MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

Transkript

1 MA208 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil. Separera y' 2y xy. (p) Del A 0 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Ok! Rätt svarsalternativ: b a 2 y y x x C b y y 2 x x C c y y 2 x x C d 2y 2 y x x C 2. Lös differentialekvationen y' y xy. (p) Lösningsförslag: Denna är separabel, ty vi har att y' y xy y' y x y y x x C ln y x 2 x2 C y x C x 2 x2, men det går också bra att betrakta den som linjär y' y xy y' x y 0 med x x x 2 x2 så x x 2 x2 y x 2 x2 0 y x C x 2 x2. DSolve y' x y x xy x, y x, x Simplify y x c 2 x x 2 Rätt svarsalternativ: e a y x C x x2 b y x C x x c y x C x x2 d y x C x x 3. Lös differentialekvationen sin x y' y 2 cos x. (p) Lösningsförslag: Separabel; sin x y' y 2 cos x y' cos x y 2 sin x y 2 y cos x x C sin x y x ln sin x C. DSolve Sin x y' x y x 2 Cos x, y x, x y x c log sin x a y x ln sin x C b y x ln sin x C c y x ln cos x C d y x ln cos x C 4. Lös differentialekvationen y' 4 y 2. (p) Lösningsförslag: Exempelvis linjär med 4 x 4x så x 4x y 4x 2 Separabel 4x y 2 4x x C 4x y 2 4x C y 2 C 4x. Naturligtvis är den också separabel y' 4 y 2 4 ln 2 4 y x C ln 2 4y 4x C 2 4 y 4x C y C 4x 2. DSolve y' x 4y x 2, y x, x 2 4y y x C y x c 4 x 2 a y x 2 2x C 4x b y x 4 C 4 x Rätt svarsalternativ: c c y x C 4x 2 d y x 2 C 4x 5. Lös differentialekvationen y' 4 y x. (p) x

2 Lösningsförslag: Linjär; 4 x x 4ln x x 4 så x 4 y x 4 x C x 4 y 3 x 3 C y x 2 x2 C x 4. DSolve y' x 4 y x x, y x, x x y x c x 4 x2 2 Rätt svarsalternativ: b a y x C x 4 4 b y x C x 4 2 x2 c y x C x 3 2 x d y x C x 4 2 x2 6. Lös differentialekvationen y' y 3x. (p) Lösningsförslag: Linjär; x x så x y x 3x x C x y 4 4x C y x 4 3x C x. DSolve y' x y x 3x,y x, x Simplify y x c x 3 x 4 Rätt svarsalternativ: c a y x 2 2x C x b y x 3 2x C x c y x 4 3x C x d y x 2x C x 7. Lös differentialekvationen y' 2 y 2x. (p) Lösningsförslag: Linjär; 2 x 2x, så 2x y x C 2x y x C y 2x x C. DSolve y' x 2y x 2x,y x, x Simplify y x 2 x c x Rätt svarsalternativ: b a y x C 2x x b y x 2x C x c y x C x 2x d y x C 2x 2 x2 8. Lös differentialekvationen y'' y 0. (p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 0 har rötterna r och r 2 så vi har homogena lösningen enligt "Fall ": y h x C x C 2 x. Men y p x 0, så y x y h x y p x C x C 2 x. DSolve y'' x y x 0, y x, x y x c x c 2 x a y x x C cos x C 2 sin x b y x x C C 2 x c y x C C 2 x d y x C x C 2 x Rätt svarsalternativ: d 9. Ansätt en partikulärlösning till y'' 8y ' 6 y 3 4x. (p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 8r 6 0 har dubbelroten r,2 4 så vi har homogena lösningen enligt "Fall 2": y h x C x C 2 4x. Sedan y p x A 4x y h x y p x Ax 4x y h x y p x Ax 2 4x y h x. Så hela sagan DSolve y'' x 8y' x 6 y x 3 4x,y x, x Expand y x c 2 4 x x c 4 x x x 2 a y p x Ax 2 4x b y p x Ax 4x c y p x A 4x d y p x A x 4x 0. Lös differentialekvationen y'' 2 y' 5 y 25x. (p) Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r 2 2r 5 0 har dubbelroten r,2 2 så vi har homogena lösningen enligt Fall 3 : y h x x C cos 2x C 2 sin 2x. Eftersom högerledet är ett polynom av grad ett ansätter vi y p x Ax B y h x. Sätt in i (ODE) och identifiera koefficienter; 0 2 A 5 Ax B 25x x 0 :2A 5B 0, x :5A 25 A 5, B 2. Så lösningen till (ODE) y x y h x y p x x C cos 2x C 2 sin 2x 5x 2. En sista ängslig test DSolve y'' x 2y' x 5y x 25 x, y x, x FullSimplify 2

3 y x x c sin 2 x c 2 cos 2 x 5 x 2 Rätt svarsalternativ: b a y x x C cos 2x C 2 sin 2x 2x 5 b y x x C cos 2x C 2 sin 2x 5x 2 c y x C x C 2 2x 5x 2 d y x 2x C cos x C 2 sin x 5x 2. Antalet bakterier på ett julbord tillväxer vid varje tidpunkt med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier med proportionalitetskonstanten k. Låt b t vara antalet bakterier vid tiden t. Formulera och lös BVP om b 0 då t 0. p Del B 0 poäng med fokus på modellering och Mathematica. Lösningsförslag: Det är bara att översätta beskrivningen i texten bavt DSolve b' t kb t, b 0 0, b t, t b t 0 kt a bavt DSolve b' t k b t, b 0 0, b t, t b bavt DSolve b' t kb t, b 0 0, b t, t c bavt DSolve b' t k b t, b 0 0, b t, t d bavt DSolve b' t kb t, b 0 0, b t, t Rätt svarsalternativ: d 2. Vattnet i en musselodling har blivit förorenat med giftet PCB. En mussla tar upp 2 mg PCB om dagen och avsöndrar PCB med en hastighet som är proportionell mot aktuell mängd PCB i musslan med proportionalitetskonstanten 0.2 dag. Antag att det är m t mg PCB i musslan vid tiden t dagar och att den var helt ren från början. Formulera och lös BVP. p Lösningsförslag: PCB ökning PCB in PCB ut i musslan räknat i mg per dag. mavt DSolve m' t m t, m 0 0, m t, t Simplify m t t a mavt DSolve m' t m t, m 0 0, m t, t b mavt DSolve m' t m t, m 0 0, m t, t c mavt DSolve m' t m t, m 0 0, m t, t d mavt DSolve m' t m t, m 0 0, m t, t Rätt svarsalternativ: c 3. Tomtegröt som satts att svalna följer Newtons avsvalningslag. Denna säger att om temperaturen är T t Cigröten vid tiden t, så är ändringshastigheten av T t proportionell mot skillnaden mellan temperaturen 25 C i stugan och aktuell temperatur i gröten med proportionalitetskonstanten k. Formulera och lös BVP som bestämmer T t om T 0 00 C. p Lösningsförslag: Så småningom njutbar temperatur TAvt DSolve T' t k 25 T t, T 0 00, T t, t Simplify T t kt Rätt svarsalternativ: d 3

4 a TAvt DSolve T' t k 25 T t, T 0 00, T t, t b TAvt DSolve T' t k 25 T t, T 0 00, T t c TAvt DSolve T' t k25 T t, T 0 00, T t, t d TAvt DSolve T' t k 25 T t, T 0 00, T t, t 4 6. En tank rymmer 000 liter.för tillfället innehåller den 200 liter vatten med en saltkoncentration på 5 mg liter. Man vill nu fylla på med rent vatten 0 liter min samtidigt som det rinner ut 4 liter min perfekt omrörd saltlösning genom en kran i botten. 4. Formulera och lös (BVP) som bestämmer koncentrationen salt c t i tanken. (p) Lösningsförslag: Typiskt blandningsproblem då volymen inte är konstant. cavt DSolve D t c t, t 0 0 4c t, c 0 5, c t, t c t 3 t Rätt a cavt DSolve D 200 6t c t, t 0 0 4c t, c 0 5, c t, t b cavt DSolve 200 c' t 0 0 4c t, c 0 5, c t, t c cavt DSolve D 6 tc t, t 0 4c t, c 0 5, c t, t d cavt DSolve 200 6t c' t 0 4c t, c 0 5, c t 5. Bestäm saltkoncentrationen då tanken blir full. (p) Lösningsförslag: Först tiden till full tank, sedan c t då. cavt. Solve t,t c svarsalternativ: a a cavt. Solve t,t b Solve 000 6t,t. cavt c Solve cavt 000, t d cavt Solve t,t 6. Rita c t, t 0, 00, i orange och dekorera axlarna med lämplig text. (p) Lösningsförslag: Koncentrationen över tid. Plot c t. cavt, t, 0, 00, PlotStyle Orange, AxesLabel t, c t c t t a Plot cavt, t, 0, 00, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "c t " b Plot c t cavt, t, 0, 00, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "c t " c Plot cavt. c t, t, 0, 00, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "c t " d Plot c t, t, 0, 00, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "c t " Rätt svarsalternativ: e 4

5 x , y Rätt svarsalternativ: b Från punkten 0, iettvanligt xy koordinatsystem kastar ett barn iväg en boll med hastigheten 3, 4 m s. Tag hjälp av Newton m t, försumma luftmotståndet och låt bollen bara påverkas av tyngdkraften mg, med g 0 m s 2, under resan. 7. Formulera och lös (BVP) som beskriver bollens färd. (p) Lösningsförslag: Newton m t 0, mg, tillsammans med (BV) definierar (BVP) som sedan löses. xyavt DSolve m x'' t 0, x 0 0, x' 0 3, my'' t m 0, y 0, y' 0 4, x t, y t, t First x t 3 t, y t 5 t 2 4 t Rätt svarsalternativ: c a xyavt DSolve m x'' t 0, x 0 0, x' 0 3, m y'' t m 0, y 0, y' 0 4, x t, y t, t First b xyavt DSolve m x'' t 0, x 0 0, x' 0 3, m y'' t m 0, y 0, y' 0 4, x t, y t, t First c xyavt DSolve m x'' t 0, x 0 0, x' 0 3, my'' t m 0, y 0, y' 0 4, x t, y t, t First d xyavt DSolve m x'' t 0, x 0 0, x' 0 3, my'' t m 0, y 0, y' 0 4, x t, y t, t First 8. Var är bollen då den vänder och hur mycket är klockan då? (p) Lösningsförslag: Då bollen vänder är y t 0, så svaret på båda frågorna. xyavt. Solve y' t 0. D xyavt, t, t a xyavt. Solve y' t 0. xyavt, t b xyavt. Solve y' t 0. D xyavt, t, t c xyavt. Solve y' t.d xyavt, t 0, t d xyavt Solve y' t 0. D xyavt, t, t 9. Vilken hastighet har bollen då den träffar marken och hur mycket är klockan då? Antag att restiden är ungefär s. (p) Lösningsförslag: Bollen träffar marken då y t 0, så svaret på båda frågorna. D xyavt, t. FindRoot y t 0. xyavt, t, x. 3, y. 6. a D xyavt, t. FindRoot y t 0. xyavt, t, b D xyavt, t. FindRoot y t 0. D xyavt, t, t c D xyavt, t. Solve y t 0. D xyavt, t, t d D xyavt, FindRoot y t 0. xyavt, t, 20. Rita bollbanan y x, t 0, i rött. (p) Lösningsförslag: Äntligen en liten reseberättelse vilket tur att restiden till nedslag är precis s ;-). ParametricPlot Evaluate x t, y t. xyavt, t, 0,, PlotStyle Red, AxesLabel x t, y t 5

6 y t x t Rätt svarsalternativ: e a ParametricPlot Evaluate y x t. xyavt, t, 0,, PlotStyle Red b ParametricPlot Evaluate x t, y t. xyavt, t, 0,, PlotStyle Red c ParametricPlot Evaluate x t. xyavt, y t. xyavt, t, 0,, PlotStyle Red d ParametricPlot Evaluate xyavt, t, 0,, PlotStyle Red 6