MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Transkript

1 MA Tillämpad Matematik I, 7.5hp, 7--7 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. arken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast varsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! varsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsida. ösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. cka till! Bertil Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. åt w z z, där z och z betder komplekonjugat.. Bestäm absw. (p) ösningsförslag: Först w z z a b a b Konjugatregeln :. å abswabsa b a b. w z z.z, Absw, Argw,, a b c d e Inget av a till d.. Bestäm argw. (p) ösningsförslag: i har argwarga barctan b a a arctan 5 eller. a b c 5 d e Inget av a till d.. ös ekvationen z 5 z, där z betder komplekonjugat. (p) ösningsförslag: Ansätt z a b; z 5 z ab 6 a bab a b ikhet e : a b a ba baba b Im : b a a, b. olvez 5 z a z b c d e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: d. åt f cos,,. Bestäm f. (p) ösningsförslag: kissa cos, cos,,, så inser vi att cos,, sedan en för f så har vi äntligen f,. PlotCos, Cos, Cos,,,, Aesabel,, Plotabels Automatic cos cos cos a f, b f, c f, d f, e Inget av a till d.

2 5. ök så att. (p) ösningsförslag: Potenslagar,. å andragradsekvation i z ; z z med rötterna z, slut. 5. arav z och den falska z eftersom z. Till olve,, eals a b c d e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: a 6. ök så att ln lnln. (p) ösningsförslag: ogaritmlagar, ln lnln? ln ln ln ln,. Men är en falsk rot enligt kravet ovan, så endast duger. olveog og og, a b c d e Inget av a till d. 7. Beräkna sin cos. (p) ösningsförslag: i har sin cos sin cos Dubbla vinkeln sin sin. in Cos implif a 6 b c d e Inget av a till d.. Bestäm f ' då f. (p) ösningsförslag: Kvotregeln, f ' Df,implif. f 6 6. f a b c d e Inget av a till d. 9. Bestäm f ' då f cos. (p) ösningsförslag: i får med kedjeregeln, f ' sin sin sin sin. Df Cos,.

3 sin f a f 6 b c d e Inget av a till d.. Bestäm tangentens ekvation till kurvan i punkten,. (p) ösningsförslag: Först Kvotregeln. f,, f', f, f' implif,,,, edan tangenten med enpunktsformeln f '. enp f f' tangent olveenp, PlotEvaluatef,. tangent,,.5,.5, Aesabel,, Plotabels "Epressions" a b c d e Inget av a till d.. Givet kurvan ln. ök då, och. (p) ösningsförslag: Derivera implicit med avseende på tiden, sätt in numeriska värden. ös slutligen ut t. kurva t tt og t t t t t log t t dkdt Dkurva, t Cancel t 6 t t t t t t t t t dkdtn dkdt. t, t, 't 7 t t olvedkdtn t ätt svarsalternativ: d a b c d e Inget av a till d.

4 . Betrakta den stckvis definierade funktionen i figuren. Beräkna sedan f. p f ösningsförslag: äkna rutor eller dela upp integrationsområdet efter stckvisheten, lista ut räta linjens ekvation och integrera. f. a b c 6 d 9 e Inget av a till d.. Beräkna. (p) ösningsförslag: ln ln5 ln ln 5 5 ln 6. log 5 6 a ln 5 6 b ln 5 5 c ln d ln e Inget av a till d. 6 ätt svarsalternativ: a. Beräkna. (p) ösningsförslag: ariabelsubstitution. ätt u, så har vi u, och u med gränserna u u u och u ö u ö. å u u u u u u lnu ln ln ln. log a ln b ln c ln d ln e Inget av a till d. 5. Bestäm då tsint och tcost. (p) ösningsförslag: Kedjeregeln, t t sint cost sintcost cost a b c d e Inget av a till d. 6. I en liksidig triangel med sidan a är ett timglas, format av två likadana trianglar, inskrivet enligt figuren till höger. i söker det timglas som har störst area. sint, så K igen t sint cost. cost t ätt svarsalternativ: d Del B 5 poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. åt timglaset ha basen b och höjden h. ök sambandet mellan dessa. (p)

5 ösningsförslag: Efter en stunds funderande får vi båh h a b Tan h a b a båh h a b Tan b båh h a b Tan 6 c båh h a b Tan d båh h a b Tan e Inget av a till d. 7. ös ut timglasets area Ab och höjd hb. (p) ösningsförslag: Tpisk övning med olve. AÅh olvea b h, båh, A, h A b a b, h a b ätt svarsalternativ: a a b c AÅh olvea b h, båh, A, h AÅh olvea b h, båh, A, b AÅh olvea bh,båh, A, b d AÅh olvea bh,båh, A, h e Inget av a till d.. åt a och rita Ab, b,, i orange. Pnta alarna! (p) ösningsförslag: ita på med Plot. PlotA. AÅh. a, b,,, Plottle Orange, Aesabel "b", "Ab" Ab b ätt svarsalternativ: a a PlotA. AÅh. a, b,,, Plottle Orange, Aesabel "b", "Ab" b PlotA. a. AÅh, b,,, Plottle Orange, Aesabel "b", "Ab" c PlotAÅh. A. a, b,,, Plottle Orange, Aesabel "b", "Ab" d PlotAÅh. a, b,,, Plottle Orange, Aesabel "b", "Ab" e Inget av a till d. 9. Bestäm det b som maimerar Ab. (p) ösningsförslag: Derivera och sök nollställe till derivatan. bopt olveda. AÅh, b, b First b a a bopt olvedaåh, b, b b bopt olveda. AÅh, b, b c bopt olveda, b. AÅh, b d bopt olvedaåh. A,b, b e Inget av a till d.. Bestäm maimalt A och tillhörande h. (p) 5

6 ösningsförslag: ätt in optimalt b i reglerna från olve så får vi ett snggt självdokumenterande svar, med rätta dimensioner. AÅh. bopt A a 6, h a a bopt. AÅh b AÅh. bopt c AÅh. b bopt d AÅhbOpt e Inget av a till d.. Bestäm arean av en cirkel med radien. p ösningsförslag: Cirkelarean som fra kvartscirklar, varav den i första kvadranten med smala rektanglar. PowerEpand a r r b r r c d e Inget av a till d.. Bestäm omkretsen av en cirkel med radien. p ösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s Θ om Θ är bågvinkeln, så Θ a b r r c Θ d Θ e Inget av a till d.. Bestäm volmen av ett klot med radien. p ösningsförslag: älj metoden med tunnväggiga rör. å med formel PowerEpand a b c d e Inget av a till d. 6

7 . Bestäm volmen av en rak cirkulär kon med basradien och höjden H. p ösningsförslag: älj metoden med tunna clindrar från toppen ner till botten. ikformiga trianglar ger r h H. H h H h H H a h H H h b h H h H c h H H h h d H h h e Inget av a till d. 5. I en smal stång med längden m är densiteten Ρ kgm i varje punkt proportionell med k mot i kvadrat. Bestäm tngdpunkten G ur m G m. p ösningsförslag: Massan för en liten bit vid är m Ρ k och slutligen tngdpunktens läge. olve G k, G G ätt svarsalternativ: d a olve G k, G b olve k G, G c olve k G, G d olve G k, G e Inget av a till d. 6. En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. ök masströghetsmomentet J m r m då den roterar kring aeln a. p b a ösningsförslag: Först har vi tdensiteten Ρ m likformiga trianglar a b a samman. J Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor, där ges av ab.. Bidraget till masströghetsmomentet från en sådan är J r m a Ρ. Nu är det bara att lägga J a a m ab b a a J a m J a a J a m b ab a b J a J a c m ab J a J a m b a J a d ab a J a m a a e Inget av a till d. ab b 7

8 7. ärldens längsta hängbro, Akashi Kaiko, går över Akashi sundet mellan Kobe och Iwaa på ön Awaji i Japan. åt propelarnas höjd över körbanan vara m och avståndet mellan dem vara m, se fig åt den längsta vajern ha formen av en parabelbåge enligt figur,,,. Definiera den som en funktion []. (p) ösningsförslag: i har parabelbågen k, som med,, k, så ; Plot,,,, Aesabel, a : b c ; d e Inget av a till d.. Bestäm vajerns längd. (p) ösningsförslag: Använd färdig formel, eller härled med små, och s och Ptagoras, för att beräkna längden på vajern. N s ' 9 5 sinh 5 5. Inte fel att göra en enkel kontroll med rätvinkliga trianglar. ajern ligger mellan hpotenusan och kateterna! Ok!, N 9.6,. a s ' b s ' c s d s ' e Inget av a till d. 9. åt vajern ha densiteten Ρ kgm och beräkna arbetet A mgh, som krävs för att från marknivå lfta vajern på plats. (p) ösningsförslag: Klipp vajern i små bitar och lft en sådan liten vajerstump vid med längden s ' och massan m Ρs på plats. Arbetet som behövs för detta är då A mghmgρg alla små arbeten. '. Nu är det bara att samla ihop A N A Ρ g ' A 5 g Ρ sinh 5 A g Ρ

9 a Ρ g ' b Ρ g c Ρ g ' d Ρ g ' e Inget av a till d.. Bestäm den volm som innesluts då vajern roterar ett varv som ett hopprep kring sina infästningspunkter. (p) ösningsförslag: i använder oss naturligtvis av tunna clindrar r. Nu är det bara att samla ihop alla smågrejer en sista gång, sedan är vi äntligen färdiga;-) N. ätt svarsalternativ: a a b c d e Inget av a till d. 9