenOpt, e Inget av a till d. svarsalternativ: b. En m lång ståltråd viks till en likbent triangel. Bestäm basen b då arean är maximal. (p) Lösningsförslag: Det är bara att teckna arean och maximera. Inte helt oväntat ska tråden vikas till en liksidig triangel.

6 Maximize b b b,b, b ätt svarsalternativ: b a Maximize b b b,b b Maximize b b b,b c Maximize b b b,b d Maximize b b b,b e Inget av a till d.. Bestäm arean för en cirkel med radien. p Lösningsförslag: Arean med smala rektanglar A x x. Π x x PowerExpand a x x b Π r r c x x d Π r r e Inget av a till d.. Bestäm omkretsen för en cirkel med radien. p Lösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s rθ r' Θ Θ Θ Θ om Θ är bågvinkeln, så Π Θ Π a x Π Π x b Π r r c Θ d Π r Θ e Inget av a till d.. Bestäm volymen för ett klot med radien. p Lösningsförslag: Välj små cylindrar. Vid x har den lilla cylindern en radie y som ges av x y. Så med formel V Πy x Π Π x x 6

7 a Π x x b Π x x c Π x x x d Π x x e Inget av a till d.. Lille Bo bygger en solid konformad sandkaka på stranden. Kakans höjd är H m och basradien är m. Se figur Bestäm det arbete som Bo uträttat om vi vet att sandens densitet är Ρ kgm. Att lyfta en massa m höjden h kräver arbetet E mgh. p Lösningsförslag: Att lyfta ett sandmynt med rätt radie r på plats vid höjden h kräver arbetet E ghm ghρv ghρπr h. r Återstår bara att fixera rh med hjälp av likformiga trianglar Hh, för att Bo ska kunna sätta igång. H Hg hρπ H H h h Π gh Ρ ätt svarsalternativ: b H a ghρπ h H H h b ghρπ H H h h H c ghρπhh H h d ghρπ h H h e Inget av a till d. 6. En rektangulär pappskiva med måtten ab och massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet J m r m då den roterar kring axeln x a. p b y a x Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ m. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor bx. Bidraget till ab masströghetsmomentet från en sådan är J r m x a Ρbx. Nu är det bara att lägga samman. J a J x a m ab b x J 7 a m 8 J a a J x a x m b x ab b J a J x a m ab b x J a c J x a m b x ab d J a J a x a m b x e Inget av a till d. ab 7. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt pyρgynm, där y är djupet under vattenytan. 7. Strimla luckan i y led, by. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämpligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) Lösningsförslag:: Låt luckans bredd vara b vid djupet y. Likformiga trianglar ger då och y b, Ok! bavy Solve b y,bfirst b y varav b y. Test: y b b y 7

8 a bavy Solve b,y y b bavy Solve b c bavy Solve b y d bavy Solve b 8. Bestäm tryckkraften på den lilla strimlan vid djupet y. (p) y,y y,y e Inget av a till d. Lösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A by på vilken den lilla tryckkraften F pya verkar. py da. da b dy, py Ρgy. bavy dyg Ρ y y a py da. da b dy, py Ρgy. bavy b py da. bavy. da b dy; py Ρgy c py da. da b dy, py Ρgy. bavy d py da. da b dy, py Ρgy. bavy e Inget av a till d. 9. Bestäm tryckkraften F på luckan. (p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F dy y a c F 8 g Ρ F F dy b F F y F F dy d F F y dy e Inget av a till d.. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M yf över dammluckan. M M y dy y a c M 68 g Ρ F y F dy b M F yy M M y dy d M y M y dy e Inget av a till d. 8