MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Transkript

1 MA003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp, Hjälpmedel: Räknedosa! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar. Ofullständiga lösningar, eller lösningar som är svåra att följa ger poängavdrag. Skriv tydligt! Motivera väl! Endast svar accepteras ej! För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil Del A Handräkning, p/uppgift.. Bestäm Âz z ê, då z =-3-4 Â och z ê betyder komplekonjugat. Lösningsförslag: Vi har Âz z ê = Âz z ê = Âz z = Âz z = Âz 3 = ÿ = 5. Abs z z.z Lös ekvationen ln ln = 8. Lösningsförslag: Logaritmlagarna ln ln = 8 ñ ln = 8 ñ ln = ñ =. Mathematica är försiktig med logaritmlagarna eftersom den inte vet vad kan vara. Vi får hjälpa den med att är reellt och ickenegativt sedan går det bättre. SolvePowerEpandLogLog 8, Ø ÅÅÅÅÅÅÅ, Ø 3. Sök y ÅÅÅÅÅÅ i punkten =-, y = på kurvan y - y =-0. Lösningsförslag: Derivera kurvan implicit, som för hand får följande utseende Dt y y 0, y ÅÅÅÅÅÅÅÅ + y- 4 y ÅÅÅÅÅÅÅÅ y - y -0 Eftersom vi ska sätta in punktens koordinater, är det lättare i Mathematica att tala om eplicit vad som beror av och sedan derivera. Sätt slutligen in punktens koordinater och lös ut ÅÅÅÅÅÅ y der D y y 0, y + y - 4 y y - y -0 num der., y 9 y Solvenum, y' y - Ø ÅÅÅÅÅ 9.

2 4. Beräkna - - y y. Lösningsförslag: Vi integrerar map y och är konstant! Så - y y = y - ÅÅÅÅ y - = 3 - ÅÅÅÅ ÅÅÅÅ 3 = yy 5. Bestäm volymen av den kropp som uppkommer då området som innesluts av -aeln, linjerna = och = samt grafen till y = ÅÅÅÅÅ, roterar ett varv kring y-aeln. 3 z y Lösningsförslag: Direkt med "formel" b V = a py = p ÅÅÅÅÅ = p 3 - = påååååååååååå -+ =-p =p. p 3 -+ Del B Användning av Mathematica. Markera alla stora bokstäver i Mathematica genom att stryka under dem! Skilj noga på ()[]{}! Ange om du använder Palette eller Â-sekvenser! Använd gärna förklarande tet&pilar! p/uppgift. 6. Sök rektangulär form, realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument för det komplea talet - êêêêê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +.  5 Lösningsförslag: Ok, lätt som en plätt. z, Rez, Imz, Absz, Argz. z - 3 Â,,-3, 0, -tan Lös uppgift. 8. Lös uppgift Rita f = sin 4 + log 3 och g = tan + -3 för œ 0, p i samma graf. Använd Options så f ritas röd och g blå, samt att det skrivs "" på -aeln och " f, g" på y-aeln. Lösningsförslag: Använd Plot med lämpliga Options.

3 PlotSin 4 Log3,, Cos 3,, 0,, PlotStyle Red, Blue, AesLabel "", "f,g" f,g Lös uppgift 3. Skriv y som y[]. Derivera implicit. Använd ReplaceAll för att sätta in punktens koordinater. Välj slutligen lämplig funktion för att lösa ut y'[-] ur ekvationen. del C på nästa sida! 3

4 Del C Modellering och Mathematica, 5 p/uppgift.. Ur ett rektangulärt papper med måtten 30 μ 0 klipps ett kors ut enligt figur och viks sedan efter de streckade linjerna till en låda med lock. Hur stor volym kan en sådan låda ha? 0 Lösningsförslag: Antag att lådan har måtten l μ b μ h. Enklast är nog att använda höjden h som designvariabel. Ur problemtetens figur får vi då följande samband. VlÅb SolveV l b h, l h 0, b h 30, V, l, b First V Ø h 3-5 h + 50 h, l Ø- h - 0, b Ø 5 - h Varav volymen Vh. volym V. VlÅb h 3-5 h + 50 h En plot visar om frågeställningen är sund. Verkar vara ett tydligt maimum. Plotvolym, h, 0, 0, PlotStyle Brown, AesLabel "h", "V" V Sök etrempunkt h h NSolveDvolym, h 0, h h Ø , h Ø.749 Här duger bara första lösningen eftersom h 0. Slutligen alla andra mätetal vid detta etrema tillstånd. VlÅb. h V Ø 58.53, l Ø.55, b Ø

5 . Lille Bo bygger en sandkaka på stranden. Kakan är formad som ett halvklot med radien R. Se figur! Bestäm det arbete som Bo uträttat om vi vet att sandens densitet är r kgm 3. z y Lösningsförslag: Skär upp kakan i z-led och låt Bo lyfta på plats en tunn cirkulär skiva i taget! Med lämplig figur över en sådan skiva vid höjden z finner vi följande samband skiva Solvedm dv, dv r dz, z r R, dm, dv, r dm Ø dz p R - z r, dvø dz p R - z, r Ø- R - z, dm Ø dz p R - z r, dvø dz p R - z, r Ø R - z Här duger bara sista lösningen eftersom r 0. Nu är det bara att lägga samman alla små lyft A = gz m A A 0 0R gzdm dz A ÅÅÅÅÅ 4 g p R4 r. skiva z Vilket har rätt dimension "kraft ÿ väg"; ÅÅÅÅÅÅÅÅ m m 4 kg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s m 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ kgm s m = Nm. 5